2022版人教A版高中数学选择性必修第二册--数列的概念

高中数学选择性必修第二册人教A版1.通过日常生活和数学中的实例,了解数列的概念和 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示方法,了解数列是一种特殊的函数.2.了解数列的前n项和公式的定义,以及数列的通项公式与前n项和公式的关系.4.1　数列的概念第1讲　描述运动的基本概念第四章　数列　　1.数列的概念按照①　确定的顺序    排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的②　第一个位置上    的数叫做这个数列的第1项,也叫做首项.数列的一般形式是a1,a2,…,an,…,简记为③　{an}    ,这里n是④　正整数    .2.函数与数列的关系数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2,…,n})到实数集R的函数,其自变量是⑤　序号n    ,对应的函数值是数列的第n项an,记为an=f(n).1|数列第1讲　描述运动的基本概念第四章　数列　　1.按项数分类类别含义有穷数列项数⑥　有限    的数列无穷数列项数⑦　无限    的数列2|数列的分类第1讲　描述运动的基本概念第四章　数列类别含义递增数列从第2项起,每一项都⑧　大于    它的前一项的数列递减数列从第2项起,每一项都⑨　小于    它的前一项的数列常数列各项都相等的数列2.按项的变化趋势分类第1讲　描述运动的基本概念第四章　数列　　如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.3|数列的通项公式　　如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式.利用首项或前几项,以及递推公式,可以通过赋值求出数列中的每一项.4|数列的递推公式第1讲　描述运动的基本概念第四章　数列1.数列的前n项和我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的前n项和,记作Sn,即Sn=a1+a2+…+an.2.数列中an与Sn的关系对于数列{an},设其前n项和为Sn,则有an= 5|数列的前n项和公式第1讲　描述运动的基本概念第四章　数列1.1,1,1,1是一个数列. (　√　)2.S2n表示数列{an}中所有偶数项的和. (    ✕　)提示:S2n表示数列{an}的前2n项和.3.数列1,2,3,4,…,2n是无穷数列. (    ✕　)提示:数列的项数为2n,不是无穷数列.4.如果一个数列不是递增数列,那么它一定是递减数列. (    ✕　)提示:数列1,-1,1,-1既不是递增数列,也不是递减数列.5.数列{an}中,若an+1=2an,n∈N*,则数列{an}的所有项都能确定. (    ✕　)提示:数列{an}中的首项不确定,则其他项也不能确定.6.数列1,3,5,7,…,2n+1,…的通项公式是an=2n+1,n∈N*. (    ✕　)提示:数列1,3,5,7,…,2n+1,…的通项公式是an=2n-1,n∈N*.判断正误，正确的画“√”，错误的画“✕”.第1讲　描述运动的基本概念第四章　数列1|如何根据数列的前几项写出数列的一个通项公式由数列的前几项写出它的一个通项公式的步骤:1.从下面4个角度观察数列的前几项:(1)各项的符号特征;(2)各项能否拆分;(3)分式的分子、分母的特征;(4)相邻项的变化规律.第1讲　描述运动的基本概念第四章　数列2.寻找各项与对应的项的序号之间的规律,一般方法如下:(1)统一项的结构,将数列的各项拆分成若干个常见数列的“和”“差”“积”“商”,如都化成分数、根式等;(2)分析结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部分与对应序号间的函数解析式;(3)当一个数列各项的符号出现“+”“-”相间时,应把符号分离出来,可用(-1)n或(-1)n+1来表示;(4)当数列的奇偶项分别呈现各自的规律时,一般考虑用分段的形式给出,有时也可以将给出的各项统一化成某种形式.第1讲　描述运动的基本概念第四章　数列根据下列数列的前4项,写出数列的一个通项公式.(1) ,2, ,8,…;(2)7,77,777,7777,…;(3)- , ,- , ,….思路点拨分析数列前4项的组成结构,找出数列的项an与序号n的关系.第1讲　描述运动的基本概念第四章　数列解析    (1)数列中的项,有的是分数,有的是整数,可先将各项都统一成分数再观察: , , , ,…,分母均为2,分子为序号的平方,所以它的一个通项公式为an= ,n∈N*.(2)这个数列的前4项可以化为 ×9, ×99, ×999, ×9999,即 ×(10-1), ×(102-1), ×(103-1), ×(104-1),所以它的一个通项公式为an= ×(10n-1),n∈N*.(3)将这个数列的前4项的分母因数分解得,- , ,- , ,其分母都是序号数乘比序号数大1的数,并且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式为an= ,n∈N*.第1讲　描述运动的基本概念第四章　数列求数列{an}的最大(小)项的常用方法1.当 (n≥2,n∈N*)时,an是数列中的最大项;当 (n≥2,n∈N*)时,an是数列中的最小项.2.