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泛函分析刘炳初习题答案(下载后清晰版)

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泛函分析刘炳初习题答案(下载后清晰版)¼©Û4]ÐSK‰Y(˜ß‡)SK˜1!y²1)e¡y²÷vålI÷v�n‡^‡Àw,d(x,y)≥0,…d(x,y)=0⇔sup|x−y|=0,sup|x′−y′|=0⇔3Dþx=y.Áw,d(x,y)=d(y,x).Âd(x,y)=sup|x−y|...

泛函分析刘炳初习题答案(下载后清晰版)
¼©Û4]ÐSK‰Y(˜ß‡)SK˜1!y²1)e¡y²÷vålI÷v�n‡^‡Àw,d(x,y)≥0,…d(x,y)=0⇔sup|x−y|=0,sup|x′−y′|=0⇔3Dþx=y.Áw,d(x,y)=d(y,x).Âd(x,y)=sup|x−y|+sup|x′−y′|≤sup|x−z|+sup|z−y|+sup|x′−z′|+sup|z′−y′|=d(x,z)+d(z,y).2)D¥:�{xn}UålÄk�…=�{xn}†{x′n}˜—Âñ.3)�xn⊂D,÷vxn∈C[0,1]…x′n∈C[0,1]´Cauchy�.K∀ε>0,∃N,∀m,n>N,∀t∈[0,1],|xn(t)−xm(t)|<ε.l {xn}3[0,1]þ˜—Âñ…Ù4¼êx(t)´[0,1]þ�ëY¼ê.Ón,{x′n}3[0,1]þ˜—Âñ,�T¼êS�xn�¦�$Ž†4$ŽŒ�†^S,l x′(t)Ò´{x′n}�4¼ê,…x′(t)´[0,1]þ�ëY¼ê.3Ø�ª¥-m→∞K∀t∈[0,1],n>N,|xn(t)−x(t)|+|x′n(t)−x′(t)|≤2ε.=3D¥xn→x,l D´���.4!Ö¿Œ�½n:3«SØð~ê�)Û¼ê���ŒŠU3>.ˆ�.1)´d(x,y)≥0,…d(x,y)=0⇔max|t|≤1|x−y|=max|t|=1|x−y|=0⇔x=y2)w,d(x,y)=d(y,x).3)d(x,y)=max|t|=1|x−y|≤max|t|=1|x−z|+max|t|=1|z−y|=d(x,z)+d(z,y).5!Œ±"~:�X={0,2.8,5.6},UìRþ�ål¤˜‡ål˜m.w,,1O(0,4)={0,2.8}&{0,2.8,5.6}=O(2.8,3).6!y²ü‡3ål˜m¥,XJ˜‡Œ»7�m¥¹3˜‡Œ»3�m¥¥,Kùü‡¥­Ü.ydm8½Âx∈O(x,7),y∈O(y,3),�3ål˜m(X,d)¥,O(x,7)⊂O(y,3).1e∃z∈O(y,3)\O(x,7),Kkd(z,x)≤d(z,y)+d(y,x)≤6ù†z/∈O(x,7)gñ.7!y²3˜mS¥§UålÂñ�duU‹IÂñ.y�x=(x1,x2,···,xn)∈S,y=(y1,y2,···,yn)∈SKd(x,y)=∞∑i=112i|xi−yi|1+|xi−yi|�:�xn=(x(n)1,x(n)2,···,x(n)k,···),n=1,2,···,x0=(x(0)1,x(0)2,···,x(0)k,···)exn→x0,n→∞.ey:x(n)i→x(0)i,n→∞.i=1,2,···.dxn→x0d(xn,x0)→0.