导数有关知识点
总结
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、经典例
题
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及解析、近年高考题带
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
导数及其应用
【考纲说明】
1、了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。
2、熟记八个基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。
3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。
【知识梳理】
一、导数的概念
?y=f（x+?x）－f（x）?x叫做函函数y=f(x),如果自变量x在x0处有增量?x，那么函数y相应地有增量00，比值?yf(x0??x)?f(x0)?y
?x数y=f（x）在x0到x0+?x之间的平均变化率，即?x=。如果当?x?0时，?x有极限，我们
就说函数y=f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x0处的导数，记作f’（x0）或y’|x?x0。
f(x0??x)?f(x0)?y
limlim
?x?x?0??x即f（x0）==x?0。
（1）函数f（x）在点x0处可导，是指?x?0时，?x有极限。如果?x不存在极限，就说函数在点x0处不可导，
或说无导数。
（2）?x是自变量x在x0处的改变量，?x?0时，而?y是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x0处的导数的步骤： （1）求函数的增量?y=f（x0+?x）－f（x0）；
?yf(x0??x)?f(x0)
?x（2）求平均变化率?x=；
（3）取极限，得导数f’(x0)=?x?0?x。
二、导数的几何意义
函数y=f（x）在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x0，f（x0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x0，f（x0））处的切线的斜率是f’（x0）。相应地，切线方程为y－y0=f/（x0）（x－x0）。 三、几种常见函数的导数
xn??nxn?1;???C?0;① ② ③(sinx)?cosx; ④(cosx)??sinx;
??⑤(e)?e;⑥(a)?alna; ⑦
?lnx???
?logax???logae
x; ⑧x.
四、两个函数的和、差、积的求导法则
法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，
u?v)?u?v. 即： (
法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，
'''(uv)?uv?uv. 即：
'''''
(Cu)?Cu?Cu?0?Cu?Cu若C为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：
(Cu)'?Cu'.
法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：
?u?u'v?uv'
?v?‘=v2
（v?0）。
形如y=f??(x)?的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y＇|x= y＇|u ·u＇|x 五、导数应用
1、单调区间：
一般地，设函数y?f(x)在某个区间可导，
'f如果(x)?0，则f(x)为增函数； 'f如果(x)?0，则f(x)为减函数；
f如果在某区间内恒有(x)?0，则f(x)为常数；
2、极点与极值：
曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正； 3、最值：
一般地，在区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值。 ①求函数?(x)在(a，b)内的极值；
②求函数?(x)在区间端点的值?(a)、?(b)；
③将函数?(x)的各极值与?(a)、?(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。 4．定积分
(1)概念：设函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0
0，且x≠1时，f(x)>
?，求k的取值范围。 x?1x
【解析】(1)f,(x)=
f(x)=1
即 解得a=1，b=1。
11af,(1)=? ?b=?
?Inx)
1b由于直线x+2y-3=0的斜率为，且过点(1,1)， ??
2(x?1)2x2
lnxk1(k?1)(x2?1)lnx1
?)?(2lnx?)。 (2)由（1）知?，所以f(x)?(
x?1x1?x2xx?1x
(k?1)(x2?1)(k?1)(x2?1)?2x
考虑函数h(x)?2lnx?。 (x?0)，则h'(x)?
k(x2?1)?(x?1)2
(i)设k?0，由h'(x)?知，当x?1时，h'(x)?0。而h(1)?0，故 2
h(x)?0； 1?x2
当x?（1，+?）时，h（x）<0，可得 h（x）>0 2
当x?(0,1)时，h(x)?0，可得
f?(x)?
【解析】（Ⅰ）
a(2?x)
??x3，（x?0），在区间(??,0)和(2,??)上，f(x)?0；在区间(0,2)上，f(x)?0.
所以，f(x)的单调递减区间是(??,0)和(2,??)，单调递增区间是(0,2).
a(x0?1)?
?x0?y0?1?0?a(2?x)
xx?1a?1(x,y)0?（Ⅱ）设切点坐标为00，则? 解得0，.
a?1??()x?lnx?1?alnx?a(x?1)（Ⅲ）g(x)?x，则g解g(x)?0，得x?e，
a?1a?1
(0,e)(e,??)上，g(x)为递增函数. g(x)所以，在区间上，为递减函数，在区间
a?1(e)???eaaee?1，即0?a?1时，在区间[1,e]上，g(x)为递增函数，所以g(x)最大值为g当.
