热力学统计物理期末复习试题

/15/15一.填空题设一多元复相系有个P相，每相有个k组元，组元之间不起化学反应。此系统平衡时必同时满足条件：T⑴T归…=T。、PP归…=P。、pa=卩卩二.••二卩甲(i=1,2,••比)iii'热力学第三定律的两种 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 述分别叫做：能特斯定律和绝对零度不能达到定律。3•假定一系统仅由两个全同玻色粒子组成，粒子可能的量子态有4种。则系统可能的微观态数为：10。4•均匀系的平衡条件是T=T0且P=P0；平衡稳定性条件是CV>0且5玻色分布表为a尸ea爲_］；费米分布表为Q尸e°+i；玻耳兹曼6热力学系统的四个状态量s、(a^)二(rp))二(込)rvatasapTPS-T所满足的麦克斯韦关系为分布表为"厂3戶―阳。当满足条件e~a<<1时，玻色分布和费米分布均过渡到玻耳兹曼分布。V、P、(■R^)=一)(rp-)二-(rt~)，RPRTRSRVT厂V~7.玻耳兹曼系统粒子配分函数用z表示，内能统计表达式为1八~7厂广义力统计表达式为Y=-丁二L，熵的统计表达式为S二Nk(lnZi-卩带),自由能的统计表达式为F—NkTlnZ］。8.单元开系的内能、自由能、焓和吉布斯函数所满足的全微分是均匀开系的克劳修斯方程组包含如下四个微分方程：dU=TdS-pdV+^dn,dHTdSVdp^dn,dG=—SdT+Vd叭dn,dF—SdT—pdV^ydn等温等容条件下系统中发生的自发过程，总是朝着自由能减小方向进行，当自由能减小到极小值时,系统达到平衡态；处在等温等压条件下的系统中发生的自发过程，总是朝着吉布斯函数减小的方向进行,当吉布斯函数减小到极小值时，系统达到平衡态。对于含N个分子的双原子分子理想气体，在一般温度下，原子内部电子的运动对热容量无贡献；温度大大于振动特征温度时，cv=2N；温度小小于转动特征温度时，cv=3N。温度大大于转动特征温度而小小于动特征温度时，»2N。玻耳兹曼系统的特点是：系统由全同可分辨粒子组成；粒子运动状态用^量子来描写；确定每个粒子的量子态即可确定系统的微观态；粒子所处的状态不受泡利不相容原子的约束。13准静态过程是指过程进行中的每一个中间态均可视为平衡态的过程；无摩擦准静态过程的特点是外界对系综的作用力，可用系统的状态参量表示出来。14.绝热过程是指，系统状态的改变，完全是机械或电磁作用的结果，而没有受到其他任何影响的过程。在绝热过程中，外界对系统所做的功与具体的过程无关，仅由初终两态决定。二．简述题1.写出系统处在平衡态的自由能判据。一个处在温度和体积不变条件下的系统，处在稳定平衡态的充要条件是，对于各种可能的有限虚变动，所引起的自由能的改变均大于零。即AF〉0。2.写出系统处在平衡态的吉布斯函数判据。一个处在温度和压强不变条件下的系统，处在稳定平衡态的充要条件是，对于各种可能的有限虚变动，所引起的吉布斯函数的改变均大于零。即AG〉0。写出系统处在平衡态的熵判据。一个处在内能和体积不变条件下的系统，处在稳定平衡态的充要条件AS<0是，对于各种可能的有限虚变动，所引起的熵变均小于零。即玻尔兹曼关系与熵的统计解释。由波耳兹曼关系S=k.ln。可知，系统熵的大小反映出系统在该宏观状态下所具有的可能的微观状态的多少。而可能的微观状态的多少，反映出在该宏观平衡态下系统的混乱度的大小。故，熵是系统内部混乱度的量度。为什么在常温或低温下原子内部的电子对热容量没有贡献？不考虑能级的精细结构时，原子内的电子激发态与基态的能量差为1~10eV，相应的特征温度为04〜105k。