数学 函数零点的求法及零点的个数

启蒙师第1页共4页函数零点的求法及零点的个数题型1：求函数的零点。[例1]求函数2223xxxy的零点.[解题思路]求函数2223xxxy的零点就是求方程02223xxx的根[解析]令32220xxx，∴2(2)(2)0xxx∴(2)(1)(1)0xxx，∴112xxx或或即函数2223xxxy的零点为-1，1，2。[反思归纳]函数的零点不是点，而是函数函数()yfx的图像与x轴交点的横坐标，即零点是一个实数。题型2：确定函数零点的个数。[例2]求函数f(x)=lnx＋2x－6的零点个数.[解题思路]求函数f(x)=lnx＋2x－6的零点个数就是求方程lnx＋2x－6=0的解的个数[解析]方法一：易证f(x)=lnx＋2x－6在定义域(0,)上连续单调递增，又有(1)(4)0ff，所以函数f(x)=lnx＋2x－6只有一个零点。方法二：求函数f(x)=lnx＋2x－6的零点个数即是求方程lnx＋2x－6=0的解的个数即求ln62yxyx的交点的个数。画图可知只有一个。[反思归纳]求函数)(xfy的零点是高考的热点，有两种常用方法：①（代数法）求方程0)(xf的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(xfy的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点。题型3：由函数的零点特征确定参数的取值范围[例3](2007·广东)已知a是实数,函数axaxxf3222,如果函数xfy在区间1,1上有零点，求a的取值范围。[解题思路]要求参数a的取值范围，就要从函数xfy在区间1,1上有零点寻找关于参数a的不等式（组），但由于涉及到a作为2x的系数，故要对a进行讨论[解析]若0a,()23fxx,显然在1,1上没有零点,所以0a.令248382440aaaa,解得372a①当372a时,yfx恰有一个零点在1,1上;②当05111aaff，即15a时，yfx在1,1上也恰有一个零点。③当yfx在1,1上有两个零点时,则启蒙师第2页共4页208244011121010aaaaff或208244011121010aaaaff解得5a或352a综上所求实数a的取值范围是1a或352a。[反思归纳]①二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，也是高考热点，要深刻理解它们相互之间的关系，能用函数思想来研究方程和不等式，便是抓住了关键.②二次函数2()fxaxbxc的图像形状、对称轴、顶点坐标、开口方向等是处理二次函数问题的重要依据。考点3根的分布问题[例5]已知函数2()(3)1fxmxmx的图像与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m的取值范围[解题思路]由于二次函数的图象可能与x轴有两个不同的交点，应分情况讨论[解析]（1）若m=0，则f（x）=－3x+1，显然满足要求.（2）若m≠0，有两种情况：原点的两侧各有一个，则0104)3(212mxxmmΔm＜0；都在原点右侧，则,01,023,04)3(21212mxxmmxxmmΔ解得0＜m≤1，综上可得m∈（－∞，1］。[反思归纳]二次方程根的分布是高考的重点和热点，需要熟练掌握有关二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的分布有关的结论：①方程f（x）=0的两根中一根比r大，另一根比r小a·f（r）＜0.②二次方程f（x）=0的两根都大于r.0)(,2,042rfarabacbΔ③二次方程f（x）=0在区间（p，q）内有两根.0)(,0)(,2,042pfaqfaqabpacbΔ④二次方程f（x）=0在区间（p，q）内只有一根f（p）·f（q）＜0，或f（p）=0，另一根在（p，q）内或f（q）=0，另一根在（p，q）内.⑤方程f（x）=0的两根中一根大于p，另一根小于q（p＜q）.0)(,0)(qfapfa（二）、强化巩固训练1、函数221fxmxx有且仅有一个正实数的零点，则实数m的取值范围是（）。启蒙师第3页共4页A．,1；B．,01；C．,00,1；D．,1[解析]B；依题意得（1）0)0(04)2(02fmm或（2）0)0(04)2(02fmm或（3）04)2(02mm显然（1）无解；解（2）得0m；解（3）得1m又当0m时12)(xxf，它显然有一个正实数的零点，所以应选B。2、方程223xx的实数解的个数为_______。[解析]2；在同一个坐标系中作函数xy)21(及32xy的图象，发现它们有两个交点故方程223xx的实数解的个数为2。3、已知二次函数22()42(2)21fxxpxpp,若在区间［－1，1］内至少存在一个实数c,使f(c)>0,则实数p的取值范围是_________。[解析](－3，23）只需2(1)2290fpp或2(1)210fpp即－3＜p＜23或－21＜p＜1.∴p∈(－3,23)。4、设函数321()2xyxy与的图象的交点为00(,)xy，则0x所在的区间是（）。A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)答案B。5、若方程2(2)210xkxk的两根中,一根在0和1之间,另一根在1和2之间,求实数k的取值范围。[解析]1223k；令12)2()(2kxkxxf，则依题意得0)2(0)1(0)0(fff，即01242401221012kkkkk，解得1223k。（三）、小结反思：本课主要注意以下几个问题：1．利用函数的图象求方程的解的个数；2．一元二次方程的根的分布；3．利用函数的最值解决不等式恒成立问题。补充题：1、定义域和值域均为[-a,a](常数a>0)的函数y=f(x)和y=g(x)的图像如图所示，给出下列四个命题中：(1)方程f[g(x)]=0有且仅有三个解；(2)方程g[f(x)]=0有且仅有三个解；(3)方程f[f(x)]=0有且仅有九个解；(4)方程g[g(x)]=0有且仅有一个解。那么，其中正确命题的个数是（)。A．1;B.2;C.3;D.4。[解析]B；由图可知，][)(aaxf，，][)(aaxg，，由左图及f[g(x)]=0得aaxyyf(x)Oaaaaxyyg(x)Oaa启蒙师第4页共4页]2[)(1aaxxg，，]02[)(2，axxg，2)(axg，由右知方程f[g(x)]=0有且仅有三个解，即(1)正确；由右图及g[f(x)]=0得)2()(0aaxxf，，由左图知方程g[f(x)]=0有且仅有一个解，故(2)错误；由左图及f[f(x)]=0得]2[)(1aaxxf，，]02[)(2，axxf，2)(axf，又由左图得到方程f[f(x)]=0最多有三个解，故(3)错误；由右图及g[g(x)]=0得)2()(0aaxxg，，由右图知方程g[g(x)]=0有且仅有一个解，即(4)正确，所以应选择B2、已知关于x的二次方程22210xmxm。(1)若方程有两根,其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围。(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围。[解析](1)条件说明抛物线2()221fxxmxm与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图，得65,21,21056)2(,024)1(,02)1(,012)0(mmRmmmfmffmf∴2165m.(2)据抛物线与x轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组10,0,0)1(,0)0(mff.01,2121,21,21mmmmm或(这里0<－m<1是因为对称轴x=－m应在区间(0，1)内通过)即解得1122m．∴1,122m．