高中数学数列知识点总结

迈恩教育数列一、数列的概念1.数列的定义:按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数称为该数列的项，记作an。排在第一位的项叫第一项（或首项），排在第二位的项叫第二项......，排在第n位的项叫第n项。数列的一般形式：a1，a2，a3，.....，an，....简记为。注意：⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”。因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列。⑵在数列中同一个数可以重复出现。⑶项an与项数n是两个根本不同的概念。⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数,当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列。例：判断下列各组元素能否构成数列（1）a，-3，-1,1，b，5,7,9（2）2010年各省参加高考的考生人数。2.通项公式：如果数列的第项与序号n之间可以用一个式子 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即.例：（1）1,2,3,4,5，...（2）1，，，，,...注意：（1）｛an｝表示数列，an表示数列中的第n项，表示数列的通项公式。（2）同一个数列的通项公式的形式不一定唯一，例如：（3）不是每一个数列都有通项公式。例如：1,1.4,1.41,1.414,.....3.递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项），且任何一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即或，那么这个式子叫做数列的递推公式.如数列中，，其中是数列的递推公式.例：a1=1，an=2an-1+1(n>1)a2=2a1+1=3a3=2a2+1=74.数列的前项和Sn与通项an的公式①；②.例：已知数列｛an}的前n项和Sn=2n2+3，求数列｛an}的通项公式。例：已知数列｛an}的前n项和Sn=n2，则a8的值为155.数列的表示 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ：解析法、图像法、列举法、递推法。6.数列的分类：（1）按数列项数是有限还是无限分：有穷数列，无穷数列；（2）按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列，递减数列），摆动数列，常数数列。例：（1）1,2,3,4,5,6，.....(2)10,9,8,7,6，.....(3)1,0,1,0,1,0，.....(4)a，a，a，a，a，......练习：1、已知an=3n2-28n，则在数列的最小项为第5项2、数列中，，且是递增数列，实数的取值范围（-3，+∞）3、数列的前n项和Sn=n2-4n+1，则通项公式为.二、等差数列1、等差数列的定义：如果数列从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差（用字母d表示）。即.(或)。例：等差数列an=2n-1，an-an-1=22、等差数列的通项公式：或。公式变形为:.其中a=d,b=－d.变式：a1=an－(n－1)dd=d=特征：an=dn+(a1-d)，即an=kn+m(k，m为常数)，是数列成等差数列的充要条件。例：等差数列中，，，则通项.例：等差数列中，a3+a8=22，a6=7，则a5=15.例：是首项=1，公差d=3的等差数列，如果an=2005，则n=669.3、等差中项：若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且，a，A，b成等差数列是2A=a+b的充要条件，即，例：是公差为正数的等差数列，若，，则105例：等差数列中，，则的值为16例：等差数列中，，则前10或11项的和最大。4、等差数列的前项和：，。公式变形为：即，其中，B=.例:如果等差数列中，，那么28例：数列中，，，前n项和，则＝-3，＝10.例：设是等差数列的前n项和，已知，则49.注意：（1）等差数列的通项公式及前项和公式中，涉及到5个元素：、、、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，…（公差为）；偶数个数成等差，可设为…，,…（公差为2）5、等差数列的性质：（1）在等差数列中，从第二项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列；（3）在等差数列中，；（4）在等差数列中，当时，则有，特别地，当时，则有.例：在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=88例：已知等差数列{an}的前n项和为，若7（5）当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前项和是关于的二次函数且常数项为0.