断裂力学——2Griffith 理论(1)

*ShanghaiUniversity断裂力学FractureMechanics断裂力学第二讲郭战胜davidzsguo@shu.edu.cn办公地点：延长校区力学所317室平时答疑：每周一：5-6节晚修答疑:每周一：18：00-20：30地点：HE108或HE104b*能量原理*线弹性断裂力学认为，材料和构件在断裂以前基本上处于弹性范围内，可以把物体视为带有裂纹的弹性体。研究裂纹扩展有两种观点：一种是能量平衡的观点，裂纹扩展的动力是构件在裂纹扩展中所释放出的弹性应变能，它补偿了产生新裂纹表面所消耗的能量，如Griffith理论；一种是应力场强度的观点，认为裂纹扩展的临界状态是裂纹尖端的应力场强度达到材料的临界值，如Irwin理论。*线弹性断裂力学的基本理论线弹性断裂力学的基本理论包括：Griffith理论，即能量释放率理论；Irwin理论，即应力强度因子理论。断裂力学作为一门崭新的学科是在上个世纪50年代才建立和发展起来的。但是Griffith在1920年建立的针对玻璃、陶瓷等脆性材料的脆性断裂准则，成功地解释了这类材料的实际断裂强度远小于理论强度这一客观事实。该理论仅适用于完全脆性材料，对于绝大多数金属材料，在断裂前和断裂过程中裂纹尖端总存在塑性区，裂纹尖端也因塑性变形而钝化。不能使用Griffith理论，这就是该理论长期得不到重视和发展的主要原因。后来Irwin修正了Griffith的理论，使得断裂力学成为一门学科。Griffith理论*Griffith理论Inglis的 论文 政研论文下载论文大学下载论文大学下载关于长拳的论文浙大论文封面下载 1913年，Inglis研究了无限大板中含有一个穿透板厚的椭圆孔的问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ，得到了弹性力学精确 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 解，称之为Inglis解。1920年，Griffith研究玻璃与陶瓷材料脆性断裂问题时，将Inglis解中的短半轴趋于0，得到Griffith裂纹。TransactionsoftheInstitutionofNavalArchitects,55(1913),pp.219–230.*C.E.InglisSirCharlesEdwardInglis(31July1875-19April1952)wasaBritishcivilengineer.InglisspentmuchofhislifeasalecturerandacademicatKing'sCollegeCambridgeandmadeseveralimportantstudiesintotheeffectsofvibrationanddefectsonthestrengthofplatesteel.Hismotherdiedwhenheonlyiselevendays,hewasbroughtupbyhisfather’sunmarriedsister.InglisservedintheRoyalEngineersduringtheFirstWorldWarandinventedalightweight,reusablesteelbridge-theprecursorandinspirationfortheBaileybridgeoftheSecondWorldWar.HismilitaryservicewasrewardedwithanappointmentasanOfficeroftheOrderoftheBritishEmpire*DepartmentofEngineeringHeadofDepartment1919-43Hecarriedthelargestteachingload,coveringthesubjects:statics,dynamics,theoryofstructures,materialsanddrawing,balancingengines,girderdesignandreinforcedconcrete."Hispersonalitywassuchthathenotonlytaughtthesubjectmostdelightfullybutinspiredthemembersoftheaudiencewithrespectandaffection."C.E.Inglis*C.E.InglisAMathematicalTreatiseonVibrationsinRailwayBridges.ByC.E.Inglis.Cambridge,UniversityPress,andNewYork,Macmillan,1934.203pp.and65figures.Griffith理论RoyalEngineersconstructinganInglisBridgeMkIIIattheSchoolofMilitaryEngineering,18June1943*Griffith理论TheInternationalUnionofTheoreticalandAppliedMechanicswasfoundedin1946,duringtheSixthCongressinParis.Eachofthefirstsixcongresseshadbeenorganizedbyanationalcommitteeofscientistsfromthecountrywherethecongresswastobeheld.FourthC.E.InglisCongressPresident1934CambridgeUKInternationalCongressesonTheoreticalandAppliedMechanics(ICTAM)Beijing，BaiYilong23rd*Griffith理论ThemaximumstressoccursattheendsofthemajoraxisofthecavityandisgivenbyInglis’sformulathinplateofglasswithanellipticalholeinthemiddleHefoundthatpointA,attheendoftheellipse,wasfeelingthemostpressure.Healsofoundthatastheratioofa/bgetsbigger(theellipsegetslongerandthinner)thatthestressatAbecomesgreaterandgreaterC.E.Inglis*C.E.InglisHealsofoundthatpullingontheplateinadirectionparalleltotheellipsedoesnotproduceagreatstressatA.Thisleadstothefactthataloadperpendicular,notparallel,tothecrackwillmakeitgrow.Griffith理论*Thenhelookedatotherplateswithnot-quite-ellipticalholes,likethese.Fromlookingattheseherealizedthatit'snotreallytheshapeoftheholethatmattersincracking.Whatmattersisthelengthofthecrackthatisperpendiculartotheloadandwhattheradiusofcurvatureattheendsoftheholeis.Thelongerthehole(orcrack),thehigherthestress,andthesmallertheradiusofcurvature,thehigherthestress.Griffith理论*一、动机两个矛盾的事实Thestressneededtofracturebulkglassisaround100 MPa.Thetheoreticalstressneededforbreakingatomicbondsisapproximately10,000 MPaexperimentsonglassfibersthatGriffithhimselfconductedsuggestedthatthefracturestressincreasesasthefiberdiameterdecreases.–尺寸相关性Griffith理论**二、Griffith理论1920年，Griffith研究玻璃与陶瓷材料脆性断裂问题时，将Inglis解中的短半轴趋于0，得到Griffith裂纹。Griffith理论Griffith研究了如图所示厚度为B的薄平板。上、下端受到均匀拉应力作用，将板拉长后，固定两端，构成能量封闭系统。*设想在板中沿垂直于载荷方向切开一条长度为2a的贯穿裂纹，由于裂纹的长度远小于板的面内尺寸，可以将此板视为“无限大”板。由于设想切开了一条贯穿裂纹，裂纹就形成了上下两个自由面，原来作用于该表面位置的拉应力消失了，与此同时，上下自由表面发生相对张开位移，消失的拉应力对此张开位移做负功，使得板内的应变能降低了。Griffith根据Inglis（1913）对“无限大”板内开了一个椭圆形圆孔后分析得到的应力场、位移场计算公式，得出当椭圆孔短轴尺寸趋于零（理想尖裂纹）时，弹性应变能的改变量为Griffith理论 =+σσσσσσGriffith理论*σσGriffith理论*能量守恒定律：能量守恒定律是自然界的一条普遍规律，它指出：系统能量的增加等于输入的能量。对于热力学系统又可表述为：作用于系统上功的增量δW加上系统接受的热的增量δQ等于系统内能的增量ΔE加上动能的增量ΔK,即若增量无限小且诸量可微，则可写成率的形式：Griffith理论*把能量守恒定律应用于裂纹体：E为储存在介质中的内能；T为动能；Γ为裂纹表面能；为外力功率；传热率。作如下假设：断裂过程中总体热交换效果可忽略（近似绝热假设），准静态过程，T≈0，介质为弹性的，E=UGriffith理论*受有均匀外力σ作用具有长度为2a的无限大板，其位移场为：其中：对平面应变情况对平面应力情况考虑线弹性裂纹体的应变能：现建立裂纹扩展的临界条件（考虑时,裂纹有微扩展da）应变能率：σσGriffith理论**另一方面，Griffith认为，由于裂纹处形成两个自由表面，从而有表面能增加，形成新的自由表面需要吸收的能量为其中：为单位面积上的表面能。由于板的上下两端是固定的，外力不做功，即外力势能不改变。可以得到如下表达式临界状态裂纹稳定裂纹不稳定Griffith理论*表面能率:外力功率：把应变能率、表面能率及外力功率代入能量平衡方程（2）：或Griffith理论**上式表明，当裂纹扩展单位面积，系统释放的应变能恰好等于形成自由表面所需的表面能时，裂纹就处于不稳定的平衡状态；或裂纹扩展单位面积，系统释放的应变能大于形成其自由表面所需的表面能时，裂纹就会失稳扩展而断裂。