利用对应函数的单调性求最大(小)项.2|如何求数列的最大(小)项第1讲　描述运动的基本概念第四章　数列数列{an}中,an=-2n2+29n+3,则此数列中项的最大值是(    B　)A.107　    B.108C. 　    D.109思路点拨将an=-2n2+29n+3看作关于n的二次函数 根据二次函数的性质求an的最大值.第1讲　描述运动的基本概念第四章　数列解析    由已知得,an=-2n2+29n+3=-2 + ,由于n∈N*,所以当n取距离 最近的正整数7时,an取得最大值,最大值为a7=108.易错警示利用函数的有关知识解决数列问题时,要注意定义域为正整数集或其有限子集这一约束条件,题中二次函数的最大值在图象的对称轴处取得,而数列中项的最大值在n取距离图象的对称轴最近的正整数时取得.第1讲　描述运动的基本概念第四章　数列已知数列{an}的通项公式是an=(n+1) ,n∈N*.试问该数列有没有最大项?若有,求出最大项;若没有,请说明理由.思路点拨分析数列的单调性,利用单调性求解.第1讲　描述运动的基本概念第四章　数列解析    由题意得an+1-an=(n+2) -(n+1)· =  ,n∈N*,当1≤n<9时,an+1-an>0,即an+1>an;当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;当n>9时,an+1-an<0,即an+1<an.则a1<a2<a3<…<a9=a10且a10>a11>a12>…,故数列{an}有最大项,为第9项和第10项,且a9=a10= .第1讲　描述运动的基本概念第四章　数列 1.递推公式反映的是相邻两项(或多项)之间的关系.递推公式结合首项(或前几项),才能依次求出其他的项.若项数很大,则应考虑数列是否具有规律.2.数列的通项公式与递推公式的区别(1)通项公式反映了数列中项与序号之间的关系,而递推公式反映了数列中项与项之间的关系;(2)求数列的某一项时,可以通过将序号代入通项公式直接求出该项,而对于递推公式,则必须通过逐项计算求出该项;(3)递推公式可以揭示数列的一些性质,但不容易了解数列的全貌,计算也不方便,而通项公式可以“把握”整个数列.3|如何利用数列的递推关系解决相关数列问题第1讲　描述运动的基本概念第四章　数列3.由递推公式求通项公式的方法(1)an+1-an=常数,或an+1-an=f(n)(f(n)是可以求和的),使用累加法或迭代法;(2)an+1=pan(p为非零常数),或an+1=f(n)an(f(n)是可以求积的),使用累乘法或迭代法;(3)an+1=pan+q(p,q为非零常数),适当变形后转化为第(2)类解决.第1讲　描述运动的基本概念第四章　数列已知数列{an}满足an+1=1- ,且a1=2,则a2021的值为 (    A　)A. 　    B.-1　    C.2　    D.1思路点拨先求出前几项,再找出其规律,利用规律推出要求的项.解析    由an+1=1- 及a1=2,得a2= ,a3=-1,a4=2,……,由此可发现数列{an}是周期为3的周期数列.而2021=673×3+2,因此a2021=a2= ,故选A.第1讲　描述运动的基本概念第四章　数列   在数列{an}中,a1=1,an+1=an+ - ,n∈N*,求数列{an}的通项公式.思路点拨递推公式属于an+1-an=f(n)类型,用累加法或迭代法求数列的通项公式.第1讲　描述运动的基本概念第四章　数列解析    解法一(累加法):∵an+1-an= - ,∴a2-a1=1- ,a3-a2= - ,a4-a3= - ,……an-an-1= - (n≥2),以上各式相加得an-a1=1- + - +…+ - =1- (n≥2),又a1=1,第1讲　描述运动的基本概念第四章　数列所以an= (n≥2).因为a1=1也适合上式,所以an= (n∈N*).解法二(迭代法):a2=a1+1- ,a3=a2+ - ,……,an=an-1+ - (n≥2),则an=a1+1- + - + - +…+ - =2- = (n≥2).又a1=1也适合上式,所以an= (n∈N*).第1讲　描述运动的基本概念第四章　数列 已知数列{an}的前n项和Sn求通项公式an的步骤:(1)当n=1时,由a1=S1求出数列的首项;(2)当n≥2时,由an=Sn-Sn-1(n≥2)求出当n≥2时{an}的通项公式;(3)如果a1也满足当n≥2时{an}的通项公式,那么数列{an}的通项公式为an=Sn-Sn-1;否则数列{an}的通项公式要表示为an= 4|利用Sn与an的关系求通项公式第1讲　描述运动的基本概念第四章　数列(1)已知数列{an}的前n项和为Sn=n2-9n(n∈N*),求其通项公式;(2)已知数列{an}的前n项和为Sn=2n2+3n+2(n∈N*),求其通项公式.解析    (1)当n=1时,a1=S1=1-9=-8,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-9n-[(n-1)2-9(n-1)]=2n-10.经检验,当n=1时也满足a1=2×1-10=-8,所以数列{an}的通项公式为an=2n-10,n∈N*.(2)当n=1时,a1=S1=7,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n2+3n+2)-[2(n-1)2+3(n-1)+2]=4n+1,又a1=7不适合上式,所以an= 易错警示由数列的前n项和求数列的通项公式,要注意检验首项是否适合n≥2时的通项公式,适合就合并,否则就写成分段形式,解题时防止遗漏导致解题错误.第1讲　描述运动的基本概念第四章　数列