高一数学易错、易混、易忘典型题目+数学易错公式及知识点速记+易错知识点总结易错题习题集大全

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速记+易错知识点总结易错题习题集大全高一数学易错、易混、易忘典型题目【易错、易混、易忘典型题目】【易错点1】忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面。例1、设，，若，求实数a组成的集合的子集有多少个？【易错点分析】此题由条件易知，由于空集是任何非空集合的子集，但在解题中极易忽略这种特殊情况而造成求解满足条件的a值产生漏解现象。解析：集合A化简得，由知故（Ⅰ）当时，即方程无解，此时a=0符合已知条件（Ⅱ）当时，即方程的解为3或5，代入得或。综上满足条件的a组成的集合为，故其子集共有个。【知识点归类点拔】（1）在应用条件A∪B＝ＢA∩B＝ＡＡＢ时，要树立起分类讨论的数学思想，将集合Ａ是空集Φ的情况优先进行讨论．（2）在解答集合问题时，要注意集合的性质“确定性、无序性、互异性”特别是互异性对集合元素的限制。有时需要进行检验求解的结果是满足集合中元素的这个性质，此外，解题过程中要注意集合语言（数学语言）和自然语言之间的转化如：，，其中,若求r的取值范围。将集合所表达的数学语言向自然语言进行转化就是：集合A表示以原点为圆心以2的半径的圆，集合B表示以（3，4）为圆心，以r为半径的圆，当两圆无公共点即两圆相离或内含时，求半径r的取值范围。思维马上就可利用两圆的位置关系来解答。此外如不等式的解集等也要注意集合语言的应用。【练1】已知集合、，若，则实数a的取值范围是。答案：或。【易错点2】求解函数值域或单调区间易忽视定义域优先的原则。例2、已知,求的取值范围【易错点分析】此题学生很容易只是利用消元的思路将问题转化为关于x的函数最值求解，但极易忽略x、y满足这个条件中的两个变量的约束关系而造成定义域范围的扩大。解析：由于得(x+2)2=1-≤1，∴-3≤x≤-1从而x2+y2=-3x2-16x-12=+因此当x=-1时x2+y2有最小值1,当x=-时，x2+y2有最大值。故x2+y2的取值范围是[1,]【知识点归类点拔】事实上我们可以从解析几何的角度来理解条件对x、y的限制，显然方程表示以（-2，0）为中心的椭圆，则易知-3≤x≤-1，。此外本题还可通过三角换元转化为三角最值求解。【易错点3】求解函数的反函数易漏掉确定原函数的值域即反函数的定义域。例3、是R上的奇函数，（1）求a的值（2）求的反函数【易错点分析】求解已知函数的反函数时，易忽略求解反函数的定义域即原函数的值域而出错。解析：（1）利用（或）求得a=1.（2）由即，设,则由于故，，而EMBEDEquation.DSMT4所以【知识点归类点拔】（1）在求解函数的反函数时，一定要通过确定原函数的值域即反函数的定义域在反函数的解析式后表明（若反函数的定义域为R可省略）。（2）应用可省略求反函数的步骤，直接利用原函数求解但应注意其自变量和函数值要互换。【练3】（2004全国理）函数的反函数是（）A、B、C、D、答案：B【易错点4】求反函数与反函数值错位例4、已知函数，函数的图像与的图象关于直线对称，则的解析式为（）A、B、C、D、【易错点分析】解答本题时易由与互为反函数，而认为的反函数是则==而错选A。解析：由得从而再求的反函数得。正确答案：B【知识点分类点拔】函数与函数并不互为反函数，他只是表示中x用x-1替代后的反函数值。这是因为由求反函数的过程来看：设则，再将x、y互换即得的反函数为，故的反函数不是，因此在今后求解此题问题时一定要谨慎。【练4】（2004高考福建卷）已知函数y=log2x的反函数是y=f-1(x)，则函数y=f-1(1-x)的图象是（）答案：B【易错点5】判断函数的奇偶性忽视函数具有奇偶性的必要条件：定义域关于原点对称。例5、判断函数的奇偶性。【易错点分析】此题常犯的错误是不考虑定义域，而按如下步骤求解：从而得出函数为非奇非偶函数的错误结论。解析：由函数的解析式知x满足即函数的定义域为定义域关于原点对称，在定义域下易证即函数为奇函数。【知识点归类点拔】（1）函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件，因此在判断函数的奇偶性时一定要先研究函数的定义域。（2）函数具有奇偶性，则EMBEDEquation.DSMT4是对定义域内x的恒等式。常常利用这一点求解函数中字母参数的值。【练5】判断下列函数的奇偶性：①②③答案：①既是奇函数又是偶函数②非奇非偶函数③非奇非偶函数【易错点6】易忘原函数和反函数的单调性和奇偶性的关系。从而导致解题过程繁锁。例6、函数的反函数为，证明是奇函数且在其定义域上是增函数。【思维分析】可求的表达式，再证明。若注意到与具有相同的单调性和奇偶性，只需研究原函数的单调性和奇偶性即可。解析：EMBEDEquation.DSMT4，故为奇函数从而为奇函数。又令在和上均为增函数且为增函数，故在和上分别为增函数。故分别在和上分别为增函数。【知识点归类点拔】对于反函数知识有如下重要结论：（1）定义域上的单调函数必有反函数。（2）奇函数的反函数也是奇函数且原函数和反函数具有相同的单调性。（3）定义域为非单元素的偶函数不存在反函数。（4）周期函数不存在反函数（5）原函数的定义域和值域和反函数的定义域和值域到换。即。【练6】（1）（99全国高考题）已知，则如下结论正确的是（）A、是奇函数且为增函数B、是奇函数且为减函数C、是偶函数且为增函数D、是偶函数且为减函数答案：A（2）（2005天津卷）设是函数的反函数，则使成立的的取值范围为（）A、B、C、D、答案：A（时，单调增函数，所以.）【易错点7】证明或判断函数的单调性要从定义出发，注意步骤的 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性及树立定义域优先的原则。例7、试判断函数的单调性并给出证明。【易错点分析】在解答题中证明或判断函数的单调性必须依据函数的性质解答。