?e，即a?2时，在区间[1,e]上，g(x)为递减函数，所以g(x)最大值为g(1)?0.
当10;当x???1?232???2??
时，f ' (x)<0;
当x???3，
????1?2?
，f ' (x)>0,所以f(x)在x=2处取得极大值，在x=3
处取得极小值。 （2）若f(x)为R上的单调函数则f ' (x)恒大于等于零或f ' (x)恒小于等于零， 因为a>0所以Δ=（-2a）2-4a≤0，解得00）. （Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），讨论F（x）在（0.＋∞）内的单调性并求极值； （Ⅱ）求证：当x>1时，恒有x>ln2x－2a ln x＋1.
?31???
【课后作业】
一、选择题
1.（2005全国卷Ⅰ文）函数f(x)?x?ax?3x?9,已知f(x)在x??3时取得极值,则a=( ) A 2
（D）函数f(x)有极大值f(?2)和极小值f(2) 二、填空题：
y?x?2x?4x?2在点(1，一3)处的切线方程是 . 11.（2007浙江文）曲线
12.（2006重庆文科）曲线y?x在点（1，1）处的切线与x轴、直线x?2所围成的三角形的
面积为 .
13．（2007江苏）已知函数f(x)?x?12x?8在区间[?3,3]上的最大值与最小值分别为M,m，则
14.（2008北京文）如图，函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C 的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f(f(0))= ; 函数f(x)在x=1处的导数f′(1)= . 三、解答题：
15.（2005北京理科、文科）已知函数f(x)= －x3＋3x2＋9x＋a. （I）求f(x)的单调递减区间；
（II）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
16.（2006安徽文）设函数f?x??x?bx?cx(x?R)，已知g(x)?f(x)?f?(x)是奇函数。
（Ⅰ）求b、c的值。 （Ⅱ）求g(x)的单调区间与极值。
1. （2005福建文科）已知函数f(x)?x?bx?cx?d的图象过点P（0，2），且在点M（－1，f（－1））处的切线方程为6x?y?7?0.
（Ⅰ）求函数y?f(x)的解析式； （Ⅱ）求函数y?f(x)的单调区间.
18.（2007重庆文）用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？ 19．（2008全国Ⅱ卷文） 设a?R，函数f(x)?ax?3x． （Ⅰ）若x?2是函数y?f(x)的极值点，求a的值；
（Ⅱ）若函数g(x)?f(x)?f?(x)，x?[0，2]，在x?0处取得最大值，求a的取值范围． 20.（2008湖北文） 已知函数f(x)?x?mx?mx?1（m为常数，且m>0）有极大值9. （Ⅰ）求m的值； （Ⅱ）若斜率为-5的直线是曲线y?f(x)的切线，求此直线方程.
【参考答案】
【课堂练习】 一、选择
1—10AADBD DDCCC (2) 填空
（1） 3 ； 12．?16； 13. 2 ； 14. ??R??4?R2,球的体积函数的导数等于球的表面积函数
三、解答题
15. 解：每月生产x吨时的利润为f(x)?(24200?
x)x?(50000?200x) 5
??x3?24000x?50000(x?0)
由f?(x)??x?24000?0解得x1?200,x2??200(舍去).
因f(x)在[0,??)内只有一个点x?200使f?(x)?0，故它就是最大值点，且最大值为：1
f(200)??(200)3?24000?200?50000?3150000(元)
答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元.
. 即当16. 解：(Ⅰ)因为f(x)?x?ax?9x?1, 所f?(x)?3x?2ax?9?3(x?)?9?
x??时，f?(x)取得最小值?9?.因斜率最小的切线与12x?y?6平行，即该切线的斜率为-12，所以
?9???12,即a2?9. 解得a??3,由题设a?0,所以a??3.
f?(x)?3x2?6x?9?3(x?3(x?1)令f?(x)?0,解得：x1??1,x2?3.