（6）单调性：设d为等差数列的公差，则d>0是递增数列；d<0是递减数列；d=0是常数数列。（7）项数成等差，则相应的项也成等差数列，即成等差，（公差为）也成等差数列，而成等比数列；若是等比数列，且，则是等差数列.例：等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为225例：已知等差吃的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为-110（8）在等差数列中，当项数为偶数时，；；.当项数为奇数时，；（）；。例：在等差数列中，S11＝22，则＝2。例：项数为奇数的等差数列中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数5；31（9）如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数。注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究.6、等差数列的判断方法：①定义法：为等差数列。②中项法：为等差数列。③通项公式法：（a,b为常数）为等差数列。④前n项和公式法：（A,B为常数）为等差数列。例：设是等差数列，求证：以bn=为通项公式的数列为等差数列。例：已知数列中，，前n项和，求证：数列是等差数列；数列的通项公式。7、已知成等差数列，求的最值问题：（1）若,d<0且满足,则最大；（2）若,d>0且满足,则最小。“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。最值得求法：：由不等式组确定出正、负分界项；：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？例：设（n∈N*）是等差数列，是其前n项的和，且，则下列结论错误的是（c） A.  B. C.   D.与均为的最大值例：等差数列中，，，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。前13项和最大，最大值为169。例：设等差数列的前n项和为，已知，  ①求出公差d的范围；  ②指出中哪一个值最大，并说明理由。三、等比数列1、等比数列的定义：如果数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫等比数列的公比，记为，（）。即（或）2、递推关系与通项公式：递推关系：通项公式：或例：在等比数列，-1458例：在等比数列，1923、等比中项：如果a、G、b三个数成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，即G=。注意：是成等比数列的必要不充分条件。不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个。如已知两个正数的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为A＞B。例：的等比中项为±14、等比数列的前项和：当时，；当时，。例：设等比数列的前n项和为Sn，已知。例：等比数列中，＝2，S99=77，求（答：44）例：设等比数列的前n项和为Sn，若求数列的公比q。注意：等比数列前项和公式有两种形式，为此在求等比数列前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比是否为1时，要对分和两种情形讨论求解。提醒：（1）等比数列的通项公式及前项和公式中，涉及到5个元素：、、、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2；（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为…，…（公比为）；但偶数个数成等比时，不能设为…，…，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为。例：有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）5、等比数列的性质：（1）当时，则，特别地，当时，则有，为等比数列，下标成等差数列的对应项成等比数列，即：。既是等差数列又是等比数列，则是各项不为零的常数列。例：在等比数列中，，公比q是整数，则=___（答：512）；例：各项均为正数的等比数列中，若，则（答：10）。例：设数列的前项和为（），关于数列有下列三个命题：①若，则既是等差数列又是等比数列；②若，则是等差数列；③若，则是等比数列。这些命题中，真命题的序号是（答：②③）(2)等比数列的转换：若{a}是公比为q的等比数列，则{|a|}、{a}、{ka}、{}也是等比数列，其公比分别为{|q|}、{q}、{q}、{}。若成等比数列，则、成等比数列；若是等比数列，且公比，则数列，…也是等比数列。当，且为偶数时，数列，…是常数数列0，它不是等比数列.④若是等比数列，且各项均为正数，则（c＞0，c≠1）成等差数列。例：已知是等比数列，且70例：设等比数列的前n项和为Sn，若=(3)当时，，这里，但，这是等比数列前项和公式的一个特征，据此很容易根据，判断数列是否为等比数列。