特别注意定义EMBEDEquation.DSMT4中的的任意性。以及函数的单调区间必是函数定义域的子集，要树立定义域优先的意识。解析：由于即函数为奇函数，因此只需判断函数在上的单调性即可。设，由于故当时，此时函数在上增函数，同理可证函数在上为减函数。又由于函数为奇函数，故函数在为减函数，在为增函数。综上所述：函数在和上分别为增函数，在和上分别为减函数.【知识归类点拔】（1）函数的单调性广泛应用于比较大小、解不等式、求参数的范围、最值等问题中，应引起足够重视。（2）单调性的定义等价于如下形式：在上是增函数，在上是减函数，这表明增减性的几何意义：增（减）函数的图象上任意两点连线的斜率都大于（小于）零。（3）是一种重要的函数模型，要引起重视并注意应用。但注意本题中不能说在EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4上为增函数，在EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4上为减函数,在叙述函数的单调区间时不能在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”，【练7】（1）（潍坊市统考题）（1）用单调性的定义判断函数在上的单调性。（2）设在的最小值为，求的解析式。答案：（1）函数在为增函数在为减函数。（2）（2）（2001天津）设且为R上的偶函数。（1）求a的值（2）试判断函数在上的单调性并给出证明。答案：（1）（2）函数在上为增函数（证明略）【易错点8】在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用，导致错误结论。例8、（2004全国高考卷）已知函数上是减函数，求a的取值范围。【易错点分析】是在内单调递减的充分不必要条件，在解题过程中易误作是充要条件，如在R上递减，但。解析：求函数的导数（1）当时，是减函数，则故解得。（2）当时，易知此时函数也在R上是减函数。（3）当时，在R上存在一个区间在其上有，所以当时，函数不是减函数，综上，所求a的取值范围是。【知识归类点拔】若函数可导，其导数与函数的单调性的关系现以增函数为例来说明：①与为增函数的关系:能推出为增函数，但反之不一定。如函数在上单调递增，但，∴是为增函数的充分不必要条件。②时，与为增函数的关系:若将的根作为分界点，因为规定，即抠去了分界点，此时为增函数，就一定有。∴当时，是为增函数的充分必要条件。③与为增函数的关系:为增函数，一定可以推出，但反之不一定，因为，即为或。当函数在某个区间内恒有，则为常数，函数不具有单调性。∴是为增函数的必要不充分条件。函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。因此本题在第一步后再对和进行了讨论，确保其充要性。在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用而导致的错误还很多，这需要同学们在学习过程中注意思维的严密性。【练8】（1）（2003新课程）函数EMBEDEquation.DSMT4是是单调函数的充要条件是（）A、B、C、D、答案：A（2）是否存在这样的K值，使函数在上递减，在上递增？答案：。（提示据题意结合函数的连续性知，但是函数在上递减，在上递增的必要条件，不一定是充分条件因此由求出K值后要检验。）【易错点9】应用重要不等式确定最值时，忽视应用的前提条件特别是易忘判断不等式取得等号时的变量值是否在定义域限制范围之内。例9、已知：a>0,b>0,a+b=1,求(a+)2+(b+)2的最小值。错解:(a+)2+(b+)2=a2+b2+++4≥2ab++4≥4+4=8∴(a+)2+(b+)2的最小值是8【易错点分析】上面的解答中，两次用到了基本不等式a2+b2≥2ab，第一次等号成立的条件是a=b=,第二次等号成立的条件ab=，显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8不是最小值。解析：原式=a2+b2+++4=(a2+b2)+(+)+4=[(a+b)2-2ab]+[(+)2-]+4=(1-2ab)(1+)+4由ab≤()2=得：1-2ab≥1-=,且≥16，1+≥17∴原式≥×17+4=(当且仅当a=b=时，等号成立)∴(a+)2+(b+)2的最小值是。【知识归类点拔】在应用重要不等式求解最值时，要注意它的三个前提条件缺一不可即“一正、二定、三相等”，在解题中容易忽略验证取提最值时的使等号成立的变量的值是否在其定义域限制范围内。【练9】（97全国卷文22理22）甲、乙两地相距skm,汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过ckm/h,已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（km/h）的平方成正比，比例系数为b;固定部分为a元。（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（km/h）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？答案为:（1）（2）使全程运输成本最小，当≤c时，行驶速度v=；当＞c时，行驶速度v=c。【易错点10】在涉及指对型函数的单调性有关问题时，没有根据性质进行分类讨论的意识和易忽略对数函数的真数的限制条件。例10、是否存在实数a使函数在上是增函数？若存在求出a的值，若不存在，说明理由。【易错点分析】本题主要考查对数函数的单调性及复合函数的单调性判断 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，在解题过程中易忽略对数函数的真数大于零这个限制条件而导致a的范围扩大。解析：函数是由和复合而成的，根据复合函数的单调性的判断方法（1）当a>1时，若使在上是增函数，则在上是增函数且大于零。