在常温或低温下，电子通过热运动获得如此大的能量而跃迁到激发态的概率几乎为零，平均而言电子被冻结基态，因此对热容量没有贡献。为什么在常温或低温下双原子分子的振动对热容量贡献可以忽略？因为双原子分子的振动特征温度0〜103k，在常温或低温下vkT«k0，振子通过热运动获得能量加二k0从而跃迁到激发态的概率极vv小，因此对热容量的贡献可以忽略。能量均分定理。对于处在平衡态的经典系统，当系统的温度为T时，粒子能量e的表达式中的每一个独立平方项的平均值为IkT。28等概率原理。对于处在平衡态的孤立系统，系统的各种可能的微观状态出现的概率是相等的。9．系统的基本热力学函数有哪些？什么叫特性函数？什么叫自然参量。基本热力学函数有：物态方程，内能，熵。特性函数：适当选择独立变量，只要知道一个热力学函数就可以求偏导数而求得均匀系统的全部热力学函数，从而把均匀系统的平衡性质确定，这个热力学函数称为特性函数。11试说明，在应用经典理论的能量均分定理求理想气体的热容量时，出现哪些与实验不符的结论或无法解释的问题（至少例举三项）？12.最大功原理①系统在等温等容过程中对外所做的功不大于其自由能的减小(W)②在等温等压条件下，能够从系统获得的最大体变功等于系统吉布斯函数的减小。写出能斯特定理的内容凝聚态的熵在等温过程中的改变随绝对温度趋于零14．什么是近独立粒子系统粒子之间的相互作用力很弱，相互作用的平均能量远小于单个粒子的平均能量，因而可以忽略粒子之间的相互作用15．单元复相系达到平衡时所满足的相变平衡条件是什么？如果该平衡条件未能满足，变化将朝着怎样的方向进行？相变平衡条件：变化方向：(P82)16．写出吉布斯相律的表达式，并说明各物理量的含义。2-®F:多元复相系的自由度，是多元复相系可以独立改变的强度量变量的数目。k系统的组元数9:系统的相数写玻耳兹曼系统、玻色系统、费米系统的微观态数统计表达式，并说明它们之间的联系。八□(3/+a~1)!与分布｛｝相应的，玻色系统微观状态数为。b盲口a：!(J—1)!；/15/15/15口®!费米系统的微观状态数土匚乜叵三J；玻耳兹曼系统微观状态数q.=n!n⑷严为BE尸」。当满足条件经典近似条件时，三种微观状态数之间的关系为Qb.e=QF•D=N.QM•E。为什么说，对于一个处在平衡态的孤立系统，可以将粒子的最概然分布视为粒子的平衡态分布？19．试说明，在应用经典理论的能量均分定理求固体热容量时，出现哪些与实验不符的结论或无法解释的问题？①.在低温范围内，实验发现固体的热容量随温度降低地很快，当温度趋近绝对零度时，热容量也趋于零②•对于金属的自由电子，如果将能量的均分定理应用于电子，自由电子的热容量与离子振动的热容量将有相同的数量级，实验结果是3k以上的自由电子的热容量与离子振动的热容量相比可以忽略不计。三.选择题1•系统自某一状态A开始，分别经两个不同的过程到达终态Bo下面说法正确的是B在两个过程中吸收的热量相同时，内能的改变就一定相同只有在两个过程中吸热相同且做功也相同时，内能的改变才会相同经历的过程不同，内能的改变不可能相同上面三种说法都是错误的2.下列各式中不正确的是A2.下列各式中不正确的是AA)(dH\B)T,P(dF)吩JT,VC)(dU\S,V3.