当然，若释放的应变能小于形成其自由表面能所需的表面能时，裂纹就不会扩展，处于稳定平衡状态。Griffith理论**得临界应力为表示无限大平板在平面应力状态下，长为2a裂纹失稳扩展时，拉应力的临界值，称为剩余强度。Griffith理论临界裂纹长度对于平面应变有**Griffith判据如下：(1)当外加应力超过临界应力(2)当裂纹尺寸超过临界裂纹尺寸脆性物体断裂Griffith理论Hesaidthatforacracktogrow,itwasnecessaryfortheirtobeenoughpotentialenergyinthesystemtocreatethenewsurfaceareaofthecrack.Hedidnotknowthatittakesmorethanthisforacracktogrowthough.*于是由能量守恒定律得到裂纹扩展的临界条件：其中方程式右端为材料参数组合，应为材料常数。因此方程式左端的载荷与裂纹几何参数的组合亦应为常数。（含裂纹体的破坏条件）下面把破坏条件（9）普遍化：把能量守恒定律应用于裂纹体：将之改写为：即Griffith理论*定义它代表裂纹扩展单位面积弹性系统释放的能量为能量释放率；同时，定义它表示裂纹扩展单位面积所需要消耗的能量为裂纹扩展阻力；因此裂纹扩展条件可表示为：这就是著名的Griffith脆断准则（能量平衡准则）Griffith理论*Griffiththeory-1920Inabodyofaglasscrackspre-exist.Thetipofsuchacrackconcentratesstress.Theintensestressbreaksatomicbondsonebyone,likeopeningazipper.Asthecrackadvances,freshsurfacesarecreated.Thesurfaceenergyincreases,buttheelasticenergydecreases.Thecrackadvancesiftheadvancereducesthesumofthesurfaceenergyandelasticenergy.*AtomicModelofTheoreticalTensileStrength*TheoreticalStrengthAssumesinusoidalrelationshipbetweenandxWhensurfaceenergyisintroduced:**D是薄壁球壳或圆柱壳的直径，Q和R分别是平行于裂纹和垂直于裂纹的主应力。Griffith理论为了验证理论，Griffith做了两组实验，一组是玻璃薄壁球壳，见下表。可以看出，断裂应力随着裂纹尺寸的增大而减小，却基本保持常数，证明了公式的正确性。*第二组实验是含裂纹薄壁圆柱壳的爆裂实验。Griffith理论*Griffith理论Griffith发现，右端纯粹为材料参数组合，对同一材料它应为常数。从这个意义上说Griffith已接近于发现应力强度因子理论。Thetheorywasconsideredtoapplyonlytoalimitedclassofextremely,suchasglassesorceramics1920，19241948，1957Introductionofhighstrengthmaterialsforstructuralapplications*Orowan与Irwin对Griffith理论的解释与发展Orowan在1948年指出，金属材料在裂纹的扩展过程中，其尖端附近局部区域发生塑性变形。因此，裂纹扩展时，金属材料释放的应变能，不仅用于形成裂纹表面所吸收的表面能，同时用于克服裂纹扩展所需要吸收的塑性变形能（也称为塑性功）。设金属材料的裂纹扩展单位面积所需要的塑性功为，则剩余强度和临界裂纹长度可表示为Griffith理论*Griffith理论Orowan发现*Irwin在1948年引入记号外力功释放出的应变能能量释放率能量释放率也称为裂纹扩展能力准则临界值,由试验确定Irwin的理论适用于金属材料的准脆性破坏—破坏前裂纹尖端附近有相当范围的塑性变形.该理论的提出是线弹性断裂力学诞生的标志.Griffith理论Griffith脆断准则*前面仅是以固定边情况为例。对于一般约束情况，具有更广泛的物理意义。取一厚度为B的板，中心有穿透裂纹长度为2a，载荷P，面积A=2aB。在裂纹长度不变的情况下，P与作用点位移Δ成正比将板拉长后固定两端。下图中直线的斜率为刚度系数，其倒数λ为柔度系数（柔度），等于单位载荷下的位移。当裂纹面积增加时，弹性裂纹体刚度下降，柔度增加，即弹性曲线斜率减小。下面需要分析三种不同边界条件的情况Griffith理论*1）固定位移情况在图中体系应变能减少，释放出的应变能作为裂纹扩展所需的功。应变能减少量=Griffith理论*2）固定载荷情况在图中，体系应变能增加，载荷作的功一半用于增加系统应变能，一半作为剩余功用于裂纹扩展。应变能增加量=矩形-Griffith理论*裂纹扩展时，载荷对位移曲线从a变化到f，其斜率为3)弹性约束情况对于一般弹性条件，可看成弹性约束，简化为裂纹体与弹簧串联的力学模型。弹簧柔度系数Griffith理论*反映了裂纹扩展能量释放率与试件柔度之间的关系，称为Irwin-Kies关系。