故有解得a>1。（2）当a<1时若使在上是增函数，则在上是减函数且大于零。不等式组无解。综上所述存在实数a>1使得函数在上是增函数【知识归类点拔】要熟练掌握常用初等函数的单调性如：一次函数的单调性取决于一次项系数的符号，二次函数的单调性决定于二次项系数的符号及对称轴的位置，指数函数、对数函数的单调性决定于其底数的范围（大于1还是小于1），特别在解决涉及指、对复合函数的单调性问题时要树立分类讨论的数学思想（对数型函数还要注意定义域的限制）。【练10】（1）（黄岗三月分统考变式题）设，且试求函数的的单调区间。答案：当，函数在上单调递减在上单调递增当函数在上单调递增在上单调递减。（2）（2005高考天津）若函数在区间内单调递增，则的取值范围是（）A、B、C、D、答案：B.（记，则当时，要使得是增函数，则需有恒成立，所以.矛盾.排除C、D当时，要使是函数，则需有恒成立，所以.排除A）【易错点11】含参分式不等式的解法。易对分类讨论的标准把握不准，分类讨论达不到不重不漏的目的。例11、解关于x的不等式＞1(a≠1).【易错点分析】将不等式化为关于x的一元二次不等式后，忽视对二次项系数的正负的讨论，导致错解。解：原不等式可化为：＞0，即［(a－1)x+(2－a)］(x－2)＞0.当a＞1时，原不等式与(x－)(x－2)＞0同解.若≥2，即0≤a＜1时，原不等式无解；若＜2，即a＜0或a＞1，于是a＞1时原不等式的解为(－∞，)∪(2，+∞).当a＜1时，若a＜0，解集为(，2)；若0＜a＜1，解集为(2，)综上所述：当a＞1时解集为(－∞，)∪(2，+∞)；当0＜a＜1时，解集为(2，)；当a=0时，解集为；当a＜0时，解集为(，2).【知识点分类点拔】解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求，随着高考命题原则向能力立意的进一步转化，对解不等式的考查将会更是热点，解不等式需要注意下面几个问题：(1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法.(2)掌握用序轴标根法解高次不等式和分式不等式，特别要注意因式的处理方法.(3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式，指数和对数不等式的几种基本类型的解法.(4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法.(5)在解不等式的过程中，要充分运用自己的分析能力，把原不等式等价地转化为易解的不等式.(6)对于含字母的不等式，要能按照正确的分类标准，进行分类讨论.【练11】（2005年江西高考）已知函数为常数）,且方程有两个实根为（1）求函数的解析式；（2）设,解关于的不等式：答案：①当时,解集为②当时,不等式为解集为③当时,解集为【易错点12】求函数的定义域与求函数值域错位例12、已知函数（1）如果函数的定义域为R求实数m的取值范围。（2）如果函数的值域为R求实数m的取值范围。【易错点分析】此题学生易忽视对是否为零的讨论，而导致思维不全面而漏解。另一方面对两个问题中定义域为R和值域为R的含义理解不透彻导致错解。解析：（1）据题意知若函数的定义域为R即对任意的x值EMBEDEquation.DSMT4恒成立，令，当=0时，即或。经验证当时适合，当时，据二次函数知识若对任意x值函数值大于零恒成立，只需解之得或综上所知m的取值范围为或。（2）如果函数的值域为R即对数的真数能取到任意的正数，令当=0时，即或。经验证当时适合，当时，据二次函数知识知要使的函数值取得所有正值只需解之得综上可知满足题意的m的取值范围是。【知识点归类点拔】对于二次型函数或二次型不等式若二次项系数含有字母，要注意对字母是否为零进行讨论即函数是一次函数还是二次函数不等式是一次不等式还是二次不等式。同时通过本题的解析同学们要认真体会这种函数与不等式二者在解题中的结合要通过二者的相互转化而获得解题的突破破口。再者本题中函数的定义域和值域为R是两个不同的概念，前者是对任意的自变量x的值函数值恒正，后者是函数值必须取遍所有的正值二者有本质上的区别。【练12】已知函数的定义域和值域分别为R试分别确定满足条件的a的取值范围。答案：（1）或（2）或【易错点13】函数与方程及不等式的联系与转化。学生不能明确和利用三者的关系在解题中相互转化寻找解题思路。例13、已知二次函数满足，且对一切实数恒成立.求；求的解析式；【易错点分析】对条件中的不等关系向等式关系的转化不知如何下手，没有将二次不等式与二次函数相互转化的意识，解题找不到思路。解：（1）由已知令得：EMBEDEquation.DSMT4（2）令由得：EMBEDEquation.DSMT4即则对任意实数恒成立就是对任意实数恒成立，即：EMBEDEquation.DSMT4则【知识点归类点拔】函数与方程的思想方法是高中数学的重要数学思想方法函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。对于不等式恒成立，引入新的参数化简了不等式后，构造二次函数利用函数的图像和单调性进行解决问题，其中也联系到了方程无解，体现了方程思想和函数思想。一般地，我们在解题中要抓住二次函数及图像、二次不等式、二次方程三者之间的紧密联系，将问题进行相互转化。【练13】（2005潍坊三月份统考）已知二次函数EMBEDEquation.DSMT4，满足；且对任意实数x都有；当时有（1）求的值；（2）证明（3）当时，函数EMBEDEquation.DSMT4是单调的，求证：或（1）（2）运用重要不等式（3）略【易错点14】利用函数的的单调性构造不等关系。要明确函数的单调性或单调区间及定义域限制。例14、记，若不等式的解集为，试解关于t的不等式。【易错点分析】此题虽然不能求出a,b,c的具体值，但由不等式的解集与函数及方程的联系易知1,3是方程的两根，但易忽视二次函数开口方向，从而错误认为函数在上是增函数。解析：由题意知，且故二次函数在区间上是增函数。