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副页年月曰教学过程及授课内容附注第PAGE\*MERGEFORMAT#页4-2换元积分法教学过程一、换元积分法1.第一换元积分法(凑微分法)例1求fe3xdx.解被积函数e3x是复合函数，不能直接套用公式Jexdx=ex+C我们可以把原积分作下列变形后计算”3X1”3X令u=3XJedx=—Jed(3x)3lfeud^le^C回代1e3^C.3‘33直接验证得知，计算
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正确。例2求J2xe^dx.解注意到被积式中含有2ex项,而余下的部分恰有微分关系:2xdx=d(x2)。于是类似于例1,可作如下变换和计算:222令J2xexdx=Jexd(x2)=匚乂Jeudu=eu+C址ex2+C.上述解法的特点是引入新变量u=W(x),从而把原积分化为关于u的一个简单的积分，再套用基本积分公式求解,现在的问
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是，在公式Jexdx=ex+C中,将x换成了u=W(x),对应得到的公式Jeudu=eu+C是否还成立？回答是肯定的，我们有下述定理：定理如果Jf(x)dx=F(x)+C,贝UJf(u)du=F(u)+C.其中u=®(x)是x的任一个可微函数。证由于Jf(x)dx=F(x)中C,所以dF(X)=f(x)dx•根据微分形式不变性，则有：dF(u)=f(u)du.其中U=®(x)是X的可微函数，由此得Jf(u)du=JdF(u)=F(u)+C.这个定理非常重要，它
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明：在基本积分公式中，自变量x换成任一可微函数u=®(x)后公式仍成立。这就大大扩充了基本积分公式的使用范围.应用这一结论，上述例题引用的方法，可一般化为下列计算程序：Jf[®(x)]®'(x)dx凑微分Jf严(x)]d®(x)令u"(x)ff(u)duF(u)+C回代F[W(x)]+C.这种先“凑”微分式，再作变量置换的方法，叫第换元积分法，也称凑微分法.例3求fcosxsinxdx.解设u=cosx,得du=-sinxdx,221313fcosxsinxdx=—[udu=--u+C=—cosx+C.•33例4求Jjdx2—inxrdx「1「dx〕「1"i//2/IJId'1nx)x7l-ln2xV1-In2xvx丿匕―|n2x=arcsin(Inx)+C.例5求fs^dx.解fSinfdx=2jsinJxd
01则clx=2tdt.于是『耳dx“丄2tdt询丄dt'1+Jxj+t'1+t2=t-2t+2ln1+t+C例10求，dx.、如+1x+1于是为把=2*-"dt=2『ft-1+丄h、1+t飞1+t丿1解令即x^^ft'-l,)则dx=t2dt代入后，得3x+1111彳3「dx=—f(t°+2t)dt=—t^-t^C3/3^3N153=1y(3x+1了(x+2)+C.5由以上二例可以看出：被积函数中含有被开方因式为一次式的根式叮ax+b时，令如+b=t可以消去根号，从而求得积分.下面重点讨论被积函数含有被开方因式为二次式的根式的情况.例11求JJa2-x2x.作三角变换，令(冗冗)那么X=asinti-—Ct＜一,V22丿Ja2-x2=acost且dx=acostdt.JJa?-x'dx=Ja2cos2tdt=a21+cos2tdt2t回代成x的函数，可根据sint=-，作辅助直角三角形(如af2_T右图），得cost-a~x。a所以24J圧Zdx宁g+^E+C.例12求f一(aaO)•'(a2+x22解令
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