2018年电大高等数学基础期末考试试题及答案

2018年电大高等数学基础期末考试试题及答案一、单项选择题1-1下列各函数对中，（C）中的两个函数相等．A.2)()(xxf=，xxg=)(B.2)(xxf=，xxg=)(C.3ln)(xxf=，xxgln3)(=D.1)(+=xxf，11)(2--=xxxg1-⒉设函数)(xf的定义域为),(+¥-¥，则函数)()(xfxf-+的图形关于（C）对称．A.坐标原点B.x轴C.y轴D.xy=设函数)(xf的定义域为),(+¥-¥，则函数)()(xfxf--的图形关于（D）对称．A.xy=B.x轴C.y轴D.坐标原点.函数2eexxy-=-的图形关于（A）对称．(A)坐标原点(B)x轴(C)y轴(D)xy=1-⒊下列函数中为奇函数是（B）．A.)1ln(2xy+=B.xxycos=C.2xxaay-+=D.)1ln(xy+=下列函数中为奇函数是（A）．A.xxy-=3B.xxeey-+=C.)1ln(+=xyD.xxysin=下列函数中为偶函数的是（D）．Axxysin)1(+=Bxxy2=Cxxycos=D)1ln(2xy+=2-1下列极限存计算不正确的是（D）．A.12lim22=+¥®xxxB.0)1ln(lim0=+®xxC.0sinlim=¥®xxxD.01sinlim=¥®xxx2-2当0®x时，变量（C）是无穷小量．A.xxsinB.x1C.xx1sinD.2)ln(+x当0®x时，变量（C）是无穷小量．Ax1BxxsinC1e-xD2xx.当0®x时，变量（D）是无穷小量．Ax1BxxsinCx2D)1ln(+x下列变量中，是无穷小量的为（B）A()1sin0xx®B()()ln10xx+®C()1xex®¥D.()2224xxx-®-3-1设)(xf在点x=1处可导，则=--®hfhfh)1()21(lim0（D）．A.)1(f¢B.)1(f¢-C.)1(2f¢D.)1(2f¢-设)(xf在0x可导，则=--®hxfhxfh)()2(lim000（D）．A)(0xf¢B)(20xf¢C)(0xf¢-D)(20xf¢-设)(xf在0x可导，则=--®hxfhxfh2)()2(lim000（D）．A.)(20xf¢-B.)(0xf¢C.)(20xf¢D.)(0xf¢-设xxfe)(=，则=D-D+®Dxfxfx)1()1(lim0（A）AeB.e2C.e21D.e413-2.下列等式不成立的是（D）．A.xxdedxe=B)(cossinxdxdx=-C.xddxx=21D.)1(lnxdxdx=下列等式中正确的是（B）．A.xdxxdarctan)11(2=+B.2)1(xdxxd-=C.dxdxx2)2ln2(=D.xdxxdcot)(tan=4-1函数14)(2-+=xxxf的单调增加区间是（D）．A.)2,(-¥B.)1,1(-C.),2(¥+D.),2(¥+-函数542-+=xxy在区间)6,6(-内满足（A）．A.先单调下降再单调上升B.单调下降C.先单调上升再单调下降D.单调上升.函数62--=xxy在区间（－5，5）内满足（A）A先单调下降再单调上升B单调下降C先单调上升再单调下降D单调上升.函数622+-=xxy在区间)5,2(内满足（D）．A.先单调下降再单调上升B.单调下降C.先单调上升再单调下降D.单调上升5-1若)(xf的一个原函数是x1，则=¢)(xf（D）．A.xlnB.21x-C.x1D.32x.若)(xF是)(xf的一个原函数，则下列等式成立的是（A）。A)()()(aFxFdxxfxa-=òB)()()(afbfdxxFba-=òC)()(xFxf=¢D)()()(aFbFdxxfba-=¢ò5-2若xxfcos)(=，则=¢òxxfd)(（B）．A.cx+sinB.cx+cosC.cx+-sinD.cx+-cos下列等式成立的是（D）．A.)(d)(xfxxf=¢òB.)()(dxfxf=òC.)(d)(dxfxxf=òD.)(d)(ddxfxxfx=ò=òxxfxxd)(dd32（B）．A.)(3xfB.)(32xfxC.)(31xfD.)(313xf=òxxxfxd)(dd2（D）A)(2xxfBxxfd)(21C)(21xfDxxxfd)(2⒌-3若ò+=cxFxxf)(d)(，则ò=xxfxd)(1（B）．A.cxF+)(B.cxF+)(2C.cxF+)2(D.cxFx+)(1补充：ò=--xefexxd)(ceFx+--)(,无穷积分收敛的是dxxò+¥121函数xxxf-+=1010)(的图形关于y轴对称。二、填空题⒈函数)1ln(39)(2xxxxf++--=的定义域是（3，+∞）．函数xxxy-+-=4)2ln(的定义域是（2，3）∪（3，4]函数xxxf--+=21)5ln()(的定义域是（－5，2）若函数îíì>£+=0,20,1)(2xxxxfx，则=)0(f1．2若函数ïîïíì³+<+=0,0,)1()(1xkxxxxfx，在0=x处连续，则=ke．.