又因为，故由二次函数的单调性知不等式等价于即故即不等式的解为：。【知识点分类点拔】函数的单调性实质是就体现了不等关系，故函数与不等式的结合历来都是高考的热点内容，也是我们解答不等式问题的重要工具，在解题过程中要加意应用意识，如指数不等式、对数不等式、涉及抽象函数类型的不等式等等都与函数的单调性密切相关。【练14】（1）（2005辽宁4月份统考题）解关于的不等式答案：当时，解集为当时，解集为当时解集为。（1）（2005全国卷Ⅱ）设函数,求使≥的的x取值范围。答案：x取值范围是【易错点15】对于不等式的恒成立问题，很多学生无从下手，或是不知到将问题如何转化成所熟悉的问题例15．（06上海）三个同学对问题“关于的不等式＋25＋|－5|≥在[1，12]上恒成立，求实数的取值范围”提出各自的解题思路．甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．乙说：“把不等式变形为左边含变量的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．丙说：“把不等式两边看成关于的函数，作出函数图像”．参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即的取值范围是．【知识点分类点拔】对于不等式的恒成立问题，可考虑通过“分离变量”（分离参数）将问题转化为函数的最值问题；其实有很多的题目都是可以通过转化变量，或是分离变量这样的方法来做。【练15】已知函数。（1）求证：上是增函数；（2）若在的值域为EMBEDEquation.DSMT4，求实数的取值范围，并求相应的的值；（3）若上恒成立，求实数的取值范围。答案：（1）利用定义法（2）∵在[m,n]上的值域为，∴，所以m,n是方程的两个不等的正实根，即有两个不等的正根，∴∴，（3）上恒成立在上恒成立，令∵x>0所以∴，故高一数学易错公式及知识点速记一、函数1、根式的性质（1）.（2）当为奇数时，；当为偶数时，.2、对数公式（1）指数式与对数式的互化式:。（2）对数的换底公式:.（3）对数恒等式：①；②；③；④；⑤3、几种常见函数图像（一次、二次、指数、对数函数，要了解其定义域和值域。另外，幂函数前面的系数一定为1，增减取决于a的正负）4、化一公式：=；(辅助角所在象限由点的象限决定,)（为简化计算，计算时若a为负数，则提出负号，使sin前系数为正，再进行计算，若b为正，（a，b）在第一象限，反之在第四象限）5、二倍角公式...公式变形：6、半角公式倍角和半角相对而言，两倍角余弦公式的变形可引出半角公式.推导过程中可得到一组降次公式，即，进一步得到半角公式:　　降次公式在三角变换中应用得十分广泛，“降次”可以作为三角变换中的一个原则.半角公式在运用时一定要注意正、负号的选取，是正是负取决于所在的象限.而半角的正切可用α的正弦、余弦表示，即:.这个公式可由二倍角公式得出，这个公式不存在符号问题，因此经常采用.反之用tan也可表示sinα,cosα,tanα，即:　　，，这组公式叫做“万能”公式.7、三角函数的周期函数及函数的周期，最大值为|A|；函数（）的周期.8、正弦定理 ：（R为外接圆的半径）.9、余弦定理;;.10、面积定理.11、三角形内角和定理(利用关系来进行角的转化）在△ABC中，有.12、三角函数的性质二、向量1、a与b的数量积:a·b=|a||b|cosθ.（θ为a与b的夹角）2、平面向量的坐标运算(1)设A，B,则(2)设a=,b=，则a+b=.(3)设a=,b=，则a-b=.(4)设a=，则a=.(5)设a=,b=，则a·b=.(6)设a=，则3、两向量的夹角公式：；(a=,b=).4、平面两点间的距离公式：=5、向量的平行与垂直：设a=,b=，则a∥bb=λa.aba·b=0.三、数列1、数列的通项公式与前n项的和的关系：；(数列的前n项的和为).2、等差数列的通项公式3、等差数列其前n项和公式为EMBEDEquation.DSMT4=4、等差数列的性质：①等差中项：②若m+n=p+q，则+=+③，，分别为前m，前2m，前3m项的和，则，-，-成等差数列5、等比数列的通项公式；6、等比数列前n项的和公式为或7、等比数列的性质：①等比中项：②若m+n=p+q，则=③，，分别为前m，前2m，前3m项的和，则，-，-成等比数列。8、常用不等式：（1）EMBEDEquation.DSMT4(当且仅当a＝b时取“=”号)．（2）(当且仅当a＝b时取“=”号)．四、命题1、命题记表示条件，表示结论；即命题“若p，则q”①充分条件：若，则是充分条件.②必要条件：若，则是必要条件.③充要条件：若，且，则是充要条件.④命题“若p，则q”的否命题：若，则；命题的否定：若p，则2、真值表 ｐ ｑ 非ｐ（） ｐ或ｑ（p∨q） ｐ且ｑ(p∧q) 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假3、量词的否定①含有一个量词的全称命题的否定:全称命题p：,它的否定：②含有一个量词的特称命题的否定:特称命题p：,它的否定：5、立体几何1、空间点、直线、平面之间的位置关系①公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。公理1的作用：判断直线是否在平面内②公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。公理2的作用：确定一个平面的依据。推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面。推论2：两条相交直线确定一个平面。公理2推论3：两条平行直线确定一个平面。③公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。公理3的作用：判定两个平面是否相交的依据2、空间中直线与直线之间的位置关系①空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内；有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内；没有公共点；异面直线：不在同一个平面内；没有公共点。