例：若是等比数列，且，则＝（答：－1）(5)在等比数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，.6、等比数列的判断方法：（1）定义法：，其中或为等比数列；（2）中项法：为等比数列；（3）通项公式法：为等比数列；（4）前n项和法：（k,q为常数）为等比数列；四、难点突破1．并不是所有的数列都有通项公式，一个数列有通项公式在形式上也不一定唯一．已知一个数列的前几项，这个数列的通项公式更不是唯一的．2．等差(比)数列的定义中有两个要点：一是“从第2项起”，二是“每一项与它前一项的差(比)等于同一个常数”．这里的“从第2项起”是为了使每一项与它前面一项都确实存在，而“同一个常数”则是保证至少含有3项．所以，一个数列是等差(比)数列的必要非充分条件是这个数列至少含有3项．3．数列的表示方法应注意的两个问题：⑴{a}与a是不同的，前者表示数列a，a，…，a，…，而后者仅表示这个数列的第n项；⑵数列a，a，…，a，…，与集合{a，a，…，a，…，}不同，差别有两点：数列是一列有序排布的数，而集合是一个有确定范围的整体；数列的项有明确的顺序性，而集合的元素间没有顺序性．4．注意设元的技巧时，等比数列的奇数个项与偶数个项有区别，即：⑴对连续奇数个项的等比数列，若已知其积为S，则通常设…，aq，aq，a，aq，aq，…；⑵对连续偶数个项同号的等比数列，若已知其积为S，则通常设…，aq，aq，aq，aq，…．5．一个数列为等比数列的必要条件是该数列各项均不为0，因此，在研究等比数列时，要注意a≠0，因为当a=0时，虽有a=a·a成立，但{a}不是等比数列，即“b=a·c”是a、b、c成等比数列的必要非充分条件；对比等差数列{a}，“2b=a+c”是a、b、c成等差数列的充要条件，这一点同学们要分清．6．由等比数列定义知，等比数列各项均不为0，因此，判断一数列是否成等比数列，首先要注意特殊情况“0”．等比数列的前n项和公式蕴含着分类讨论思想，需分分q=1和q≠1进行分类讨论，在具体运用公式时，常常因考虑不周而出错．练习：1、在等比数列中，为其前n项和，若，则的值为______（答：40）2、一个等比数列{}共有项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则为____（答：）3、已知且，设数列满足，且，则　　　　　.（答：）五、求数列前n项和的常用方法（1）、应用公式法等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前n项和公式求和，另外记住以下公式对求和来说是有益的。1＋3＋5＋……＋(2n-1)=n2例：求数列1，（3+5），（7+9+10），（13+15+17+19），…前n项的和。解 ：本题实际是求各奇数的和，在数列的前n项中，共有1+2+…+n=个奇数，∴最后一个奇数为：1+[n(n+1)-1]×2=n2+n-1因此所求数列的前n项的和为（2）、拆项分组法对通项进行分解、组合,转化为等差数列或等比数列求和。例：求和S=1·（n2-1）+2·（n2-22）+3·（n2-32）+…+n（n2-n2）解 S=n2（1+2+3+…+n）-（13+23+33+…+n3）（3）、倒序相加法适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列，采取把正着写与倒着写的两个和式相加，然后求和。相加例：求和：解∴Sn=3n·2n-1（4）、错位相减法如果一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的，可把和式的两端同乘以上面的等比数列的公比，然后错位相减求和．即：为等差数列，为等比数列，求数列前n项和，可由，求，其中为的的公比。注意：当等比数列公比为字母时，应对字母是否为1进行讨论；当将与相减合并同类项时，注意错位及未合并项的正负号。例、求数列1，3x，5x2,…,(2n-1)xn-1前n项的和．解:设Sn=1+3+5x2+…+(2n-1)xn-1．   ①(2)x=0时，Sn=1．(3)当x≠0且x≠1时，式①两边同乘以x得xSn=x+3x2+5x3+…+(2n-1)xn②①-②，得(1-x)Sn=1+2x+2x2+2x3+…+2xn-1-(2n-1)xn．例： ① ②①—②时，，时，时，。(5)裂项法把通项公式整理成两项(或多项)差的形式，然后前后相消。常见裂项方法：例：是公差为的等差数列，求解：由∴注意：在消项时一定注意消去了哪些项，还剩下哪些项，一般地剩下的正项与负项一样多。（六）奇偶数讨论法如果一个数列为正负交错型数列，那么从奇数项和偶数项分别 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 出与n的关系进行求解。例5.已知数列求该数列的前n项和。解：对n分奇数、偶数讨论求和。①当时，②当时，（七）综合法这种方法灵活性比较大，平时注意培养对式子的敏锐观察力，尽量把给定数列转化为等差或等比数列来处理。例7.已知求分析：注意观察到：其他可依次类推。关键是注意讨论最后的n是奇数还是偶数。解：①当n为奇数时，由以上的分析可知：②当n为偶数时，可知：由①②可得