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集合语言和集合思想的运用
刘 忠（江西省永丰中学特级教师）
集合是高中数学中最基础、最重要的概念之一，集合思想无不渗透到数学的每一个“角落”.在高考中，有关集合的题每年必考，有关集合思想运用的题常考常新。因此，我们要从掌握集合语言入手，从本质上掌握集合思想在解题中的应用，以提高解题能力,从而达到以不变应万变的目的.
一、集合语言
1、数学概念的集合语言
中学数学中许多概念和知识用集合的语言来叙述就显得简单明了，如实数与正方形就分别是用集合的并、交运算来定义的. 即，实数集R=｛有理数｝∪｛无理数｝；｛正方形｝=｛菱形｝∩｛矩形｝等.再如，几何图形就有以下两种集合语言形式.一是把几何图形看作是空间具有某种性质的点的集合（如平面上线段AB的垂直平分线就是点集｛P| |AP|=|BP|｝）.二是在平面上建立了直角坐标系以后，用图形上点的坐标所满足的方程（方程组）或不等式（不等式组）等特征构成的点集来表示.如双曲线为点集｛（x，y）|
=1｝等.但有一点要注意，在立体几何中，虽然空间图形可以看成是点的集合，但有的地方的表示却另有规定.如点A在平面a内，记为A∈a；直线a在平面α内，记为a
α.但直线a与b相交于点A，却记为a∩b=A（本应记为a∩b=｛A｝）.
2、集合语言的运用
用集合语言来解释或描述许很多数学
内容
财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容
，可以简洁明快地揭示数学本质.
例1 集合A＝｛y|y=x2,x∈R｝与集合B=｛(x,y) |y=x2,x∈R｝是否相同？
分析 用描述法表示的集合｛p｜f(p)｝中，p为元素的一般形式（代表元素），f(p)为元素所满足的条件.在解题时要特别注意对元素的一般形式f（p）的理解.
解 集合A中的元素为函数y=x2的函数值，故A为函数的值域；而B中的元素为满足y=x2的有序实数对(x,y)，从“形”的角度讲B是抛物线. 所以A、B是不同的.
变式 集合A＝｛y|y=x2,x∈R｝与集合B=｛x|y=x2,x∈R｝是否相同？
例2 已知集合A＝｛（x,y）|x2+y2=4｝,B=｛（x,y）|x2+y2=1｝，则A、B的关系为（ ）.
A. BA B. A∩B=B C. A∩B=Φ D. A∪B=A
解 如图1，集合A、B分别是以原点为圆心，以2、1为半径的圆，所以A∩B＝Φ，故选C.
评注 本题容易错选A. 关键是要排除集合的韦恩图的干扰.
例3 某次数学竞赛只出了A、B、C三道题，有25个学生参加，每人至少能解出一道题.在没有解出A题的学生中，解出B题的学生人数是解出C题的人数的两倍；只能解出A题的人数比其余解出A题的人数多1；在只能解出一题的学生中，有一半不能解出A题.试求只能解出B题的学生数.
解 如图2所示. 设X、Y、Z分别为只解出A、B、C题的人数；V、U、W分别为只解出A、B，B、C，A、C两题的人数，T为同时解出三题的人数.
由条件知，
所以，25=X+Y+Z+W+V+U +T=X+X+(X-V-T-1)+U+T
=X+X+X-1+U，即3X+U=26.因为X=Y+Z，Y=2Z+U，
所以9Z+4U=26，9Z＜26，Z≤2.
当Z=1时，4U=17不可能.
当Z=2时，U=2，Y=6，X=8，代入原题合乎题意，所以，只解出B题的学生有6人.
二 集合思想
1、集合思想
所谓集合思想，就是将用文字、图形等语言表述的数学命题用集合语言表述后，用集合的知识来求解（或者是用集合语言表述的命题用文字、图形等语言表述后来求解）的思想.它与函数与方程的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想等思想一样都是解数学题的基本思想.显然，集合思想实质上是转化与化归思想的具体体现.
2、集合思想的运用
例4 已知p:
，若﹁p是﹁q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围.
分析 集合思想下的充要条件：若A表示满足条件p的集合，B表示满足条件q的集合，则p是q的充分条件
AB； p是q的必要条件
A
B；p是q的充要条件
A＝ B.
解 由
，得－2≤x≤10； 由x2-2x+1-m2≤0(m>0), 得1-m≤x≤1+m.
∵﹁p是﹁q的充分而不必要条件，∴q是p的充分而不必要条件，∴集合｛x|1-m≤x≤1+m｝是集合｛x|－2≤x≤10｝的真子集，∴1－m≥－2， 1+m≤10，且等号不同时成立， ∴m≤3.
例5 写出命题
的否定.
解 先将不等式
转化为集合
，则由于
EMBED Equation.3 ＝｛x|x<2或x>5｝，
∴
｛x|x<2或x>5｝＝{x|
}，∴﹁p:
.
评注 （１）求﹁p易遗漏
无意义的情况；
（2）本题先将不等式转化为集合，再用集合中的补集知识求解，大大减少了错误的可能性.