②公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设a、b、c是三条直线a∥bc∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。③等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。注意点：1.两条异面直线所成的角θ∈(0，]；2.当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；3.两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；3、空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内——有无数个公共点（2）直线在平面外直线与平面相交——有且只有一个公共点直线在平面平行——没有公共点注：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用aα表示aαa∩α=Aa∥α4、直线与平面平行的判定直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。简记为：线线平行，则线面平行。符号表示：aαbβa∥αa∥b5、平面与平面平行的判定①两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。符号表示：aβbβa∩b=Pβ∥αa∥αb∥α②判断两平面平行的方法有三种：（1）判定定理；（2）平行于同一平面的两个平面平行；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。6、直线与平面、平面与平面平行的性质①定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为：线面平行则线线平行。符号表示：a∥αaβa∥bα∩β=b作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。②定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。符号表示：α∥βα∩γ=aa∥bβ∩γ=b作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行③两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都平行于另外一个平面。7、直线与平面垂直的判定①定义：如果直线与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面α互相垂直，记作⊥α。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。αp②判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。注意：1.定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；2.定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。8、平面与平面垂直的判定①两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。9、直线与平面、平面与平面垂直的性质①定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。②性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。直棱柱、正棱柱、长方体、正方体的性质：侧棱平行且相等，与底面垂直。 正棱锥的性质：侧棱相等，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心。如何寻找线面角和二面角二面角的基本找法：1.筝形：2.图中出现垂面或垂线时用三垂线定理找（1）能找到垂面或一个平面的垂线。3、一等腰（底为棱）一直角三角形构成的图形常用数学思想方法1、函数与方程的思想函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，通过建立函数关系式、确定函数的定义域或值域，结合函数的知识解决具体问题的一种思想。这种思想方法的实质是揭示问题数量关系的本质特征，突出对问题中变量动态的研究，从变量联系、发展和运动角度指导解题思路。方程与函数有着必然联系，方程f(x)=0的解就是函数y=f(x)的图像与x轴交点的横坐标，函数y=f(x)也可以看作是二元方程f(x)-y=0。确定变化过程的某个或某些量，往往要建立某个或某些量的方程，通过解方程（组）来求得这些量。函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围问题；二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，化难为易，化繁为简。2、数形结合的思想方法数形结合的数学思想方法就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图像的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如复数、三角函数、空间点的坐标等；⑤可行域与目标函数的最值问题；⑥所给的等式、不等式或代数式的结构含有明显的几何意义等。数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域、最值问题中，在求复数和三角函数问题中。