=∞∑i=112i|x(n)i−y(n)i|1+|x(n)i−y(n)i|→0,n→∞�kx(n)i→x(0)i,i=1,2,···.‡ƒ,eþª¤á,KŒg4í�xn→x0,=S¥:�eU‹IÂñ,,KUålÂñ.8!ÁÞ~`²k.8Ø´�k.8y‡~:Äl∞¥��x={ξk}8,Ù¥ξk0½1.w,,ù‡8´k.8,�§ØŒ©,�7Ø�k..(Ï�k.8´Œ©�)9!y²ål˜m¥z˜‡Cauchy�´k.8y�{xn}(X,d)¥?˜Cauchy�,eyµ{xn}k.8.éε0=1,∃N,�n,m>Nž,kd(xm,xn)<ε0=1.�r=max{1,d(x1,xN+1),d(x2,xN+1),···,d(xN,xN+1)}2K{xn}⊂S(xN+1,r)�Šâk.8�½Â,:�{xn}k..10!y²ål˜m���f˜m´4f˜m.y�A⊂(X,d)…A��,eyA´4�.�∀xn∈A,…xn→x0,n→∞,‡yA´48,=yx0∈A.duxn→x0,n→∞,K{xn}X¥�Cauchy�.u´{xn}´A¥�Cauchy�.dA��5,x0∈A.y..11!y²XJål˜m´Œ©�,K§�?¿f˜m´Œ©�;‡ƒ,XJål˜m،©,§�?f˜m´ÄØŒ©?y�(X,d)Œ©,A⊂X…AX�Œ�ȗf8.�DX�?˜f˜m,KA∩DX�ȗf8, …A∩D3D¥Œ�.�DŒ©.‡ƒ,e(X,d)،©,f˜mkŒUŒ©.yÞü~:~1:l∞L«k.¢ê��N,l∞،©,�{xn}l∞¥�Cauchy�,dul∞��,�xn→x0,n→∞,Ù¥x0∈l∞.PA={xn},B={xn}∪{x0},,´„B⊂X,AŒ�…A3B¥È—,�BŒ©.~2:�،©�ål˜ml∞×lp,Ùf˜m0×lp´Œ©�.12!�(X,d)´ål˜m,A⊂X-f(x)=infy∈Af(x,y),y²f(x)´Xþ�ëY¼ê.y∀x1,x2∈X,d(x1,y)≤d(x1,x2)+d(x2,y),3Ø�ªm>�4,�d(x1,y)≤d(x1,x2)+f(x2)23Ø�ª†>�4,Œ�f(x2)≤d(x1,x2)+f(x1)ÓnŒ�f(x1)≤d(x1,x2)+f(x2),l|f(x1)−f(x2)|≤d(x1,x2)d=y�f(x)´Xþ�ëY¼ê13!�F1,F2´ål˜mX¥Øƒ��48,y²3Xþ�ëY¼êf(x)¦��x∈F1žf(x)=0,�x∈F2žf(x)=1y-F1(x)=infy∈F1d(x,y),F2(x)=infy∈F2d(x,y)f(x)=F1(x)F1(x)+F2(x),x∈F1∪F2dþKF1(x),F2(x)ëY,…F1∩F2=∅¤±3F1(x)+F2(x)6=0�f(x)ëY14!�X´ål˜my²,XJ3X¥,?˜Œ»ªu"�4¥@äkš˜�,K˜mX´���.y�{xn}´X¥�?˜Cauchy�.∀ε>0,∃N,∀m,n≥N,|xn−xm|<ε.d1ÊK,?˜…Ü�Ñ´k.8.K∀n≥1,|xn−xN|≤M1,···,∀n≥k,|xn−xN|≤Ml.w,M1≥M2≥,···,Ml≥···…�l≥Nž,Ml<ε.Œ�4¥@B(x1,K1)⊃B(xl,Kl)⊃···⊃···,dKþã8Üxkš˜�,�x0K∀n≥N,|xn−x0|≤MN<ε,l limn→∞xn=x0KX´���.15!