角动量守恒定理及其应用

角动量守恒定理及其应用 角动量守恒定理及其应用 摘 要:角动量这一概念是经典物理学里面的重要组成部分，角动量的研究主要是对于物体的转动方面，并且可以延伸到量子力学以、原子物理及天体物理等方面。角动量这一概念范畴系统的介绍的力矩、角速度、角加速度的概念，并且统筹的联系到质点系、质心系、对称性等概念。 关键词:角动量；力矩；角动量守恒；矢量；转动；应用 Angular momentum conservation theorems and their application Abstract:Angular momentum to the concept of classical physics there is an important component of angular momentum of research mainly for the rotation, and may extend to the quantum mechanics and physical and in the astrophysical. angular momentum in the categorical system of the present moment, the angular velocity, the concepts of angular acceleration and co-ordination of the particle, the quality of heart, symmetry, and concepts. Key words:Angular momentum;Torque; Conservation of angular momentum; Vector; Turn; application. 在研究物体运动时,人们经常可以遇到质点或质点系绕某一定点或轴线运动的情况。例如太阳系中行星绕太阳的公转、月球绕地球的运转、物体绕某一定轴的转动等,在这类运动中,运动物体速度的大小和方向都在不断变化,因而其动量也在不断变化。在行星绕日运动中,行星受指向太阳的向心力作用,其运动满足角动量守恒。我们很难用动量和动量守恒定律揭示这类运动的规律,但是引入角动量和角动量守恒定律后,则可较为简单地描述这类运动。 角动量可从另一侧面反映物体运动的规律。事实上,角动量不但能描述宏观物体的运动,而且在近代物理理论中,角动量对于表征状态也必不可少。角动量守恒定律在经典物理学、运动生物学、航空航天技术等领域中的应用非常广泛。角动量在20世纪已成为继动量和能量之外的力学中的重要概念之一。 在物理学里，力矩可以被想象为一个旋转力或角力，导致出旋转运动的改变。这个力定义为线型力乘以径长。 依照国际单位制，力矩的单位是牛顿-米[1]。 1.1对定轴的力矩 如图1所示，一刚体绕定轴z转动（只画出了刚体一部分），力F作用在刚体上P点，且力的方向在P点的转动平面M内。如果力不在转动平面内，可以把F分解为沿轴z方向的分力和在转动平面内的分 力。轴向分力是要改变轴的方向，在定轴 转动中会被定轴的支撑力矩抵消而不起作 用，所以我们可以只考虑在转动平面内分 力的作用，以后我们也只讨论力在转动平 面内的情况。设P点的转心为O，径矢为 r。通常把力F对定轴z的力矩定义为一 图1 刚体对轴的力矩 它的大小为 ?r?F （1） M?Frsin??Fd （2） M?Frsin??Ftr （3） 其中d?rsin?称为力F对轴的力臂，Ft?Fsin?为力F的切向分量。由（3）式可知， 力矩矢量的方向是矢径r和力F矢积的方向。图中的力矩矢量的方向向上。 在刚体的定轴转动中，力矩矢量的方向只有沿着z轴和逆着z轴两个方向。我们把沿z轴的力矩叫做正力矩，逆着z轴的力矩叫做负力矩，这是力矩的标量表述。 