高考全国甲卷：《理科数学》2023年考试真题与答案解析

高考精品文档高考全国甲卷理科数学·2023年考试真题与 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 解析同卷地区贵州省、四川省、云南省西藏自治区、广西自治区高考全国甲卷：《理科数学》2023年考试真题与答案解析一、选择题本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合Axxk{∣∣31,kZBxxk},{32,kZ}，U为整数集，ðU()AB（）A．{x|x3k,kZ}B．{x∣x3k1,kZ}C．{x∣x3k2,kZ}D．答案：A2．若复数ai1ai2,aR，则a（）A．-1B．0C．1D．2答案：C3．执行下面的程序框遇，输出的B（）A．21B．34C．551D．89答案：B4．向量|a||b|1,|c|2，且abc0，则cosac,bc（）1A．52B．52C．54D．5答案：D5．已知正项等比数列an中，aS11,n为前n项和，SS5354，则S4（）A．7B．9C．15D．30答案：C6．有60人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（）A．0.8B．0.4C．0.2D．0.1答案：A7．“sin22sin1”是“sincos0”的（）A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件C．充要条件D．既不是充分条件也不是必要条件答案：Bxy228．已知双曲线1(ab0,0)的离心率为5，其中一条渐近线与圆(xy2)22(3)1交于A，ab22B两点，则||AB（）1A．5B．55C．2553D．455答案：D9．有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（）A．120B．60C．40D．30答案：Bππ1110．已知fx为函数yxcos2向左平移个单位所得函数，则yfx与yx的交6622点个数为（）A．1B．2C．3D．4答案：C11．在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，AB4,PCPD3,PCA45，则△PBC的面积为（）A．22B．32C．42D．52答案：Cxy22312．己知椭圆1，FF12,为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，cosF12PF，则||PO965（）2A．5B．3023C．5D．352答案：B二、填空题2π13．若y(x1)axsinx为偶函数，则a________．2答案：22xy3314．设x，y满足约束条件3xy23，设z32xy，则z的最大值为____________．xy1答案：1515．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为CD，AB11的中点，则以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为____________．5答案：1216．在△ABC中，AB2，BAC60,BC6，D为BC上一点，AD为BAC的平分线，则AD_________．答案：2三、解答题（一）必做题17．已知数列an中，a21，设Sn为前n项和，2Snnna．[1]求的通项公式；an1[2]求数列的前n项和Tn．2n答案：[1]因为当n1时，2aa11，即a10当n3时，21aa333，即a32当n2时，21Snn11na所以22SnSn1nannn1a1an化简得：n21annna1aaa当n3时，nn131nn122即ann1*当n1,2,3时都满足上式，所以ann1Nn。a1n[2]因为n22nn123n1111所以Tnn123222223nn111111Tn12(n1)n22222两式相减得：n111123nn1n1111111221Tnnn1222222122nnn11*11，即Tnn22，nN。22218．在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA12，AC1底面ABC，ACB90，A1到平面BCC11B的距离为1．[1]求证：ACAC1；[2]若直线AA1与BB1距离为2，求AB1与平面所成角的正弦值．答案：[1]如图，AC1底面ABC，BC面AC1BC，又BCAC，AC1,AC平面ACC11A，AC1ACCBC平面ACC1A1，又平面7平面ACC11A平面BCC11B过A1作AO11CC交CC1于O，又平面ACC11A平面BCC1B1CC1，AO1平面ACC11AAO1平面A1到平面的距离为1，AO11在Rt△ACC11中，AC1AC11,CC1AA12设COx，则C1O2x△AOC1,,△AOC11△ACC11为直角三角形，且CC12222222222COAO11AC，AO1OC1C1A1，ACACCC11111xx221(2)4，解得x1ACAC1AC112ACAC1。[2]ACAC11,,BCAC1BCACRt△ACB≌Rt△ACB1BABA1过B作BDAA1，交AA1于D，则D为中点由直线与BB1距离为2，所以BD2AD11，BD2，A1BAB5在Rt△ABC，BCAB22AC3延长AC，使ACCM，连接CM1由CM∥AC11,CMAC11知四边形ACMC11为平行四边形CMAC11∥，CM1平面ABC，又AM平面C1MAMRt△ACMAM2,ACCMAC22则在1中，11，AC11(2AC)AC△22在RtAB11C中，AC11(2AC)AC，B11CBC3222AB1(22)(2)(3)13又A到平面BCC11B距离也为1113所以AB1与平面所成角的正弦值为。131319．为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组（不加药物）和实验组（加药物）。