�X´��ål˜m,f˜´Xþ�ëY¢¼êx,…äk5Ÿ:éuz˜x∈X3~êMx>0,¦�éuz˜F∈f˜,|F(x)|≤Mx§y²3m8U9~êM>0,¦�éuz˜x∈U9¤kF∈f˜,|F(x)|≤M.y�p(x)=supF∈f˜|F(x)|,Pwk:{x∈X:p(x)≤k}=⋂F∈f˜{x∈X:F(x)≤k}dF�ëY5{x∈X:F(x)≤k}X¥48.¤±z˜‡wk48. X=∞⋃k=1wk,duX���dBairej½nX´1�j8,�∃k0¦wk03,‡m¥S(x0,r)¥È—,l kwk0⊃S(x0,r), wk0=wk0�wk0⊃S(x0,r)Ïd∀x∈S(x0,r)kx∈wk0l ∀F∈f˜k|f(x)|≤k0.ÏdŒ�m8U=S(x0,r),M=k0.·K�y.16!Þ~`²,3Ø N”�n¥1)˜m��5^‡ØŒ�2)N�T¤÷v�^‡ØU“ƒ±^‡µd(Tx,Ty)<d(x,y))1)�T:(0,+∞)→(0,+∞)4…Tx=αx,x∈(0,+∞)Ù¥0≤α<1Œ±wÑT(0,∞)þ�Ø N�.¯¢þ∀x,y∈(0,+∞)kd(Tx,Ty)=|Tx−Ty|=|αx−αy|=|α||d(x,y)|<θd(x,y)(1>θ>α)ÏT(0,+∞)þ�Ø N�,KT3(0,+∞)vkØÄ:,ÄKeT3(0,+∞)kØÄ:,Œ�x∈(0,+∞)…T�ØÄ:,KkTx=x=αx=x⇒(1−α)x=0⇒x=0/∈(0,+∞)gñ.Ø N�T3(0,+∞)vkØÄ:,´Ï˜m(0,+∞)Ø��(d��˜m�½Â,Œ±Þ~:�{1n}3(0,+∞)þ,�Âñ:0Ø3(0,+∞)S,¤±(0,+∞)Ø��)2)~f1µŠN�T:[0,+∞)→[0,+∞).∀x∈(0,+∞)Tx=x+11+x(5:[0,+∞)R1�4f˜m§¤±´���)N�T÷vd(Tx,Ty)<d(x,y),∀x,y∈[0,+∞)¯¢þd(Tx,Ty)=|Tx−Ty|=|x+11+x−y−11+y|=|x−y−x−y(1+x)(1+y)|=|x−y||1−1(1+x)(1+y)|<|x−y|=d(x,y).�T3[0,+∞)vkØÄ:,ÄK∃x∈[0,+∞)kTx=xKx+11+x=x⇒11+x=0gñ~f2:5f:R→Rx→ln11+e−x17!y²3[0,1]þ�ëY¼ê,¦�x=12sinx(t)−a(t),Ù¥a(t)∈C[0,1].yC[0,1]´��ål˜m,…d(Tx,Ty)=sup[12(sinx(t)−siny(t))]=sup[(sinx(t)+y(t)2−cosx(t)+y(t)2)]≤12d(x,y).l 3˜�x0(t)∈C[0,1],¦�Tx0=x0=x0(t)=12sinx0(t)−a(t)18!�X´��ål˜m,T´Xþ�g��N�,34¥B={x∈X:d(x0,x)≤r}þ,d(Tx,Ty)≤θd(x,y)…d(x0,Tx0)<(1−θ)r,Ù¥0≤θ≤1y²T3Bk˜ØÄ:.y(1)yB��;(2)T:B→B1)ϏB⊂X��…B4,X��,¤±B��.2¤∀x∈B,eyTx∈B,=yd(Tx,x0)≤r¯¢þd(Tx,x0)≤d(Tx,Tx0)+d(Tx0,x0)≤θd(x,x0)+(1−θ)r≤θr+(1−θ)r=r.19!