可以证明，力对定轴z的力矩不过是力对轴上任一定点的力矩在z轴方向的分量，所以它们的讨论和表示方式才如此相似。 若作用在p点的力不止一个，即是一个合力，则该点所受合力的力矩等于各分力力矩之和。简要证明如下： 按（1）式，合力的力矩 M?r?F?r??Fi??Mi (4) 其中Mi?r?Fi为各分力的力矩，证毕[2]。 1.2作用力矩和反作用力矩 由于作用力和反作用力是成对出现的，所以它们的力矩也成对出现。由于作用力与反用力的大小相等，方向相反且在同一直线上因而有相同的力臂，见下图，所以作用力矩和反作用力矩也是大小相等，方向相反，其和为零。 2.角动量的概念 ?M'?0 (5) 刚体的转动惯量和角速度的乘积叫做刚体转动的角动量，或动量矩，代号L，SI单位千克二次方米每秒，符号kgm2/s。角动量是描述物体转动状态的物理量。 如果对于某一固定点,质点所受的合外力矩为零,则此 质点对该固定点的角动量矢量保持不变。(质点角动理守恒定律) 如果一个质点系所受的合外力矩等于该质点系的角动量对时间的变化率(力矩和角动量都相对于惯性系中同一定点)。(质点系的角动量守恒定理) 角动量是矢量。 角动量L?r?F?r?F?sin?r,F? 角动量在物理学中是与物体到原点的位移和动量相关的物理量， 角动量在经典力学中表示为到原点的位移和动量的叉乘，通常写做L。 角动量在量子力学中与角度是一对共轭物理量。 3.角动量守恒定理 在不受外界作用时，角动量是守恒的。角动量守恒是跟空间各项同性有关系的，也就是说空间的各个方向是没有区别的，这叫做物理定律的旋转不变性，由这种不变性，在理论上，可以得到角动量守恒。动量守恒是跟空间均匀性相关的，也就是说物理定律在各个地方是一样的，地球上的物理定律跟月亮上的物理定律是一样的，这叫做空间平移不变性，由空间平移不变性，可以从理论上推导出动量守恒。另外，还有能量守恒是跟时间平移不变性相关的，也就是说，过去，现在和未来物理定律是一样的话，就有这么一个量，叫做能量是守恒的。所有这些，都是由一个叫做诺特定理的东西得出来的. 3.1 质点对参考点的角动量守恒定律 如图2所示,质点m的动量为p,相对于参考点O 角动量为L,其值L=rpsin?,其中?是质点的动量与质点相对参考点O的位置矢量r的夹角。其角动量的变化量ΔL等于外力的冲量矩M?t(M为外力对参考点O的力 矩),即ΔL=M?t。若M=0,得ΔL=0,即质点对参考点O的角动量守恒[3]。 3.2 质点系对参考点的角动量守恒定律 由n个质点组成的质点系,且处于惯性系中,可以推导出作用于各质点诸力对参考点的外力矩的冲量矩?Mi??t,等于质点系对该参考点的角动量的变化量,即ΔL =?Mi??t。同样当?Mi?0时,质点系对该参考点的角动量守恒。如果n个质点组 成的质点系,处于非惯性系中,只要把质点系的质心取作参考点,上述结论仍成立。 4.角动量守恒的判断 当外力对参考点的力矩为零,即?Mi?0时,质点或质点系对该参考点的角动量 守恒。有四种情况可判断角动量守恒: ①质点或质点系不受外力。 ②所有外力通过参考点。 ③每个外力的力矩不为零,但外力矩的矢量和为零。甚至某一方向上的外力矩为零,则在这一方向上满足角动量守恒。 ④内力对参考点的力矩远大于外力对参考点的合力矩,即内力矩对质点系内各质点运动的影响远超过外力矩的影响,角动量近似守恒[4]。 5.角动量守恒定理的应用 角动量守恒定理在我们的现实生活中非常的常见，航海航天领域和人们平常所使用的工具器械，以及日常中见到的现象很多一部分都可以用角动量守恒定理来解释。 5.1平板球摆问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 有一光滑圆形平板A,在圆盘的中心O点出有一圆形小孔，小空中穿过一根细棉绳，绳的另一端系着一质量为m的小球，小球以速度v按逆时转动，用手拉住棉线的下端缓慢向下拉。