3、分类讨论的思想分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。分类的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的。分类要不重复，不遗漏；讨论时，分层次进行，不越级讨论。分类的步骤是：①明确讨论对象，确定讨论范围；②确定分类标准，正确进行分类；③逐类进行讨论，获取阶段性成果；④综合归纳，小结得出结论。分类讨论的基本类型：（1）问题中的变量或有需要讨论的参数，要进行分类讨论；（2）问题的条件是分类给出的；（3）解题过程不能统一叙述，必须分类讨论；（4）有关几何问题中，几何元素的形状、位置变化需要讨论；（5）数学中的一些结论，公式、方法对于一般情形是正确的，但对某些特殊情形或说较为隐蔽的“个别”情况未必成立。4、转化与化归的思想化归与转化的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想。转化是将数学命题由一种形式向另一种形式的变换过程，化归是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题。转化思想在数学中的应用非常普遍，如由未知向已知转化，新知识向旧知识的转化，复杂问题向简单问题转化，不同数学问题之间的相互转化，实际问题向数学问题的转化等等。化归的基本方法与途径： ①等价转化：将原命题转化为与之等价的命题； ②正与反的相互转化：对于那些从“正面进攻”很难奏效或运算较难的问题，可先攻其反面，从而使正面问题得以解决； ③特殊与一般的相互转化：对于那些结论不明或解题思路不易发现的问题，可先用特殊情形探求解题思路或命题结论，再在一般情况下给出证明，这不失为一种解题的明智之举；  ④整体与局部的相互转化：整体由局部构成，研究某些整体问题可以从局部开始； ⑤高维与低维的相互转化：事物的空间形成，总是表现为不同维数且遵循由低维想高维的发展规律，通过降维转化，可把问题有一个领域转换到另一个领域而得以解决，这种转化在复数与立体几何中特别常见； ⑥数与形的相互转化：通过挖掘已知条件的内涵，发现式子的几何意义，利用几何图形的直观性解决问题，使问题简化； ⑦函数与方程的转化； ⑧构造法：根据已知条件的特点，构造函数、构造方程、构造几何图形等来化归转化，使问题易于解决。高一数学易错知识点总结，易错题习题集大全一、集合与简易逻辑易错点1　遗忘空集致误错因分析：由于空集是任何非空集合的真子集，因此，对于集合BA，就有B=A，φ≠BA，B≠φ，三种情况，在解题中如果思维不够缜密就有可能忽视了B≠φ这种情况，导致解题结果错误。尤其是在解含有参数的集合问题时，更要充分注意当参数在某个范围内取值时所给的集合可能是空集这种情况。空集是一个特殊的集合，由于思维定式的原因，考生往往会在解题中遗忘了这个集合，导致解题错误或是解题不全面。易错点2　忽视集合元素的三性致误错因分析：集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。在解题时也可以先确定字母参数的范围后，再具体解决问题。易错点3　四种命题的结构不明致误错因分析：如果原命题是“若A则B”，则这个命题的逆命题是“若B则A”，否命题是“若┐A则┐B”，逆否命题是“若┐B则┐A”。这里面有两组等价的命题，即“原命题和它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价”。在解答由一个命题写出该命题的其他形式的命题时，一定要明确四种命题的结构以及它们之间的等价关系。另外，在否定一个命题时，要注意全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。如对“a,b都是偶数”的否定应该是“a,b不都是偶数”，而不应该是“a,b都是奇数”。易错点4　充分必要条件颠倒致误错因分析：对于两个条件A，B，如果A=>B成立，则A是B的充分条件，B是A的必要条件;如果B=>A成立，则A是B的必要条件，B是A的充分条件;如果A<=>B，则A，B互为充分必要条件。解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性，所以在解决这类问题时一定要根据充要条件的概念作出准确的判断。易错点5　逻辑联结词理解不准致误错因分析：在判断含逻辑联结词的命题时很容易因为理解不准确而出现错误，在这里我们给出一些常用的判断方法，希望对大家有所帮助：p∨q真<=>p真或q真，命题p∨q假<=>p假且q假(概括为一真即真);命题p∧q真<=>p真且q真，p∧q假<=>p假或q假(概括为一假即假);┐p真<=>p假，┐p假<=>p真(概括为一真一假)。二、函数与导数易错点6　求函数定义域忽视细节致误错因分析：函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，因此要求定义域就要根据函数解析式把各种情况下的自变量的限制条件找出来，列成不等式组，不等式组的解集就是该函数的定义域。在求一般函数定义域时要注意下面几点：(1)分母不为0;(2)偶次被开放式非负;(3)真数大于0;(4)0的0次幂没有意义。函数的定义域是非空的数集，在解决函数定义域时不要忘记了这点。对于复合函数，要注意外层函数的定义域是由内层函数的值域决定的。易错点7　带有绝对值的函数单调性判断错误错因分析：带有绝对值的函数实质上就是分段函数，对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一是在各个段上根据函数的解析式所表示的函数的单调性求出单调区间，最后对各个段上的单调区间进行整合;二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断。研究函数问题离不开函数图象，函数图象反应了函数的所有性质，在研究函数问题时要时时刻刻想到函数的图象，学会从函数图象上去分析问题，寻找解决问题的方案。