当x?(??,?1)时，f?(x)?0,故f(x)在(??，?1）上为增函数；当x?(?1,3)时，f?(x)?0,故f(x)在（?1，3）上为减函数；当x?(3,+?)时，f?(x)?0,故f(x)在（3，??）上为增函数.由此可见，函数f(x)的单调递增区间为(??,?1）和（3，??）；单调递减区间为（?1，3）.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知a??3,因此f(x)?x?3x?9x?1,
17．解：（1）f(x)?x?ax?x?1 求导：f?(x)?3x?2ax?1
≤3时，?≤0，f?(x)≥0, f(x)在R上递增
当a?3，f?(x)?
0求得两根为x?2
, 即f(x
)在??????递减
???递增 ???
??内是减函数，当且仅当，f?(x)?0在??，??恒成立， （2）要使f(x)在在区间??，
?31?3??2?31?3?
??2??74a?f???3??0?3?3?0????
由f?(x)的图像可知，只需?，即?, 解得。a≥2。所以，a的取值范围?2,???。
42a1??f?????0????0
33??3????
18.解：（Ⅰ）因为f?(x)?(e
)???e?x, 所以切线l的斜率为?e?t,故切线l的方程为y?e?t??e?t(x?t).即
ex?y?e(t?1)?0。
（Ⅱ）令y= 0得x=t+1, x=0得y?e(t?1) 所以S（t）=
111?t2?t
(t?1)?e(t?1)=(t?1)e从而S?(t)?e?t(1?t)(1?t). 222
∵当t?（0，1）时，S?(t)>0, 当t?（1,+∞）时,S?(t)<0,所以S(t)的最大值为S(1)=
?∞?． 19．解：f(x)的定义域为??，
?3?2??
24x2?6x?22(2x?1)(x?1)
?2x??（Ⅰ）f?(x)?． 2x?32x?32x?3
?x??1时，f?(x)?0；当?1?x??时，f?(x)?0；当x??时，f?(x)?0．
?单调减少． 2?
?1?，??，?∞?单调增加，在区间??1，?从而，f(x)分别在区间??，
?31???
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)在区间???的最小值为f????ln2?．
3971311?49??3??1?
?f?ln??ln??ln??1?ln??????0．
216216722?6??4??4?
?ln． 所以f(x)在区间???的最大值为f???444162????
2Inx2a
?,x?0. xx
故F(x)?xf?(x)?x?2Inx?2a,x?0, 于是F?(x)?1??,x?0.
20.（Ⅰ）解：根据求导法则得f?(x)?1?列表如下：
F（2）＝2-2In2+2a. （Ⅱ）证明：由a?0知，F(x)的极小值F(2)?2?2In2?2a?0. 于是由上表知，对一切x?(0,??),恒有F(x)?xf?(x)?0. 从而当x?0时，恒有f?(x)?0,故f(x)在（0,??）内单调增加. 所以当x?1时，f(x)?f(1)?0,即x?1?Inx?2aInx?0.
时，恒有x?Inx?2aInx?1. 故当x?1
【课后作业】
1-10 DBDAB ACABD 一、填空
11. 5x?y?2?0； 12. ；13. 32；14. 2 , -2 .
三、解答题 15. 解：（I） f ’(x)＝－3x2＋6x＋9．令f ‘(x)<0，解得x<－1或x>3， 所以函数f(x)的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．
（II）因为f(－2)＝8＋12－18＋a=2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，
所以f(2)>f(－2)．因为在（－1，3）上f ‘(x)>0，所以f(x)在[－1, 2]上单调递增， 又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，
因此f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值，于是有 22＋a＝20，解得 a＝－2． 故f(x)=－x3＋3x2＋9x－2，因此f(－1)＝1＋3－9－2＝－7， 即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7．
16.解（Ⅰ）∵f?x??x?bx?cx，∴f??x??3x?2bx?c。从而
g(x)?f(x)?f?(x)?x3?bx2?cx?(3x2?2bx?c)＝x3?(b?3)x2?(c?2b)x?c是一个奇函数，所以g(0)?0得c?0，由奇函数定义得b?3；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知g(x)?x?6x，从而g?(x)?3x?6，由此可知，
（2）当a?0时，抛物线h(x)?ax?3(a?1)x?6的对称轴为x??