我们会发现小球的线速度会逐渐增加。即对于小球有，半径r逐渐减小，速度v逐渐增加，通过实验计算我们可以得出对于以上系统有r?mv为一定值，即小球的角动量守恒。 5.2花样溜冰中的角动量守恒 旋桨转轴的角动量为零。然后主螺旋桨开始转动,系统的角动量增加,这时外力矩由轮子与地面的摩擦力提供,满足角动量定理。主螺旋桨加速转动的力矩对系统来讲是内力矩,它与作用在机身的内力矩总合为零,因此合内力矩对系统的角动量没有影响。而作用于机身的内力矩又与地面的摩擦力矩相平衡,而使机身处于平衡。当主螺旋桨的角速度不断增加,一旦机身离地,摩擦力矩将突然消失,忽略空气对主螺旋桨转动的阻力矩,此时外力矩则为零,故系统角动量应保持不变,若主螺旋桨的角速度继续增加,则机身会反方向转动,以抵消由于主螺旋桨继续加速而增加的角动量,使系统总角动量保持不变。机尾安装的小螺旋桨可产生一个附加力矩与机身所受内力矩平衡,从而消除机身的转动。 5.3.3陀螺仪进动的应用 自古以来,人们通过陀螺现象早已熟知高速 旋转物体的定向性。常平架陀螺仪如图6所示, 外环可绕垂直轴自由转动,内环可绕水平轴自 由转动,回转仪安装在内环中,其转轴与内环转 轴相垂直,三轴交于一点,并与陀螺仪的质心重 合。它可使回转仪的转轴在空间取任意方向,由 于三转轴都通过质心,所以回转仪不受重力矩 作用,因此回转仪高速旋转时,角动量保持不变, 不论支架转到什么方位,回转仪的转轴始终保 持不变。常平架陀螺仪具有转轴方向不变的特点, 称为指示型陀螺,可以作为指示器。如指示地理子图4 陀螺仪简图 午线和铅垂线方向,测定飞机的姿态角、舰船的摇摆角,制造控制飞机和舰船的自动器等。动力型陀螺的陀螺元件常被用作稳定器,或用于稳定载体上的某种装置,还可用于惯性导航、惯性平台等。以射出的子弹为例,子弹在空中将受空气阻力的作用,设空气阻力的合力为F,其方向与子弹质心的速度方向相反,一般并不作用在子弹的质心上,因此将使弹头绕质心发生翻转,影响命中率,为避免发生这种现象,就在枪膛内壁上刻出螺旋线,称为来复线。借助子弹的高温变软,使子弹嵌入膛内的来复线向前推进而高速旋转,由于自转,空气阻力对质心的力矩不能使子弹翻转,而只是使弹头绕飞行方向进动,使弹头与飞行方向不致有过大偏离。近年来,陀螺仪的应用越来越广,除了航空、航天、航海、潜水艇与火箭导航外, 还大量应用于坦克与火炮的稳定、工作平台与测 量仪器的稳定等方面。陀螺效应对稳定性的影响近代舰船与飞机都拥有大量的转动部件[6]。 现对角动量守恒现象做了一些初步的介绍，我们了解到角动量守恒现象对于物理学及技术应用都有很大意义。推动角动量守恒现象的研究对于人类的发展极大的作用。现阶段角动量守恒现象已应用到技术方面，给人们生产、生活带来了不可磨灭的贡献。加深角动量守恒现象的研究甚至将推动人类历史的发展。 [1]漆安慎,杜婵英.普通物理学教程 力学[M].北京:高等教育出版社,2005.6～8. [2]黄英,李华,李静.刚体角动量的确定[J].职业圈,2007,59(7):194～196. [3]高德文,赵 英.几个角动量守恒问题的讨论[D].北京:北京石油化工学院数理部,2002,54～56. [4]贾玉磊,贾瑞皋.刚体角动量的定义和定义状态量的原则[D].山东 东营:中国石油大学(华东)物理科学与技术学院,2008,13～16. [5]王建峰.“角动量守恒”及其应用[J].物理教师,2007,28(4):34～36. [6]王志刚,张立换,徐建军.角动量理论在现代技术中的应用[J].现代物理知识,2006,32(7),10～12. 角动量守恒定理及其应用 摘 要:角动量这一概念是经典物理学里面的重要组成部分，角动量的研究主要是对于物体的转动方面，并且可以延伸到量子力学以、原子物理及天体物理等方面。