对于函数的几个不同的单调递增(减)区间，千万记住不要使用并集，只要指明这几个区间是该函数的单调递增(减)区间即可。易错点8　求函数奇偶性的常见错误错因分析：求函数奇偶性的常见错误有求错函数定义域或是忽视函数定义域，对函数具有奇偶性的前提条件不清，对分段函数奇偶性判断方法不当等。判断函数的奇偶性，首先要考虑函数的定义域，一个函数具备奇偶性的必要条件是这个函数的定义域区间关于原点对称，如果不具备这个条件，函数一定是非奇非偶的函数。在定义域区间关于原点对称的前提下，再根据奇偶函数的定义进行判断，在用定义进行判断时要注意自变量在定义域区间内的任意性。易错点9　抽象函数中推理不严密致误错因分析：很多抽象函数问题都是以抽象出某一类函数的共同“特征”而 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 出来的，在解决问题时，可以通过类比这类函数中一些具体函数的性质去解决抽象函数的性质。解答抽象函数问题要注意特殊赋值法的应用，通过特殊赋值可以找到函数的不变性质，这个不变性质往往是进一步解决问题的突破口。抽象函数性质的证明是一种代数推理，和几何推理证明一样，要注意推理的严谨性，每一步推理都要有充分的条件，不可漏掉一些条件，更不要臆造条件，推理过程要层次分明，书写规范。易错点10　函数零点定理使用不当致误错因分析：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也是方程f(c)=0的根，这个结论我们一般称之为函数的零点定理。函数的零点有“变号零点”和“不变号零点”，对于“不变号零点”，函数的零点定理是“无能为力”的，在解决函数的零点时要注意这个问题。易错点11　混淆两类切线致误错因分析：曲线上一点处的切线是指以该点为切点的曲线的切线，这样的切线只有一条;曲线的过一个点的切线是指过这个点的曲线的所有切线，这个点如果在曲线上当然包括曲线在该点处的切线，曲线的过一个点的切线可能不止一条。因此求解曲线的切线问题时，首先要区分是什么类型的切线。易错点12　混淆导数与单调性的关系致误错因分析：对于一个函数在某个区间上是增函数，如果认为函数的导函数在此区间上恒大于0，就会出错。研究函数的单调性与其导函数的关系时一定要注意：一个函数的导函数在某个区间上单调递增(减)的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大(小)于等于0，且导函数在此区间的任意子区间上都不恒为零。易错点13　导数与极值关系不清致误错因分析：在使用导数求函数极值时，很容易出现的错误就是求出使导函数等于0的点，而没有对这些点左右两侧导函数的符号进行判断，误以为使导函数等于0的点就是函数的极值点。出现这些错误的原因是对导数与极值关系不清。可导函数在一个点处的导函数值为零只是这个函数在此点处取到极值的必要条件，在此提醒广大考生在使用导数求函数极值时一定要注意对极值点进行检验。三、数列易错点14　用错基本公式致误错因分析：等差数列的首项为a1、公差为d，则其通项公式an=a1+(n-1)d，前n项和公式Sn=na1+n(n-1)d/2=(a1+an)d/2;等比数列的首项为a1、公比为q，则其通项公式an=a1pn-1，当公比q≠1时，前n项和公式Sn=a1(1-pn)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q)，当公比q=1时，前n项和公式Sn=na1。在数列的基础性试题中，等差数列、等比数列的这几个公式是解题的根本，用错了公式，解题就失去了方向。易错点　15an,Sn关系不清致误错因分析：在数列问题中，数列的通项an与其前n项和Sn之间存在关系：这个关系是对任意数列都成立的，但要注意的是这个关系式是分段的，在n=1和n≥2时这个关系式具有完全不同的表现形式，这也是解题中经常出错的一个地方，在使用这个关系式时要牢牢记住其“分段”的特点。当题目中给出了数列{an}的an与Sn之间的关系时，这两者之间可以进行相互转换，知道了an的具体表达式可以通过数列求和的方法求出Sn，知道了Sn可以求出an，解题时要注意体会这种转换的相互性。易错点16　对等差、等比数列的性质理解错误错因分析：等差数列的前n项和在公差不为0时是关于n的常数项为0的二次函数。一般地，有结论“若数列{an}的前N项和Sn=an2+bn+c(a,b,c∈R)，则数列{an}为等差数列的充要条件是c=0”;在等差数列中，Sm,S2m-Sm,S3m-S2m(m∈N*)是等差数列。解决这类题目的一个基本出发点就是考虑问题要全面，把各种可能性都考虑进去，认为正确的命题给以证明，认为不正确的命题举出反例予以驳斥。在等比数列中公比等于-1时是一个很特殊的情况，在解决有关问题时要注意这个特殊情况。易错点17　数列中的最值错误错因分析：数列的通项公式、前n项和公式都是关于正整数的函数，要善于从函数的观点认识和理解数列问题。但是考生很容易忽视n为正整数的特点，或即使考虑了n为正整数，但对于n取何值时，能够取到最值求解出错。在关于正整数n的二次函数中其取最值的点要根据正整数距离二次函数的对称轴远近而定。易错点18　错位相减求和时项数处理不当致误错因分析：错位相减求和法的适用环境是：数列是由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积所组成的，求其前n项和。基本方法是设这个和式为Sn，在这个和式两端同时乘以等比数列的公比得到另一个和式，这两个和式错一位相减，得到的和式要分三个部分：(1)原来数列的第一项;(2)一个等比数列的前(n-1)项的和;(3)原来数列的第n项乘以公比后在作差时出现的。在用错位相减法求数列的和时一定要注意处理好这三个部分，否则就会出错。一试题部分 1 试题来源 洛阳一中2017-2018学年高一上学期期中考试 分值 12 得分率 65% 知识点 奇偶性与单调性 易错题 19.设函数.（1）王鹏同学认为：无论a取何值，都不可能是奇函数，你同意他的观点吗？