微分中值定理教案

PAGE/NUMPAGES第二章一元函数微分学§2.6微分中值定理【课程名称】《高等数学》【授课题目】微分中值定理【授课时间】2011年11月18日【授课对象】2011级电子信息专业【教学内容】本节课所将要学习的主要内容是微分中值定理中的核心定理——拉格朗日（Lagrange）中值定理，罗尔（Rolle）定理可以看成是拉格朗日中值定理的特殊情形，而柯西（Cauchy）中值定理则是拉格朗日中值定理推广。微分中值定理揭示的是函数在某个区间的整体性质与该区间内某一点处的导数之间的关系，因而称为中值定理。它是几个定理的统称。微分中值定理也是微分学的理论基础，微分学的很多重要的应用都是建立在这个基础之上，后面将要讨论的洛必达（L’hospital）法则、泰勒（Taylor）公式、函数的增减性与极值等都要用到微分中值定理。【教学目标】1、使学生掌握拉格朗日中值定理，熟练运用拉格朗日中值定理证明恒等式、不等式以及方程根的存在性等；2、使学生在掌握拉格朗日中值定理的同时，能联系前后学习的内容进行层次归纳与总结，形成系统的知识层次与结构；3、使学生经历拉格朗日中值定理的完整的研究过程，体会数学研究与数学应用的乐趣，发展应用意识和解决问题的能力。【教学重点】微分中值定理中的拉格朗日中值定理及其应用。【教学难点】微分中值定理中拉格朗日中值定理的证明。【教学方法及手段】以启发式讲授为主，采用多媒体辅助演示。§2.6.2拉格朗日中值定理一、内容回顾定理1（Rolle）若函数SKIPIF1<0满足条件（1）在闭区间SKIPIF1<0上连续；（2）在开区间SKIPIF1<0内可导；（3）SKIPIF1<0。则至少存在一点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0。几何意义：在定理的条件下，区间SKIPIF1<0内至少存在一点SKIPIF1<0，使得曲线在点SKIPIF1<0处具有水平切线。二、拉格朗日中值定理定理2（Lagrange）设函数SKIPIF1<0满足条件：（1）在闭区间SKIPIF1<0上连续；（2）在开区间SKIPIF1<0内可导；则在SKIPIF1<0内至少存在一点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0。或写成SKIPIF1<0。上述公式称为拉格朗日中值公式，且对于SKIPIF1<0也成立。几何意义：如果连续曲线SKIPIF1<0上除端点外处处具有不垂直于SKIPIF1<0轴的切线，则在曲线弧SKIPIF1<0上至少存在一点SKIPIF1<0，在该点处曲线的切线平行于弦SKIPIF1<0。（幻灯片1）板书标题（幻灯片2）首先回顾前面所学习的内容，然后通过提问引入新课的内容:微分中值定理的核心内容---拉格朗日（Lagrange）中值定理。（幻灯片3）【本节重点】板书定理内容解释定理的条件及结论，指出定理条件的一般性。（幻灯片4为Lagrange生平简介。）（幻灯片5）借助于多媒体，图文并茂地解释定理几何意义。由拉格朗日定理的几何意义可以看出，当函数满足SKIPIF1<0时，此时弦SKIPIF1<0的斜率等于零。即SKIPIF1<0。这便是罗尔定理的结论。所以罗尔定理可以看成是拉格朗日中值定理的特殊情形。即Lagrange中值定理SKIPIF1<0Rolle定理证明分析：若记SKIPIF1<0，要证（1）式，即证SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0也就是是否存在SKIPIF1<0，使函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的导数为零？即SKIPIF1<0。证明：作辅助函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0。容易验证SKIPIF1<0在闭区间SKIPIF1<0上连续，在开区间SKIPIF1<0内可导，且SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0。从而SKIPIF1<0满足罗尔定理的条件，即至少存在一点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0。即SKIPIF1<0证毕。（幻灯片6）引导学生通过观察图形的区别引导学生思考拉格朗日中值定理与罗尔定理的关系【本节难点】板书分析证明的思路引导学生采用逆向思维的方式，从结论入手分析得出需证明的结论的条件。（幻灯片7）此定理的证明关键是构造辅助函数满足罗尔定理条件，然后利用罗尔定理的结论证明。此处提出问题让学生思考是否还有别的方法构造辅助函数满足条件，然后给出提示。由拉格朗日中值定理还可以得出下面的推论：推论设函数SKIPIF1<0在开区间SKIPIF1<0内可导,且SKIPIF1<0，则在SKIPIF1<0内SKIPIF1<0为常数。即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为常数。证：任取SKIPIF1<0，不妨设SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上应用定理2，得SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0。因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0。由SKIPIF1<0的任意性可知，SKIPIF1<0为常数。三、定理的应用例1证明SKIPIF1<0。证：设SKIPIF1<0，则在SKIPIF1<0上SKIPIF1<0，由推论1可知SKIPIF1<0（常数）。令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0。又SKIPIF1<0，故所证等式在定义域SKIPIF1<0上成立。练习1：证明SKIPIF1<0证：设SKIPIF1<0，则在SKIPIF1<0上，（幻灯片8-9）此处引导学生思考证明的思路与方法，然后由学生回答，最后教师总结完整证明过程。（幻灯片10）板书例题的详细证明过程。此处应提醒学生注意证明过程的严谨性和完整性。（幻灯片11）此处可以请一名学生回答，然后教师做点拨。SKIPIF1<0，由推论可知SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0。故所证等式在定义域SKIPIF1<0上成立。例2证明不等式SKIPIF1<0。证：设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上满足拉格朗日中值定理条件，因此有SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0。练习2：证明不等式SKIPIF1<0。证：设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上满足拉格朗日中值定理的条件，因此有SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0（幻灯片12）板书证明的分析过程。指出本题的关键是找出研究的对象——函数，注意观察不等式的特点，找出合适的函数，合理运用定理证明不等式。（幻灯片13）此处请一名学生上讲台做练习，然后巡视其他学生的答题情况，最后教师做总结。例3设SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内可导，且SKIPIF1<0，又对于SKIPIF1<0内的所有点SKIPIF1<0有SKIPIF1<0，证明方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内有唯一实根。证：存在性设SKIPIF1<0则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内可导,连续。又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0。由零点定理知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内至少存在一个零点，即方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内至少有一个实根。唯一性（反证法）假设方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内有两个实根SKIPIF1<0，不妨设SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0。对函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上应用拉格朗日中值定理，知存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，与题设SKIPIF1<0矛盾，唯一性得证。课堂小结：一、拉格朗日中值定理（注意与罗尔定理的关系）；二、拉格朗日中值定理的推论；三、拉格朗日中值定理的应用。（证明恒等式、不等式以及方程根的存在情况等）课后作业：P96：9、10、11（1）、（3）、(4)、（6）。(幻灯片14-16)分析：先证明存在性，再证明唯一性引导学生思考证明存在性可能需要用到的定理，而证明唯一性的一种常用方法就是反证法。（幻灯片17-18）课堂小结、布置作业友情提示： 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 范本是经验性极强的领域，本 范文 销售月计划范文二年级看图写话和范文歌颂党的朗诵稿语文万能作文党代会闭幕式讲话 无法思考和涵盖全面，供参考!最好找专业人士起草或审核后使用。