函数ïîïíì=¹=002sin)(xkxxxxf在0=x处连续，则=k2函数îíì£>+=0,sin0,1xxxxy的间断点是x=0．函数3322---=xxxy的间断点是x=3。函数xey-=11的间断点是x=03-⒈曲线1)(+=xxf在)2,1(处的切线斜率是1/2．曲线2)(+=xxf在)2,2(处的切线斜率是1/4．曲线1)(+=xexf在（0，2）处的切线斜率是1．.曲线1)(3+=xxf在)2,1(处的切线斜率是3．3-2曲线xxfsin)(=在)1,2π(处的切线方程是y=1．切线斜率是0曲线y=sinx在点(0,0)处的切线方程为y=x切线斜率是14.函数)1ln(2xy+=的单调减少区间是（－∞，0）．函数2e)(xxf=的单调增加区间是（0，+∞）．.函数1)1(2++=xy的单调减少区间是（－∞，－1）．.函数1)(2+=xxf的单调增加区间是（0，+∞）．函数2xey-=的单调减少区间是（0，+∞）．5-1=ò-xxded2dxex2-．.=òxxdxddsin22sinx．=¢òxxd)(tantanx+C．若ò+=cxxxf3sind)(，则=¢)(xf－9sin3x．5-2ò-=+335d)21(sinxx3．=+ò-11231dxxx0．=+òedxxdxd1)1ln(0下列积分计算正确的是（B）．A0d)(11=+ò--xeexxB0d)(11=-ò--xeexxC0d112=ò-xxD0d||11=ò-xx三、计算题（一）、计算极限（1小题，11分）（1）利用极限的四则运算法则，主要是因式分解，消去零因子。（2）利用连续函数性质：)(0xf有定义，则极限)()(lim00xfxfxx=®类型1：利用重要极限1sinlim0=®xxx，kxkxx=®sinlim0，kxkxx=®tanlim0计算1-1求xxx5sin6sinlim0®．解：565sin6sinlim5sin6sinlim00=×=®®xxxxxxxx1-2求0tanlim3xxx®解：=®xxx3tanlim031131tanlim310=´=®xxx1-3求xxx3tanlim0®解：xxx3tanlim0®=3313.33tanlim0=´=®xxx类型2：因式分解并利用重要极限1)()sin(lim=--®axaxax，1)sin(lim=--®axaxax化简计算。2-1求)1sin(1lim21+--®xxx．解：)1sin(1lim21+--®xxx=2)11(1)1.()1sin()1(lim1-=--´=-++-®xxxx2-2()21sin1lim1xxx®--解：211111)1(1.)1()1sin(lim1)1sin(lim121=+´=+--=--®®xxxxxxx2-3)3sin(34lim23-+-®xxxx解：2)1(lim)3sin()1)(3(lim)3sin(34lim3323=-=---=-+-®®®xxxxxxxxxx类型3：因式分解并消去零因子，再计算极限3-14586lim224+-+-®xxxxx解：4586lim224+-+-®xxxxx==----®)1)(4()2)(4(lim4xxxxx3212lim4=--®xxx3-22236lim12xxxxx®-+---()()()()2233332625limlimlim123447xxxxxxxxxxxxx®-®-®-+-+--===--+--3-3423lim222-+-®xxxx解4121lim)2)(2()1)(2(lim423lim22222=+-=+---=-+-®®®xxxxxxxxxxxx其他：0sin21limsin11lim2020==-+®®xxxxxx，221sinlim11sinlim00==-+®®xxxxx=--++¥®5456lim22xxxxx1lim22=¥®xxx，=--+¥®54362lim22xxxxx3232lim22=¥®xxx（0807 考题 安全员b证考试题库金融学机考题库消防安全技术实务思考题答案朝花夕拾考题答案excel基本考题 ）计算xxx4sin8tanlim0®．解：xxx4sin8tanlim0®=248.4sin8tanlim0==®xxxxx（0801考题.）计算xxx2sinlim0®．解=®xxx2sinlim021sinlim210=®xxx（0707考题.）)1sin(32lim21+---®xxxx=4)31(1)1sin()3).(1(lim1-=--´=+-+-®xxxx（二）求函数的导数和微分（1小题，11分）（1）利用导数的四则运算法则vuvu¢±¢=¢±)(vuvuuv¢+¢=¢)(（2）利用导数基本公式和复合函数求导公式xx1)(ln=¢1)(-=¢aaaxxxxee=¢)(ueeuu¢=¢.)(xxxxxxxx22csc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin-=¢=¢-=¢=¢xexeexexeexexeexxxxxxxxxsin).