圆与圆的位置关系5.30
圆和圆的位置关系
教学目标:
1.掌握圆与圆的五种位置关系的定义、性质及判定方法; 2.通过两圆的位置关系,培养学生的分类能力和数形结合能力;
3.通过演示两圆的位置关系,培养学生用运动变化的观点来分析和发现问题的能力. 教学重点、难点:
两圆的五种位置关系与两圆的半径、圆心距的数量之间的关系. (一)复习、引出问题
1.复习:直线和圆有几种位置关系?各是怎样定义的?
(教师主导,学生回忆、回答)直线和圆有三种位置关系,即直线和圆相离、相切、相交.各种位置关系是通过直线与圆的公共点的个数来定义的
2.引出问题:平面内两个圆,它们作相对运动,将会产生什么样的位置关系呢?
(二)观察、分类,得出概念
1、 让学生观察、分析、比较,分别得出两圆:外离、外切、相交、内切、内含(包括同
心圆)这五种位置关系,给出描述性定义: (1)外离:两个圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外离.(图(1))
(2)外切:两个圆有唯一的公共点,并且除了这个公共点以外,每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.(图(2))
(3)相交:两个圆有两个公共点,此时叫做这两个圆相交.(图(3))
(4)内切:两个圆有唯一的公共点,并且除了这个公共点以外,一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点.(图(4))
(5)内含:两个圆没有公共点,并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内含(图(5)).两圆同心是两圆内含的一个特例. (图(6)) 2、归纳:
(1)两圆外离与内含时,两圆都无公共点.
(2)两圆外切和内切统称两圆相切,即外切和内切的共性是公共点的个数唯一 (3)两圆位置关系的五种情况可归纳为三类:相离(外离和内含);相交;相切(外切和内切).
教师组织学生归纳,并进一步考虑:从两圆的公共点的个数考虑,无公共点则相离;有一个公共点则相切;有两个公共点则相交.除以上关系外,还有其它关系吗?可能不可能有三个公共点?
结论:在同一平面内任意两圆只存在以上五种位置关系.
2、两圆位置关系的数量特征.
设两圆半径分别为R和r.圆心距为d,组织学生研究两圆的五种位置关系,r和d之间有何数量关系.(图形略)
例1已知⊙A、⊙B相切,圆心距为10 cm,其中⊙A的半径为4 cm,求⊙ B的半径.
解 设⊙B的半径为R.
(1) 如果两圆外切,那么 d=10=4+R,
R=6.
(2) 如果两圆内切,那么 d=|R-4|=10,
R=-6(舍去),R=14.
所以⊙B的半径为6 cm或14 cm.
练习:⊙01和⊙ 02 的半径分别为3cm 和 4 cm ,设 (1) 0102= 8cm (2) 0102 = 7cm (3) 0102 =5cm (4) 0102 = 1cm (5) 0102=0.5cm (6) 01和02重合 ⊙0和⊙02的位置关系怎样?
例2、定圆0的半径是4cm,动圆P的半径是1cm,
(1) 设⊙ P和⊙ 0相外切,那么点P与点O的是多少?
点P可以在什么样的线上运动?
(2) 设⊙ P 和 ⊙O 相内切,情况又怎样?
例3、两个圆的半径的比为2 : 3 ,内切时圆心距等于 8cm,
那么这两圆相交时,圆心距d的取值 范围是多少?
应用、练习
1.已知⊙01和⊙02的半径分别为R和r(R>r),圆心距为d,若两圆相交, 试判定关于x的方程x2-2(d-R)x+r2=0的根的情况。 2.如图,已知⊙O1与⊙O2相交于A,B两点, 过A的直线交两圆于C,D两点,G为CD的中点,
BG及其延长线交⊙O1,⊙O2于E、F两点, 连结DF,CE、求证:DF=CE.
探究活动:
探究1: 我们知道,圆是轴对称图形,两个圆也是组成一个轴对称图形,它们的对称轴是________________________________由此可知,如果两个圆相切,那么______一定在连心线上。
探究2:
相交两圆的连心线______两圆的公共弦
(五)小结
知识:①两圆的五种位置关系:外离、外切、相交、内切、内含; ②这五种位置关系下圆心距和两圆半径的数量关系; 能力:观察、分析、分类、数形结合等能力. 思想方法:分类思想、数形结合思想.
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