3D射影几何和变换

3D射影几何和变换点与直线直线的齐次表示：ax+by+c=0(a,b,c)’看做矢量，(ka,kb,kc)’也是矢量；上述两个矢量是等价的，因为只差一个全局缩放因子，却都表示相同的直线；这种等价关系下的等价类叫做齐次矢量；在IR²中的矢量等价类的集合组成射影空间IP²，(0,0,0)’；点的齐次表示表示：点，x=(x,y)’；直线I=(a,b,c)’；ax+by+c=0;方法：把“1”作为增加在点中的最后一个坐标使IR²变成一个齐次矢量；充要条件：(x,y,1)与(a,b,c)’的内积是ax+by+c=0；通式：点的齐次表示为x=(x1,x2,x3)’x=(x1/x3,x2/x3)；理想点与无穷远线两条平行线L1：ax+by+c=0L2：ax+by+c‘=0可以求得两条直线的交点为（bc’-bc,0,0）这是点的齐次表示，当我们用非其次点来表示时会出现bc’-bc/0的问题，这就是说两条线的交点在无穷远处理想点与无穷远点IR²是包含了那些在坐标齐次表示下x3!=0的点，当我们把x3=0的点与IR²集合起来，形成IP²，我们称IP²为射影空间。X3=0的点叫理想点,或无穷远点，无穷远点的集合是一条直线，即无穷远线。I=（0,0,1）表示无穷远线任意直线与无穷远线的交点都是(b,-a,0)，所以无穷远线可以看作是平面上所有直线方向的集合点和射影变换2D射影几何中点的非齐次表示(X,Y)，齐次表示(X,Y,1).ax+by+c=0,矢量(a,b,c).3D射影几何中点X用齐次表示时需要一个4维矢量，齐次矢量X=(x1,x2,x3,x4),对应非齐次坐标(X,Y,Z),当X=x1/x4,Y=x2/x4,Z=x3/x4。在x4=0时，齐次点X表示无穷远点。平面、直线和二次曲面的表示和变换直线公式：ax+by+c=0,矢量(a,b,c).平面公式：π1X+π2Y+π3Z+π4=0,矢量(π1,π2,π3,π4)’.齐次化,X=x1/x4,Y=x2/x4,Z=x3/x4.得到π1x1+π2x2+π3x3+π4x4=0或简记为π’X=0.表示点X在π上.联合与关联关系(1)平面可由一般位置的三个点或一条直线与一个点的联合来唯一确定(2)两张不同的平面交于唯一的直线(3)三张不同的平面相较于一点三点确定一张平面(1)设三点Xi在平面π上,那么每点满足π’X=0x1’π1’x2’π=0π2’x=0x3’π3’因为一般位置，所以它们线性无关(2)矩阵M=[X,X1,X2,X3],它由一般位置的点X和确定平面π的三点Xi组成.当X在π上时，IMI=0因为三点确定一个平面，再多一点，肯定可以用X1,X2,X3线性表示，所以不是满秩的。IMI=X1D234-X2D134+X3D124-X4D123π=(D234,D134,D124,D123)是(1)的解矢量,零空间射影变换在点变换X’=HX下，平面变换为π‘=H’‘‘π平面上的点的参数表示在平面π上的点X可以写成X=Mx其中M是4*3矩阵，设平面π=(a,b,c,d)’且a非零，那么M’可以写成M‘=[PII3*3]，其中p=(-b/a,-c/a,-d/a)’直线的表示两点的连线或两平面的相交定义一条直线，每个交点由两个参数确定，两个交点有四个参数，故有四个自由度.问题，4个自由度得5个变量表示。(1)零空间与生成子空间表示(2)Plucker矩阵将一条直线由4*4的反对称齐次矩阵表示，连接两点A,B的直线L的矢量表示：L=AB’-BA’L有若干如下性质：1、L的秩为22、该表示具有描述一条直线所需要的4个自由度，6-23、矩阵L与用来确定它的点A,B无关,C=A+aB代替时,那么得到的矩阵是L’’=AC’-CA’=A(A’+aB’)-(A+aB)A’=AB’-BA’=L设A,B分别是原点和X-方向的理想点L=(0,0,0,1)’(1,0,0,0)-(1,0,0,0)’(0,0,0,1)=4行4列的矩阵反对称矩阵，左下角1由两平面P,Q的交线确定的直线的对偶Plucker表示为L*=PQ’-QP’并与L有相似的性质。