当a<0时，?23(a?1)， 2a3(a?1)?0，有h(0)= -6<0, 所以h(x)在(0,??)上单调递减，h(x) <0恒成立； 2a
6;综上，a的取5 当a>0时,因为h(0)= -6<0,,所以要使h(x)≤0在x??0,2?上恒成立,只需h(2) ≤0成立即可,解得a≤
值范围为????．
20.解：(Ⅰ) f’(x)＝3x2+2mx－m2=(x+m)(3x－m)=0,则x=－m或x=
当x变化时，f’(x)与f(x)的变化情况如下表：
从而可知，当x=－m时，函数f(x)取得极大值9，即f(－m)＝－m
+m+m+1=9,∴m＝2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)=x3+2x2－4x+1, ??6?5?1m, 3
1168. 又f(－1)＝6，f(－)＝， 3327
681所以切线方程为y－6＝－5(x＋1),或y－＝－5(x＋)，即5x＋y－1＝0，或135x＋27y－23＝0. 327依题意知f’(x)＝3x2＋4x－4＝－5，∴x＝－1或x＝－
导数及其应用
【考纲说明】
1、了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。
2、熟记八个基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。
3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。
【知识梳理】
一、导数的概念
?y=f（x+?x）－f（x）?x叫做函函数y=f(x),如果自变量x在x0处有增量?x，那么函数y相应地有增量00，比值?yf(x0??x)?f(x0)?y
?x数y=f（x）在x0到x0+?x之间的平均变化率，即?x=。如果当?x?0时，?x有极限，我们
就说函数y=f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x0处的导数，记作f’（x0）或y’|x?x0。
f(x0??x)?f(x0)?y
limlim
?x?x?0??x即f（x0）==x?0。
（1）函数f（x）在点x0处可导，是指?x?0时，?x有极限。如果?x不存在极限，就说函数在点x0处不可导，
或说无导数。
（2）?x是自变量x在x0处的改变量，?x?0时，而?y是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x0处的导数的步骤： （1）求函数的增量?y=f（x0+?x）－f（x0）；
?yf(x0??x)?f(x0)
?x（2）求平均变化率?x=；
（3）取极限，得导数f’(x0)=?x?0?x。
二、导数的几何意义
函数y=f（x）在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x0，f（x0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x0，f（x0））处的切线的斜率是f’（x0）。相应地，切线方程为y－y0=f/（x0）（x－x0）。 三、几种常见函数的导数
xn??nxn?1;???C?0;① ② ③(sinx)?cosx; ④(cosx)??sinx;
??⑤(e)?e;⑥(a)?alna; ⑦
?lnx???
?logax???logae
x; ⑧x.
四、两个函数的和、差、积的求导法则
法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，
u?v)?u?v. 即： (
法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，
'''(uv)?uv?uv. 即：
'''''
(Cu)?Cu?Cu?0?Cu?Cu若C为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：
(Cu)'?Cu'.
法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：
?u?u'v?uv'
?v?‘=v2
（v?0）。
形如y=f??(x)?的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y＇|x= y＇|u ·u＇|x 五、导数应用
1、单调区间：
一般地，设函数y?f(x)在某个区间可导，
'f如果(x)?0，则f(x)为增函数； 'f如果(x)?0，则f(x)为减函数；
f如果在某区间内恒有(x)?0，则f(x)为常数；
2、极点与极值：
曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正； 3、最值：
一般地，在区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值。 ①求函数?(x)在(a，b)内的极值；
②求函数?(x)在区间端点的值?(a)、?(b)；
③将函数?(x)的各极值与?(a)、?(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。 4．定积分
(1)概念：设函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x00，且x≠1时，f(x)>
?，求k的取值范围。 x?1x
【解析】(1)f,(x)=
f(x)=1
即 解得a=1，b=1。
11af,(1)=? ?b=?
?Inx)
1b由于直线x+2y-3=0的斜率为，且过点(1,1)， ??
2(x?1)2x2
lnxk1(k?1)(x2?1)lnx1
?)?(2lnx?)。 (2)由（1）知?，所以f(x)?(
x?1x1?x2xx?1x
(k?1)(x2?1)(k?1)(x2?1)?2x
考虑函数h(x)?2lnx?。 (x?0)，则h'(x)?
k(x2?1)?(x?1)2
(i)设k?0，由h'(x)?知，当x?1时，h'(x)?0。而h(1)?0，故 2
h(x)?0； 1?x2
当x?（1，+?）时，h（x）<0，可得 h（x）>0 2
当x?(0,1)时，h(x)?0，可得
浙公网安备 33021202002483