请说明你的理由；（2）若是偶函数，求a的值；（3）在（2）的情况下，画出y=f(x)的图象并指出其单调递增区间. 推荐题1 题目来源：福建省华安中学2017-2018学年高一上学期期末考试 用时建议：8min 已知函数（1）判断函数的单调性并给出证明；（2）若存在实数使函数是奇函数，求；（3）对于（2）中的，若，当时恒成立，求的最大值． 推荐题2 题目来源：黑龙江省大庆中学2017-2018学年高一上学期期末考试 用时建议：8min 设函数的定义域为，并且满足，且，当时，.（1）求的值；（2）判断函数的奇偶性；（3）如果，求的取值范围. 推荐题3 题目来源：湖北省孝感市八校联考2017-2018学年高一上学期期中考试 用时建议：8min 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．　（1）求函数的解析式；（2）现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，请补全完整函数的图象；（3）求使的实数的取值集合. 2 试题来源 洛阳一中2017-2018学年高一上学期期中考试 分值 12 得分率 42% 知识点 实际应用，求函数的最值 易错题 20.某工厂今年前三个月生产某种产品的数量统计表格如下：月份1月2月3月数量（万件）11.21.3为了估测以后每个月的产量，以这三个月产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系.模拟函数可选择二次函数y=px2+qx+r(p,q,r为常数，且p≠0)或函数y=abx+c(a,b,c为常数).已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由. 推荐题1 题目来源：2017-2018学年山东省潍坊市高一第一学期期中考试 用时建议：12min 经市场调查，某商品在过去的100天内的销售量(单位：件)和价格(单位:元)均为时间(单位：天)的函数，且销售量满足，价格满足=.（1）求该种商品的日销售额与时间的函数关系；（2）若销售额超过16610元，商家认为该商品的收益达到理想程度，请判断该商品在哪几天的收益达到理想程度？ 推荐题2 题目来源：甘肃省兰州第一中学2017-2018学年高一12月月考 用时建议：12min 某企业常年生产一种出口产品，根据预测可知，进入21世纪以来，该产品的产量平稳增长，记2009年为第1年，且前4年中，第年与年产量万件之间的关系如下表所示：12344.005.587.008.44若近似符合以下三种函数模型之一：＝＝=.（1）找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取其中你认为最适合的数据求出相应的解析式；（2）因遭受某国对该产品进行反倾销的影响，2015年的年产量比预计减少30%，试根据所建立的函数模型,确定2015年的年产量. 推荐题3 题目来源：黑龙江省大庆第一中学2017-2018学年高一上学期第二次阶段测试 用时建议：12min 某企业生产、两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资关系如图（1）所示；产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示（注：利润和投资单位：万元）．（1）分别将、两种产品的利润表示为投资的函数关系式；（2）已知该企业已筹集到万元资金，并将全部投入、两种产品的生产．问怎样分配这万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？ 3 试题来源 洛阳一中2017-2018学年高一上学期期中考试 分值 12 得分率 60% 知识点 对称性的应用，单调性函数的零点综合 易错题 22.对于函数，若存在一个实数a使得，我们就称关于直线对称.已知.（1）证明关于x=1对称，并据此求：EMBEDEquation.3的值；（2）若只有一个零点，求m的值. 推荐题1 题目来源：江苏省高邮市2017-2018学年高一上学期期中考试 用时建议：12min 设函数，，且函数的图象关于直线对称.（1）求函数在区间上最大值；（2）设，不等式在上恒成立，求实数的取值范围；（3）设有唯一零点，求实数的值. 推荐题2 题目来源：山东省烟台市2017-2018学年高一上学期期中考试 用时建议：12min 关于函数=有如下结论：若函数的图象关于点对称，则有=成立.（1）若函数=的图象关于点对称，根据题设中的结论求实数的值；（2）若函数的图象既关于点对称，又关于点对称，且当时,,求的值. 推荐题3 题目来源：辽宁省沈阳市交联体2017-2018学年高一上学期期中考试 用时建议：12min 已知函数是定义在上的函数，图象关于轴对称，当时，，（1）画出图象；（2）求出的解析式；（3）若函数与函数的图象有四个交点，求的取值范围. 4 试题来源 洛阳一中2017-2018学年高一上学期实验班测验 分值 5 得分率 33% 知识点 新概念题 易错题 12.对于函数，若任给实数a、b、c，f(a)、f(b)、f(c)为某一三角形三边长，则称f(x)为“可构造三角形函数”.已知函数=是“可构造三角形函数”,则实数t的取值范围是()A. [,2]B. [0,1]C. [1,2]D. [0,+∞) 推荐题1 题目来源：浙江省91高中联盟2017-2018学年高一上学期期中联考 用时建议：3min 在实数的原有运算法则中，补充定义新运算“”如下：当时，；当时，，已知函数，则满足的实数的取值范围是（）A.B.C.D. 推荐题2 题目来源：江西省南昌二中2017-2018学年度高一上学期期中考试 用时建议：3min 若函数满足对任意的，都有成立，则称函数在区间上是“被约束的”.若函数在区间上是“被约束的”，则实数的取值范围是（）A.B.C.D. 推荐题3 题目来源：2017-2018学年江西省南昌二中高一上第三次考试 用时建议：3min 在直角坐标系中，如果两点在