(cos)(cos).(sin)(2).()(coscoscossinsinsin2222-=¢=¢=¢=¢=¢=¢xxxxxeeeeexxxxxuuucos).(cos)(sincos2).(cos)(sin.cos)(sin2222=¢=¢=¢=¢¢=¢xxxxeeeeexxxxxuuusin).(sin)(cossin2)(sin)(cos.sin)(cos2222-=¢-=¢-=¢-=¢¢-=¢类型1：加减法与乘法混合运算的求导，先加减求导，后乘法求导；括号求导最后计算。1-1xxxye)3(+=解：y¢＝()332233xxxexe¢æöæö¢+++ç÷ç÷èøèø1322332xxxexeæö=++ç÷èø1322332xxxeæö=++ç÷èø1-2xxxylncot2+=解：xxxxxxxxxxxxy++-=¢+¢+-=¢+¢=¢ln2csc)(lnln)(csc)ln()(cot222221-3设xxeyxlntan-=，求y¢．解：xxexexxexexxeyxxxxx1sectan1)(tantan)()(ln)tan(2-+=-¢+¢=¢-¢=¢类型2：加减法与复合函数混合运算的求导，先加减求导，后复合求导2-1xxylnsin2+=，求y¢解：xxxxxy1cos2)(ln)(sin22+=¢+¢=¢2-22sinecosxyx-=，求¢y解：2222cos2esine).(cos).(sin)(sin)(cosxxxxeexeyxxxxx--=¢-¢-=¢-¢=¢2-3xexy55ln-+=，求¢y，解：xxxxexy5455e5ln5).()(ln---=¢+¢=¢类型3：乘积与复合函数混合运算的求导，先乘积求导，后复合求导xeyxcos2=，求y¢。解：xexxexexeyxxxxsincos2)(coscos)(2222-=¢+¢=¢其他：xxyxcos2-=，求y¢。解：=¢-¢-=¢-¢=¢2).(cos.)(cos2ln2)cos()2(xxxxxxxyxx2cossin2ln2xxxxx++0807.设2sinsinxeyx+=，求y¢解：2sin2sincos2cos)(sin)(xxxexeyxx+=¢+¢=¢0801.设2xxey=，求y¢解：222222)()(xxxxexeexexy+=¢+¢=¢0707.设2sinxeyx-=，求¢y解：xxexxeyxx2cos)().(sinsin2sin-=¢-¢=¢0701.设xxyecosln+=，求¢y解：xxxxxeexyesine1).(sin)(ln-=¢-¢=¢（三）积分计算：（2小题，共22分）凑微分类型1：òò-=)1(d12xdxxLL计算òxxxd1cos2解：cxxdxxxx+-=-=òò1sin)1(1cosd1cos20707.计算òxxdx1sin2．解：cxxxxx+=-=òò1cos)1(dx1sind1sin20701计算òxxxde21．解：=-=òò)1(dede121xxxxxcx+-1e凑微分类型2：òò=xdxLL2dx1.计算òxxxdcos．解：cxxdxxxx+==òòsin2cos2dcos0807.计算òxxdxsin．解：cxxdxxx+-==òòcos2sin2dxsin0801.计算òxexdx解：cexdexexxx+==òò22dx凑微分类型3：òò=xdxlndx1LL，)ln(dx1òò+=xadxLL计算òxdxlnx1解：cxduuxxdx+===òòò|ln|ln1lnlndxlnx1.计算ò+e1dln2xxx解：òò++=+e1e1)ln2()dln2(dln2xxxxx25)ln2(2112=+=ex5定积分计算题，分部积分法类型1：cxaxaxdxxaxxaxdxaxdxxaaaaaa++-+=+-+=+=++++òòò12111)1(1ln111ln11ln11ln计算òe1lnxdxx解：1=a，cxxxxdxxdxx+-==òò22241ln21ln21ln411)4ln2(ln21lnxd22212e1eexxxxdxxxe+=-==òò1)10()(1)ln(dlne1=---=-=òeeexxxxx计算òe12dlnxxx解：2-=a，cxxxxxddxxx+--=-=òò1ln1)1(lnln2eexxxxxxxx211)1ln()1(dlndlne1e12-=--=-=òò计算dxxxeò1ln解：21-=a，cxxxxxddxxx+-==òò4ln2ln2lndxxxeò1ln=421)4ln2(ln21+-=-=òeexxxxxde0807=òe1lnxdxx94921)94ln32(xlnxd32232323e123+=-=òeexxx0707òò=e13e12nxd31dlnxlxxx91921)91lnx31(333+=-=eexx类型2ceaxeaexdadxxeaxaxaxax+-==òò211)(1xxdexdxxe21010221òò=414101