吉布斯函数作为特性函数应选取的独立态参量是(D)VT,PB温度和体积熵和体积孤立的系统温度和压强(D)熵和压强费米统计的巨配分函数用e表示，则熵的统计表达式是CA)C)(S二NInE—adInEdaS二k(inE—a吨—B翠]IdadpJB)D)「Mi-dinEQdinE)S二NinE—a—p—IdadpJ「7(i-dinEQdinE)S二kinE+a+p—IdadpJTOC\o"1-5"\h\z自由能作为特性函数应选取的独立态参量是A温度和体积B)温度和压强(C)熵和体积(D)熵和压强由热力学基本方程dG=—SdT+Vdp可得麦克斯韦关系DA)C)(dp)_(dS'SVB)D)(dT)5丿s(dV]云丿(dS\将平衡辐射场视为处在平衡态的光子气体系统，下面说法不正确的是这是一个玻色系统这是一个能量和粒子数守恒的系统系统中光子的分布遵从玻色分布这是一个非定域系统封闭系统指C与外界无物质和能量交换的系统/15/15/15能量守衡的系统与外界无物质交换但可能有能量交换的系统下列系统中适合用玻尔兹曼分布规律处理的系统有B经典系统满足非简并条件的玻色系统和费米系统满足弱简并性条件的玻色系统和费米系统非定域体系统9和°分别是双原子分子的振动特征温度和转动特征温度，下面说vr法正确的是t>>9时，振动自由度完全“解冻”但转动自由度仍被“冻结”t>>9时，转动自由度完全“解冻”但振动自由度仍被“冻结”t>>『时，振动自由度和转动自由度均完全“解冻”T>>9时，振动自由度和转动自由度均完全“解冻”。r气体的非简并条件是D分子平均动能远远大于kT分子平均距离极大于它的尺度分子数密度远远小于1分子平均距离远大于分子德布罗意波的平均热波长不考虑粒子自旋，在边长L的正方形区域内运动的二维自由粒子，TOC\o"1-5"\h\z其中动量的大小处在p〜p+dp范围的粒子可能的量子态数为B(A)业pdp(B)匕PdP(C)匕dp(D)土p2dph2h2h2h2五.推导与 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 1•试用麦克斯韦关系，导出方程TdS=CdT+T〔空］dV，假定c可视为常V\dT丿v量，由此导出理想气体的绝热过程方程TVy-iJc(常量)。解：TdS=dT+(dV丿tdV，…TdS=TdV=CdT+TVdV由麦氏关系(dSj(dp、(dVJ(dT丿9VTdS=CdT+TV(dT丿VdV绝热过程dS=0，理想气体p=竺T，V(里](dT丿nRcv牛+畔=0积分得CvlnT+nRlnV=C'(常量)•C/C=y，nR=C-C=C(y-1)VpVV故：lnTVy-i=C，即：TVy-i=C(常量)2.证明:dnT，P证明：选T,V为独立变量，则dG=-SdT+Vdp+ydndnT,p9dpT,n=[±(SG)]dndp_T,nT,p而(dG)=vdpTn故@)=(dV)dpT,n3.证明焓态方程：凹=V-T善ldP证：选T、p作为状态参量时，有dH=(|HjdT+pdp丿Tdp1)dS=(dT丿pdT+dp2)而，dH=TdS+Vdp(3)2）代入（3）得：dH=TdT+dp4）比较（1）、（4）得：T陪丿⑸pdS、dP丿T6）将麦氏关系[dS]（弟代入⑹，即得p(dV]IdT丿p4.导出含有N个原子的爱因斯坦固体的内能和热容量表达式:U=3Nh3+—3N32e卩力3—1CV=3咋丿E—e9E/T解：按爱因斯坦假设，将N个原子的运动视为3N个线性谐振子的振动，且所有谐振子的振动频率相同。谐振子的能级为：8=(n+1/2)方3(n=0,1,2…)则，振子的配分函数为：e—『3/2—e—P3(n+1/2)=e—『3/2•乙j(e—P3)n=11—e-P%n=01•InZ=—-^h3—ln(1—e-%)-“dlnZ3心3N方3e-卩％3入“3Nh3••U=—3N1=—N方3+=—Nh3+—d卩21—e-卩％2e卩％—1n=0CV1[dUkT2辽卩丿VV引入爱因斯坦特征温度9:E(e%—1)2方3=k%，即得：C=3Nkf^$(：e，T)5.导出爱因斯坦固体的熵表达式：S=3Nk-卩加一In（—e_卩怙je卩％一1解：设固体系统含有N个原子，按爱因斯坦假设，将N个原子的运动视为3N个线性谐振子的振动，且所有谐振子的振动频率相同。