角动量这一概念范畴系统的介绍的力矩、角速度、角加速度的概念，并且统筹的联系到质点系、质心系、对称性等概念。 关键词:角动量；力矩；角动量守恒；矢量；转动；应用 Angular momentum conservation theorems and their application Abstract:Angular momentum to the concept of classical physics there is an important component of angular momentum of research mainly for the rotation, and may extend to the quantum mechanics and physical and in the astrophysical. angular momentum in the categorical system of the present moment, the angular velocity, the concepts of angular acceleration and co-ordination of the particle, the quality of heart, symmetry, and concepts. Key words:Angular momentum;Torque; Conservation of angular momentum; Vector; Turn; application. 在研究物体运动时,人们经常可以遇到质点或质点系绕某一定点或轴线运动的情况。例如太阳系中行星绕太阳的公转、月球绕地球的运转、物体绕某一定轴的转动等,在这类运动中,运动物体速度的大小和方向都在不断变化,因而其动量也在不断变化。在行星绕日运动中,行星受指向太阳的向心力作用,其运动满足角动量守恒。我们很难用动量和动量守恒定律揭示这类运动的规律,但是引入角动量和角动量守恒定律后,则可较为简单地描述这类运动。 角动量可从另一侧面反映物体运动的规律。事实上,角动量不但能描述宏观物体的运动,而且在近代物理理论中,角动量对于表征状态也必不可少。角动量守恒定律在经典物理学、运动生物学、航空航天技术等领域中的应用非常广泛。角动量在20世纪已成为继动量和能量之外的力学中的重要概念之一。 在物理学里，力矩可以被想象为一个旋转力或角力，导致出旋转运动的改变。这个力定义为线型力乘以径长。 依照国际单位制，力矩的单位是牛顿-米[1]。 1.1对定轴的力矩 如图1所示，一刚体绕定轴z转动（只画出了刚体一部分），力F作用在刚体上P点，且力的方向在P点的转动平面M内。如果力不在转动平面内，可以把F分解为沿轴z方向的分力和在转动平面内的分 力。轴向分力是要改变轴的方向，在定轴 转动中会被定轴的支撑力矩抵消而不起作 用，所以我们可以只考虑在转动平面内分 力的作用，以后我们也只讨论力在转动平 面内的情况。设P点的转心为O，径矢为 r。通常把力F对定轴z的力矩定义为一 图1 刚体对轴的力矩 它的大小为 ?r?F （1） M?Frsin??Fd （2） M?Frsin??Ftr （3） 其中d?rsin?称为力F对轴的力臂，Ft?Fsin?为力F的切向分量。由（3）式可知， 力矩矢量的方向是矢径r和力F矢积的方向。图中的力矩矢量的方向向上。 在刚体的定轴转动中，力矩矢量的方向只有沿着z轴和逆着z轴两个方向。我们把沿z轴的力矩叫做正力矩，逆着z轴的力矩叫做负力矩，这是力矩的标量表述。 可以证明，力对定轴z的力矩不过是力对轴上任一定点的力矩在z轴方向的分量，所以它们的讨论和表示方式才如此相似。 若作用在p点的力不止一个，即是一个合力，则该点所受合力的力矩等于各分力力矩之和。