�d=diam(N),f(t,s)3(t0,s0)�d�¥ëY.K¿,∃δ<d,¦�e(t,s)∈[t0−δ,t0+δ]×[s0−d2,s0+d2]Kk|f′s(t,s)−0|<12.ŠN�:T:C[t0−δ,t0+δ]→C[t0−δ,t0+δ]x→f(t,x(t))§÷v:6d(Tx,Ty)=supt∈[t0−δ,t0+δ]|f(t,x(t))−f(t,y(t))|=|fs(t,ξ)|d(x,y)<12d(x,y)dØ N�½n,3˜�x(t)∈C[t0−δ,t0+δ]÷vx(t)=f(t,x(t)). s0=f(t0,s0),d˜5s0=x(t0).20!�X´;˜m§T´Xþ�g��N�…÷v^‡:é∀x,y∈X,�x6=yž,d(Tx,Ty)<d(x,y)y²T3Xþk˜ØÄ:.yŠf(x)=d(x,Tx).eyf3XþëY.∀x,y∈Xd(f(x),f(y))=|f(x)−f(y)|=|d(x,Tx)−d(y,Ty)|≤d(x,y)+d(Tx,Ty)<2d(x,y).ddŒ±wÑf3X´þëY(džδ�ε2),Kd(x,y)=|x−y|<δž,d(f(x),f(y))<εduX;8,�f3Xþ3�Š,ؔ�xf��Š:,ef(x)=0Kd(x,Tx)=0kTx=x=xT�ØÄ:.ef(x)6=0,Äf(Tx)=d(Tx,T2x)<d(x,Tx)=f(x)gñ(†xf��Š:gñ).eyØÄ:´˜�.�x0=Tx0,y0=Ty0…x06=y0Kd(x0,y0)=d(Tx0,Ty0)<d(x0,y0)gñ21!1)w,�˜mژ8Ñ3τp,…τék�Úá¿$Žµ4,�τ´‡ÿÀ.2)ÏX\{a}={b}´m8,l {a}´48.3)X†{b}´¹b�m8,l {b}=X.22!K¿,B1,B2´τ1,τ2�ÿÀÄ.7‡5w,.¿©5:1∀G1∈B1,∀x∈G1,∃G2∈B2,s.t.x∈G⊂G1.K∀x∈Gα,∃Hα∈B2,s.t.∈Hα⊂Gα.7é∀x∈Gα,∃Hα∈B2,s.t.∈Hα⊂Gα.�GŒ±LHα�¿8,l G∈τ2.Kτ1⊂τ2.24!¿©5:∀O(x)¥¹E¥Ã¡õ:,�ù��On(x)¦�diam(On(x))<1n,�xn∈(On(x)∩E)\{x}.Xd�ј�{xn},xn6=x…xn→x.7‡5:�x´E�4:ž,∀ε>0,O(x,ε)¥o¹E¥ØÓux�:.éux�?¿�O(x),ؔ�ٌ»d∃x1∈(O(x,d)\{x})∩E X´T1�,�∃d1,¦x1∈(O(x,d).∃x2∈xn∈(O(x,d1)\{x})∩E,···,Xd��O(x)¥�áõ:.eXØ´T1�,K(Øؘ½¤á.‡~:‘�~K1.5.525!K¿,3X�–õŒêf8xB,¦�τ(B)=X.�⋃αGα´X�mCX,K⋃αGα⊃X=τ(B).K∀Gn∈B,∃αn,s.t.Gαn⊃Gn.Xd3⋃αGα¥�іõŒê‡8Gαn§‚�¤X�mCX.SK�1!�(X,‖‖)´D‰˜m.