谐振子的能级为：E=方3（n+2）,（n=0,1,2,…）则，振子的配分函数为：丄e-邛①z=才e-卩①（n+2）二e21警=—磺3一”002e曲一1n=0lnz=—10方3—1口（1一幺一？3）,12卩方3ln（i一幺一讥）]•••S=3Nk（lnz1-0瞎）=3Nk[ep—16•证明，对于一维自由粒子，在长度L内，能量在&〜&+血的范围内，可能的量子态数为D（8）d8=L（2m）1/28一1/2d8。h证：由量子态与相空间体积元之间的对应关系，对于一维自由粒子，在相空间体积元dxdp内的可能的量子态数为ddx。xh因此，在长度l内，动量大小在p~p+dp范围内粒子的可能的量子态数2Ldph而，故，8=P2，dp=2m在长度L内，能量在£〜z+de范围内，可能的量子态数为—d828D(8)d8=-(2m)1/28—1/2d8。h7.证明:①①证明：U(T,—)d—=方—•Nd—=-^―-—d—兀2C3e兀—/kT—19.对于给定系统，若已知(dp]=RjQT丿v-bv(dT) 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 导出单原子分子理想气体的内能。（对所有量子态S求和）解：气体系统遵从玻耳兹曼分布，粒子配分函数为Z=e-Pel=1lls当粒子能量准连续变化时，上述对量子态求和可用卩空间积分替代。因为，在6维卩工间中，x〜x+dx，y〜y+dy，z〜z+dz，p〜p+dp，p〜p+dp，xxxyyyzzp~p+dp范围内的粒子，其可能的量子态数为z且，粒子的能量为：£—dxdydzdpdpdph3xyz(p2+p2+p2)。2mxyzZ=J..Je-盘(px2+py2+pz2)11所以—dxdydzdpdpdp=VJh3se-2mpx2dx—gV(2兀m)3/2lnZ=lnV+訓由内能的统计表达式U=-N遊1,ap得：U=—2f=—2NkT12.证明:C—C=T(ap](qv]pV[qt丿[qt丿V(aS证：C-C=TpVS(T,p)二S(T,V(T,p))PaV丿T+竺11）2）2）代入（1）C-C=TpVav3）将麦氏关系：C-C=TpVaT丿p代入3）得aV丿aT丿VaT丿V(ap\T13.证明，理想气体的摩尔自由能为：证明：选T,V为独立变量，则du=cdT+T)—pdv,aTVds=*dT+^aT.)dvTTV理想气体的物态方程为：pv=RT•Gp)=R，du二°TVv故：u=JcdT+u，V0cdT，ds=鼻dT+RdvVTvs0dT+RInv+s0f=u-Ts=JcdT-TJ^vdT-RTlnv+u-TsT0014.证明，对于二维自由粒子，在面积L2内,能量在£~£十d8范围内，可能的量子态数为D（s）dE=兰m^dE。h2证：由量子态与相空间体积元之间的对应关系，对于二维自由粒子，在相空间体积元dxdydpdp内的可能的量子态数为皿叭叭。xyh2因此，在面积L内，动量大小在p〜p+dp范围内粒子的可能的量子态数为£=p2,2mpdp=md£在面积L内，能量在£~£+d£范围内，可能的量子态数为DG£)d£=2兀mL2,d£。h2说明：上面给出的是往届出现过的 考题 安全员b证考试题库金融学机考题库消防安全技术实务思考题答案朝花夕拾考题答案excel基本考题 ，仅作为复习参考和题型示例（另外还有判断题未列出）。实际考试难度和内容与这些题类似，（注意是类似没说是相同！）。对于推到证明题给出解题示例，为的是规范解题步骤，答卷时一定要按照示例一步步求解，否则会扣分的。简答题一定要回答完整（参照笔记）。