简要证明如下： 按（1）式，合力的力矩 M?r?F?r??Fi??Mi (4) 其中Mi?r?Fi为各分力的力矩，证毕[2]。 1.2作用力矩和反作用力矩 由于作用力和反作用力是成对出现的，所以它们的力矩也成对出现。由于作用力与反用力的大小相等，方向相反且在同一直线上因而有相同的力臂，见下图，所以作用力矩和反作用力矩也是大小相等，方向相反，其和为零。 2.角动量的概念 ?M'?0 (5) 刚体的转动惯量和角速度的乘积叫做刚体转动的角动量，或动量矩，代号L，SI单位千克二次方米每秒，符号kgm2/s。角动量是描述物体转动状态的物理量。 如果对于某一固定点,质点所受的合外力矩为零,则此 质点对该固定点的角动量矢量保持不变。(质点角动理守恒定律) 如果一个质点系所受的合外力矩等于该质点系的角动量对时间的变化率(力矩和角动量都相对于惯性系中同一定点)。(质点系的角动量守恒定理) 角动量是矢量。 角动量L?r?F?r?F?sin?r,F? 角动量在物理学中是与物体到原点的位移和动量相关的物理量， 角动量在经典力学中表示为到原点的位移和动量的叉乘，通常写做L。 角动量在量子力学中与角度是一对共轭物理量。 3.角动量守恒定理 在不受外界作用时，角动量是守恒的。角动量守恒是跟空间各项同性有关系的，也就是说空间的各个方向是没有区别的，这叫做物理定律的旋转不变性，由这种不变性，在理论上，可以得到角动量守恒。动量守恒是跟空间均匀性相关的，也就是说物理定律在各个地方是一样的，地球上的物理定律跟月亮上的物理定律是一样的，这叫做空间平移不变性，由空间平移不变性，可以从理论上推导出动量守恒。另外，还有能量守恒是跟时间平移不变性相关的，也就是说，过去，现在和未来物理定律是一样的话，就有这么一个量，叫做能量是守恒的。所有这些，都是由一个叫做诺特定理的东西得出来的. 3.1 质点对参考点的角动量守恒定律 如图2所示,质点m的动量为p,相对于参考点O 角动量为L,其值L=rpsin?,其中?是质点的动量与质点相对参考点O的位置矢量r的夹角。其角动量的变化量ΔL等于外力的冲量矩M?t(M为外力对参考点O的力 矩),即ΔL=M?t。若M=0,得ΔL=0,即质点对参考点O的角动量守恒[3]。 3.2 质点系对参考点的角动量守恒定律 由n个质点组成的质点系,且处于惯性系中,可以推导出作用于各质点诸力对参考点的外力矩的冲量矩?Mi??t,等于质点系对该参考点的角动量的变化量,即ΔL =?Mi??t。同样当?Mi?0时,质点系对该参考点的角动量守恒。如果n个质点组 成的质点系,处于非惯性系中,只要把质点系的质心取作参考点,上述结论仍成立。 4.角动量守恒的判断 当外力对参考点的力矩为零,即?Mi?0时,质点或质点系对该参考点的角动量 守恒。有四种情况可判断角动量守恒: ①质点或质点系不受外力。 ②所有外力通过参考点。 ③每个外力的力矩不为零,但外力矩的矢量和为零。甚至某一方向上的外力矩为零,则在这一方向上满足角动量守恒。 ④内力对参考点的力矩远大于外力对参考点的合力矩,即内力矩对质点系内各质点运动的影响远超过外力矩的影响,角动量近似守恒[4]。 5.角动量守恒定理的应用 角动量守恒定理在我们的现实生活中非常的常见，航海航天领域和人们平常所使用的工具器械，以及日常中见到的现象很多一部分都可以用角动量守恒定理来解释。 5.1平板球摆问题 有一光滑圆形平板A,在圆盘的中心O点出有一圆形小孔，小空中穿过一根细棉绳，绳的另一端系着一质量为m的小球，小球以速度v按逆时转动，用手拉住棉线的下端缓慢向下拉。我们会发现小球的线速度会逐渐增加。即对于小球有，半径r逐渐减小，速度v逐渐增加，通过实验计算我们可以得出对于以上系统有r?mv为一定值，即小球的角动量守恒。 5.2花样溜冰中的角动量守恒