éu∀x,y∈X-d1={0,x=y,‖x−y‖+1,x6=y.y²:d1´Xþ�ål�Ø´d‰êp��ål.yw,d1÷vålún1),2).ex=y,w,kd1(x,y)=0<d1(x,z)+d1(z,y);ex6=y,K�x6=z,z6=yž,d1(x,y)=‖x−y‖+1≤‖x−z‖+‖z−y‖+1≤‖x−z‖+‖z−y‖+2≤d1(x,z)+d1(z,y);�x=z,z6=yž,d1(x,y)=‖x−y‖+1=‖z−y‖+1=d1(z,y)=d1(x,z)+d(z,y);8�x6=z,z=yž,d1(x,y)=‖x−y‖+1=‖x−z‖+1=d1(x,z)=d1(x,z)+d(z,y);Ïd,d1(x,y)÷vålún3)�d1(x,θ)={0,x=θ,‖x‖+1,x6=θ.w,Ø÷vd1(αx,θ)=|α|d1(x,θ)Ïdd1Ø´d‰êp��ål.2!3l∞¥,U‹I½Â‚5$Ž…éx∈l∞,x=|ξk|½Â‖x‖=supn|ξn|y²l∞´˜‡D‰˜m.y²:w,ù´˜‡‰ê.3!�M´˜ml∞¥Øk¡‡‹Iƒ 0��ƒ�N�¤�f˜m.y²MØ´4f˜m.y²:-xn=(1,12,13,···,1n,0,0,···),x0=(1,12,13,···)Kw,·‚kxn∈M,…‖xn−x0‖=‖(0,0,···,1n+1,1n+2,···)‖=1n+1→0,n→∞�x0/∈M,ÏdMØ´l∞�4f˜m.4!ÁÞ~`²,D‰˜m¥d∑∞n=1‖xn‖<∞˜„ØUíÑ∑∞n=1xn<∞Âñ.‡~:313K�˜mM¥,�yn=xn−xn−1,x0=(0,0,···).k∞∑n=1‖yn‖=∞∑n=11n2<∞,�∞∑n=1‖yn‖=limn→∞xn/∈M.ù`²˜m���57،�.5!�(X,‖‖)´D‰˜m§X0´X¥�ȗf8,y²:éuz˜x∈X,3{xn}⊂X0¦�x=∑∞n=1xn,¿…∑∞n=1‖xn‖<∞.y²:�x1∈X0,¦�‖x−x1‖<12,K‖x1‖≤‖x‖+12Ϗ,X0=X0,Œ�x2∈X0,¦�‖x−x1−x2‖≤122K9‖x2‖≤‖x−x1−x2‖+‖x−x1‖<12+122<1;ÓnŒ�x3∈X0,¦�‖x−x1−x2−x3‖≤123K‖x3‖≤‖x−x1−x2−x3‖+‖x−x1−x2‖<122+123<1<12;UYd{,Œ�{xn}⊂X0,¦�‖x−∑ni=1xi‖<12n…‖xn‖<12n−2,(n=2,3,···),ddx=∑∞n=1xn.¿…∑∞n=1‖xn‖≤‖xn‖+∑∞n=112n−1+16!�(X,‖‖)´D‰˜m,X6={0}.y²:X´Banach˜m,�…=�,X¥�ü ¥¡S={x∈X:‖x‖=1}´���.y²7‡5´w,�(SX¥�48);ey¿©5.eS´���,�{xn}=a¥�Cauchy�,du|‖xm‖−‖xn‖|≤‖xm−xn‖l limn→∞‖xn‖3,ؔ�limn→∞‖xn‖=a.ea=0,Kw,xn→0,(n→∞).ea6=0ؔ�,‖xn‖6=0,K{xn‖xn‖}⊂SϏ‖xm‖xm‖−xn‖xn‖‖=1‖xm‖‖xn‖‖‖xm‖xm−‖xn‖xn‖≤1‖xm‖‖xn‖(‖xn‖‖xm−xn‖+|‖xm‖−‖xn‖|‖xn‖)→0={xn‖xn‖}S¥�Cauchy�,dS���5,limn→∞xn‖xn‖3,ؔ�limn→∞xn‖xn‖=x⊂Sl 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天山书童
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分类:高中语文
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