例6 已知A={x|x2+(2+p)x+1=0, x∈R},R+={正实数}，若A∩R+=Φ,求p的取值范围 .
分析 因为A∩R+=Φ，所以方程x2+(2+p)x+1=0无正根. 又因为方程显然无零根，所以方程要么无实根，要么只有负根.
解 （1）当方程无实根，即A＝Φ时，Δ＝（2＋p）2-4<0, ∴-4
-4.
评注 用集合思想解此题时，不要遗漏A
B＝Φ时有 B可能为Φ的情况.
例7 已知{an}是等差数列，d为公差且不为0，a1和d均为实数，它的前n项和记作Sn,设集合A={(an,
)|n∈N*},B={(x,y)|
x2－y2=1,x,y∈R}.
试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明.
(1)若以集合A中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上；
(2)A∩B至多有一个元素；
(3)当a1≠0时，一定有A∩B≠
.
解 (1)正确.在等差数列{an}中，由Sn=
,得
(a1+an).这表明点(an,
）的坐标适合方程y
(x+a1),于是点(an,
)均在直线y=
x+
a1上.
(2)正确.设(x,y)∈A∩B,则(x,y)中的坐标x,y应是方程组
的解，由方程组消去y得：2a1x+a12=－4(*)，当a1=0时，方程(*)无解，此时A∩B=
；当a1≠0时，方程(*)只有一个解x=
,此时，方程组也只有一解
,故上述方程组至多有一解.
∴A∩B至多有一个元素.
(3）不正确.取a1=1,d=1,对一切的x∈N*,有an=a1+(n－1)d=n>0,
>0,这时集合A中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于a1=1≠0.如果A∩B≠
,那么据(2）的结论，A∩B中至多有一个元素(x0,y0）,而x0=
＜0,y0=
＜0,这样的(x0,y0）
A,产生矛盾，故a1=1,d=1时A∩B=
，所以“当a1≠0时，一定有A∩B≠
”是不正确的.
测
试题
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：
1、已知集合A={x|－2≤x≤7},B={x|m+10,b>0},当A∩B只有一个元素时，a,b的关系式是_________.
4、集合A={x|x2－ax+a2－19=0},B={x|log2(x2－5x+8)=1}，C={x|x2+2x－8=0},求当a取什么实数时，A∩B
和A∩C=
同时成立.
5、设A={(x,y)|y2－x－1=0},B={(x,y)|4x2+2x－2y+5=0},C={(x,y)|y=kx+b},是否存在k、b∈N,使得(A∪B)∩C=
，证明此结论.
6、向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人.问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？
测试题参考
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
1、D. ∵A∪B=A，∴B
A,又B≠
, ∴
即2＜m≤4. 故选D.
2、a=0或a≥
.
3、ab=
.由A∩B只有1个交点知，圆x2+y2=1与直线
=1相切，则1=
,
即ab=
.
4、a=－2. ∵ log2(x2－5x+8)=1, 由此得x2－5x+8=2，∴B={2,3}.由x2+2x－8=0，∴C={2,－4},又A∩C=
，∴2和－4都不是关于x的方程x2－ax+a2－19=0的解，而A∩B
EMBED Equation.3 ,即A∩B≠
,
∴3是关于x的方程x2－ax+a2－19=0的解，∴可得a=5或a=－2.
当a=5时，得A={2，3}，∴A∩C={2}，这与A∩C=
不符合，所以a=5(舍去)；当a=－2时，可以求得A={3，－5}，符合A∩C=
，A∩B
EMBED Equation.3 ，∴a=－2.
5、存在自然数k=1,b=2.
∵(A∪B)∩C=
，∴A∩C=
且B∩C=
.
∵
∴k2x2+(2bk－1)x+b2－1=0. 又∵A∩C=
，∴Δ1=(2bk－1)2－4k2(b2－1)<0，
∴4k2－4bk+1<0, 此不等式有解，其充要条件是16b2－16>0,即b2>1
①
∵
∴4x2+(2－2k)x+(5+2b)=0，
∵B∩C=
,∴Δ2=(1－k)2－4(5－2b)<0，∴k2－2k+8b－19<0,从而8b<20,
即b<2.5 ②
由①②及b∈N,得b=2代入由Δ1<0和Δ2<0组成的不等式组，得
∴k=1,故存在自然数k=1,b=2,使得(A∪B)∩C=
.
６、对A、B都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人.
如图，赞成A的人数为50×
=30，赞成B的人数为30+3=33，如上图，记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A；赞成事件B的学生全体为集合B.设对事件A、B都赞成的学生人数为x,则对A、B都不赞成的学生人数为
+1,赞成A而不赞成B的人数为30－x，赞成B而不赞成A的人数为33－x.
依题意(30－x)+(33－x)+x+(
+1)=50,解得x=21.
所以对A、B都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人.
图2
X
V
W
U
T
Y
Z
A
B
C
图1
1
2
x
y
欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚.www.ks5u.com
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