在点变换下，L*’=H‘’‘L*H’‘,矩阵L*可由L通过简单的重写规则得到：l12:l13:l14:l23:l42:l34=l*34:l*42:l*23:l*14:l*13:l*12对偶的原则是1234的集合Plucker直线坐标(1)是Plucker反对乘矩阵的六个非零元素的集合，即l={l12,l13,l14,l23,l42,l34}l的行列式值为0，故有l12*l34+l13*l42+l14*l23=0(2)假定两条直线l1和l2分别由连接A,B和连接A1，B1所产生的，这些直线相交的充要条件是四点共面，所以行列式值为零,即IA,B,A1,B1I=0.二次曲面与对偶二次曲面X’QX=0，X是点，Q是4*4的对称矩阵。二次曲面的分类二次曲面的矩阵Q是对称的，它可以分解为Q=U’DU,U是正交矩阵，D是实对角矩阵，通过对U的缩放，可以得到Q=H’DH,则D等价于矩阵H进行了射影变换。令对角矩阵符号差∮(D),定义为D中+1与-1个数的差值。如表秩∮对角线方程实现44(1,1,1,1)X²+Y²+Z²+1=0无实点2(1,1,1,-1)X²+Y²+Z²=1球面0(1,1,-1,-1)X²+Y²=Z²+1单叶双曲面33(1,1,1,0)X²+Y²+Z²=0点(0,0,0,1)1(1,1,-1,0)X²+Y²=Z²过原点的圆锥22(1,1,0,0)X²+Y²=0单条直线(Z轴)0(1,-1,0,0)X²=Y²两平面X=+-Y11(1,0,0,0)X²=0平面X=0三次绕线变换的层次群矩阵失真变换性质射影h11h12h13仿射变换的推广h21h22h23h31h32h33仿射a11a12tx平移+旋转a21a22ty非均匀缩放001相似sr11sr12tx平移+旋转sr21sr22ty均匀缩放001欧式r11r12tx平移+旋转r21r22ty001变换的层次群矩阵失真不变性质射影At接触表面15dofv’v的相交和相切仿射At平面的平行12dof0’1体积比，形心相似sRt绝对二次曲线7dof0’1欧式Rt体积6dof0’1A是3*3的可逆矩阵，R是3D旋转，t是平移移动分解结论2.6任何具体的平移加旋转运动都等价于绕一根转动轴的旋转加沿该转动轴的平移00xyy’x’s3D欧式运动与转动分解转动轴aoo’stoo’ss’转动轴o垂直t平行无穷远平面(1)在平面射影几何中，辨认无穷远线就能测量平面的仿射性质，辨认其虚原点就能测量其度量性质：两张平面相平行的充要条件是他们的交线在π∞上如果一条直线与另一条直线或一张平面相交在π∞上，则他们平行(2)在射影变换H下，无穷远平面π∞是不动平面的充要条件是H是一个仿射变换（类似于P20无穷远线的推导）在放射变换下平面π∞是整个集合不动，而不是点点不动在某个具体的放射变换中，可能还存在除π∞外的某些平面保持不动，但仅有π∞在任何仿射变换下保持不变绝对二次曲线(1)绝对二次曲线是在π∞上的一条二次曲线，满足X1²+X2²+X3²=0X4²值得注意的是定义一条二次曲线需要定义两个方程可以写成(x1,x2,x3)I(x1,x2,x3)’=0形式绝对对偶二次曲线(1)绝对二次曲线的对偶是3维空间中一种退化的对偶二次曲面，从几何上说，绝对对偶二次曲线由对偶二次曲线的平面组成。想象一个椭球面的所有切平面的集合，然后把椭球面压成饼的情况。