[1]设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为X，求的分布列和数学期望；[2]测得40只小鼠体重如下（单位：g）：（已按从小到大排好）对照组：17.318.420.120.421.523.224.624.825.025.426.126.326.426.526.827.027.427.527.628.3实验组：5.46.66.86.97.88.29.410.010.411.214.417.319.220.223.623.824.525.125.226.0[i]求40只小鼠体重的中位数m，并完成下面2×2列联表：9mm对照组实验组[ii]根据2×2列联表，能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用。参考数据：k00.100.050.0102Pkk02.7063.8416.635答案：[1]依题意，X的可能取值为0,1,2，021120CC202019CC202020CC202019则PX(0)2，PX(1)2，PX(2)2C4078C4039C4078所以的分布列为：0121920P7839192019故EX()0121。783978[2][i]依题意，可知这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数。由于原数据已经排好，所以我们只需要观察对照组第一排数据与实验组第二排数据即可，可得第11位数据为14.4，后续依次为17.3,17.3,18.4,19.2,20.1,20.2,20.4,21.5,23.2,23.6,，故第20位为23.2，第21位数据为23.623.223.6所以m23.4。2故列联表为：mm合计对照组61420实验组14620合计20204040(661414)2[ii]由[i]可得，K6.4003.84120202020所以能有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用。20．设抛物线C:y22px(p0)，直线xy210与C交于A，B两点，且|AB|415。[1]求p；[2]设C的焦点为F，M，N为C上两点，MFNF0，求MNF面积的最小值。答案：[1]设AxAABB,,,yBxyxy2102由2，可得y4py2p0y2px所以yABABy4p,yy2p222所以ABxxABABABABAByy5yy5yy4yy415，即2pp260因为p0，解得：p2。11[2]因为F1,0，显然直线MN的斜率不可能为零xmyn设直线：，Mx1,,,y1Nx2y2yx24由，可得y24my4n0xmyn所以y1y24m,y1y24n16m2216n0mn0因为MFNF0，所以x11x21y1y20即my1n1my2n1y1y2022亦即m1y1y2mn1y1y2n10将y1y24m,y1y24n代入得：24m22n6n1，4m2nn10所以n1，且nn2610解得n322或n322n1设点F到直线的距离为d，所以d1m222222MNxx12yy121myy121mmn161621m24n26n116n21m2n111n12所以△MNF的面积SMNd21m2n1n1221m2而或2所以，当n322时，△MNF的面积Smin2221282。sinxπ21．已知f(x)ax3,x0,。cosx2[1]若a8，讨论fx()的单调性；[2]若f(x)sin2x恒成立，求a的取值范围。答案：cosxcos32x3sinxcosxsinx[1]f()xacos6xcos2x3sin2x32cos2xaacos44xxcos令cos2xt，则t(0,1)32tat22t3则f()()xgtatt228t22t3(2t1)(4t3)当a8,f(x)g(t)tt221ππ当t0,，即x,,f(x)02421π当t,1，即x0,,f(x)024πππ所以在0,上单调递增，在,上单调递减。442[2]设g(x)f(x)sin2x22at2t323gxfx()()2cos2xgt()22cosx1222(21)tat24ttt23设(t)a24ttt2264t322t62(t1)(2t2t+3)(t)40t2t3t3t3所以(ta)(1)313①若a(,3]，g(x)(t)a30即gx()在0,上单调递减，所以g(x)g(0)02所以当a(,3],f(x)sin2x，符合题意②若a(3,)231121()t当t0,23，所以ttt33(1)a30所以t0(0,1)，使得t00，即x00,，使得gx002当tt0,1,(t)0，即当x0,x0,g(x)0,g(x)单调递增所以当x0,x0,g(x)g(0)0，不合题意综上，a的取值范围为(,3]。（二）选做题xt2cos22．已知P(2，1)，直线l:（t为参数），l与x轴y轴正半轴交于A，B两点，yt1sin|PA||PB|4。[1]求的值；[2]以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l的极坐标方程．答案：[1]因为l与x轴，y轴正半轴交于AB,两点π所以π22令x0，t1cos1令y0，t2sin24所以PAPBtt421sincossin2所以sin21，π即2kπ2π1解得kkπ,Z423π因为，所以。4[2]由[1]可知，直线l的斜率为tan1，且过点2,1所以直线的普通方程为：yx12即xy30由xycos,sin可得直线的极坐标方程为cossin30。23．已知f(x)2|xa|a,a0。[1]求不等式fxx的解集；[2]若曲线yfx与x轴所围成的图形的面积为2，求a。答案：[1]若xa，则f(x)2a2xax，即3xaaa解得x，即xa3315若xa，则f(x)2x2aax解得xa3即ax3aa综上，不等式的解集为,3a。32,xaxa[2]fx()2x3a,xa画出f(x)的草图，则f(x)与坐标轴围成△ADO与△ABCaa3△ABC的高为a,(0,),DaA,0,B,022所以||ABa113所以SSOAaABaa22OADABC22426解得a3