是用柔度法确定进而确定应力强度因子的重要基础。系统推动裂纹扩展的有效能量为外力功与应变能增加（或减少）之差（或和）对前两种情况，则由Griffith理论称为应变能释放率的柔度表达式对于如图所示的裂纹板，沿裂纹延长线上，有由应力场计算公式得到：假设当裂纹扩展时，系统释放的能量等于迫使裂纹闭合回到原始状态所需要的变形功Griffith理论在闭合时,应力在那段所做的功为其中，B为裂纹体厚度。位移场表达式**平面应力平面应变同理Griffith理论由此可见，线弹性条件下，应力强度因子和能量释放率具有对应关系，两者是等效的。公式是在假定裂纹沿原裂纹方向直线扩展条件推导。对于II型裂纹，裂纹并不沿裂纹方向扩展，上面的关系是名义关系。*裂纹尖端存在奇异性,即:基于这种性质，1957年Irwin提出新的物理量—应力强度因子,即：1960年Irwin用石墨做实验,测定开始裂纹扩展时的断裂判据(准则)Griffith理论*裂纹尖端附近的应力场和位移计算*裂纹的类型一.裂纹的类型1.按裂纹的几何类型分类穿透裂纹:裂纹沿构件整个厚度贯穿.表面裂纹:深度和长度皆处于构件表面的裂纹,可简化为半椭圆裂纹.深埋裂纹:完全处于构件内部的裂纹,片状圆形或片状椭圆裂纹.*2.按裂纹的受力和断裂特征分类张开型(Ⅰ型):拉应力垂直于裂纹扩展面,裂纹上、下表面沿作用力的方向张开,裂纹沿着裂纹面向前扩展,是最常见的一种裂纹.滑开型(Ⅱ型):裂纹扩展受切应力控制,切应力平行作用于裂纹面而且垂直于裂纹线,裂纹沿裂纹面平行滑开扩展.*撕开型裂纹(Ⅲ型):在平行于裂纹面而与裂纹前沿线方向平行的剪应力作用下,裂纹沿裂纹面撕开扩展.*裂纹尖端附近的应力场、位移场计算*H.M.WestergaardDr.HaroldMalcolmWestergaard(1888-1950)——UniversityofIllinoisprofessoroftheoreticalandappliedmechanics.GordonMcKayProfessorofCivilEngineeringandDeanoftheGraduateSchoolofEngineering,HarvardUniversity(1936-1946).Althoughhehaslefthispostasdeanhewillnotbecomeinactive,butwillretaintheGordonMcKayprofessorshipofCivilEngineering.*ThememberofAmericanPhilosophicalSociety,ClassI:mathematicalandphysicalsciences(1942).H.M.WestergaardWestsideoftheAmericanPhilosophicalSocietybuildinginPhiladelphia,PAJournalofAppliedMechanics,1939,A49-A53*裂纹尖端附近的应力场、位移场计算1.Ⅰ型裂纹问题的描述:无限大板,有一长为的穿透裂纹,在无限远处受双向拉应力的作用.确定裂纹尖端附近的应力场和位移场.*Ⅰ型裂纹求解*Irwin应用Westergaard的方法进行分析.(1)Westergaard应力函数弹性力学平面问题的求解，归结为要求求一个应力函数.该函数满足边界条件及双调和方程.1939年Westergaard应力函数其中：为解析函数;为一次积分和二次积分.Ⅰ型裂纹求解*首先证明:满足双调和方程因为:解析函数的性质:(1)解析函数的导数和积分仍为解析函数(2)解析函数的实部和虚部均满足调和方程Ⅰ型裂纹求解*柯西黎曼条件Ⅰ型裂纹求解*有即函数是平面问题的应力函数.则应力分量:Ⅰ型裂纹求解*即(平面应力)(平面应变)物理方程:(平面应力)Ⅰ型裂纹求解*(平面应变)几何方程:Ⅰ型裂纹求解*得平面应力平面应变Ⅰ型裂纹求解*(2)求解双向拉伸Ⅰ型裂纹边界条件:选取Ⅰ型裂纹的函数Ⅰ型裂纹求解*验证:a:,时又b:Ⅰ型裂纹求解*采用新的坐标这个常数称为I型裂纹尖端应力强度因子。上式是用解析函数求解I型裂纹尖端应力强度因子的定义式。由于断裂力学感兴趣的是裂纹尖端附近的应力场，由式2-7，在裂纹右尖端附近，即在时，有极限值。若用表示这一极限值，则有Ⅰ型裂纹求解*由于在裂纹尖端处，即在的很小范围内，解析函数可写成若使用极坐标，将有以及从而有Ⅰ型裂纹求解*Ⅰ型裂纹求解*(平面应力)(平面应变)用张量标记可缩写成Ⅰ型裂纹求解*由上式可以看出：（1）对于裂纹尖端附近区域内某一定点其应力大小取决于的大小，越大，该点的应力也越大。是表征裂纹尖端区域应力场强度的参量，而且是唯一的参量。，故当时，，称为应力具有的奇异性。（2）因为应力分量可视为两部分来描述，一部分是关于场分布的描述，它随点的坐标而变化，通过r的奇异性及角分布函数来体现；另一部分是关于场强度的描述，由应力强度因子来表示，它与裂纹体的几何及外加载荷有关。Ⅰ型裂纹求解*平面应变平面应力平面应力平面应变Ⅰ型裂纹求解*需要注意的是，推导过程中，使用了这个条件，所以。对于稍远处，应该用所示的来确定应力分量和位移分量。前面得到的应力场和位移场公式只适用于裂纹尖端附近区域，即要求Ⅰ型裂纹求解*课外作业裂纹处于不稳定平衡的条件是什么？什么叫裂纹扩展能量释放率？什么叫Irwin-Kies关系？G与K之间有何关系？推导I型裂纹的G与K关系。裂纹如何分类？计算无限大板中心穿透Ⅰ裂纹裂纹尖端的应力场和位移场。