)4121(222+=-=eexexxxxdexdxxe--òò-=10101201)(1+-=--=---eexexxxxdexdxxe21010221--òò-=414301)4121(222+-=--=---eexexx（0801考题）=ò10xdxex101)xe(xde10xx=-=òxe类型3：caxaaxxaaxdxaaxxaaxdxx++-=+-=òòsin1cos1cos1cos1sin2caxaaxxaaxdxaaxxaaxdxx++=-=òòcos1sin1sin1sin1cos2=ò20sinpxdxx10102)sincos(cos20=-=+-=-òppxxxxxd=ò20cospxdxx1202)cossin(sin20-=+=òpppxxxxxdòò++-=+-=cxxxxdxxxxxx2sin412cos212cos212cos21d2sin=ò202sinpxdxx40402)2sin412cos21(2cos2120pppp=-=+-=-òxxxxxd222200001111cos2sin2|sin2cos2|2242xxdxxxxdxxpppp=-==-òò四、应用题（1题，16分）类型1：圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为l，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？解：如图所示，圆柱体高h与底半径r满足222lrh=+圆柱体的体积公式为hhlhrV)(π222-==p求导并令0)3(π22=-=¢hlV得lh33=，并由此解出lr36=．即当底半径lr36=，高lh33=时，圆柱体的体积最大．类型2：已知体积或容积，求表面积最小时的尺寸。2-1（0801考题）某制罐厂要生产一种体积为V的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？解：设容器的底半径为r，高为h，则其容积22.,..rVhhrVpp==表面积为rVrrhrS2π2π2π222+=+=22π4rVrS-=¢，由0=¢S得3π2Vr=，此时3π42Vrh==。由实际问题可知，当底半径3π2Vr=与高rh2=时可使用料最省。一体积为V的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？解：本题的解法和结果与2-1完全相同。生产一种体积为V的无盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？解：设容器的底半径为r，高为h，则无盖圆柱形容器表面积为rVrrhrS2ππ2π22+=+=，令02π22=-=¢rVrS，得rhVr==,π3，由实际问题可知，当底半径3πVr=与高rh=时可使用料最省。2-2欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？（0707考题）解：设底边的边长为x，高为h，用材料为y，由已知322==Vhx，2xVh=，表面积xVxxhxy4422+=+=，令0422=-=¢xVxy，得6423==Vx，此时,4=x2xVh==2由实际问题可知，4=x是函数的极小值点，所以当4=x，2=h时用料最省。欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：本题的解法与2-2同，只需把V=62.5代入即可。l类型3求求曲线kxy=2上的点，使其到点)0,(aA的距离最短．曲线kxy=2上的点到点)0,(aA的距离平方为kxaxyaxL+-=+-=222)()(0)(2=+-=¢kaxL，kax-=223-1在抛物线xy42=上求一点，使其与x轴上的点)0,3(A的距离最短．解：设所求点P（x，y），则满足xy42=，点P到点A的距离之平方为xxyxL4)3()3(222+-=+-=令04)3(2=+-=¢xL，解得1=x是唯一驻点，易知1=x是函数的极小值点，当1=x时，2=y或2-=y，所以满足条件的有两个点（1，2）和（1，－2）3-2求曲线xy22=上的点，使其到点)0,2(A的距离最短．解：曲线xy22=上的点到点A（2，0）的距离之平方为xxyxL2)2()2(222+-=+-=令02)2(2=+-=¢xL，得1=x，由此222==xy，2±=y即曲线xy22=上的点（1，2）和（1，2-）到点A（2，0）的距离最短。08074求曲线2xy=上的点，使其到点A（0，2）的距离最短。解：曲线2xy=上的点到点A（0，2）的距离公式为222)2()2(-+=-+=yyyxdd与2d在同一点取到最大值，为计算方便求2d的最大值点，22)2(-+=yyd32)2(21)(2-=-+=¢yyd令0)(2=¢d得23=y，并由此解出26±=x，即曲线2xy=上的点（23,26）和点（23,26-）到点A（0，2）的距离最短