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Gronwall不等式

Gronwall不等式Gronwall不等式及其应用1.引言众所周知,Gronwall不等式在分析的许多领域,例如常微分方程及积分方程,都有着重要的应用.本文将一维空间(即实数范围内)的Gronwall不等式推广到无穷维的有序Banach空间中去,然后给出它在常微分方程中的若干重要的应用.其中的一些定理是新给出的或对某些教科书中的定理给出新的证明.2.一个抽象的Gronwall不等式设P为Banach空间E中的一个锥，即P是E中的一个非空凸闭集，并满足：(i)xP,0xP(ii)xP,xPx给定E中的一个锥P后...

Gronwall不等式及其应用1.引言众所周知,Gronwall不等式在分析的许多领域,例如常微分方程及积分方程,都有着重要的应用.本文将一维空间(即实数范围内)的Gronwall不等式推广到无穷维的有序Banach空间中去,然后给出它在常微分方程中的若干重要的应用.其中的一些定理是新给出的或对某些教科书中的定理给出新的证明 .2.一个抽象的Gronwall不等式设P为Banach空间E中的一个锥，即P是E中的一个非空凸闭集，并满足：(i)xP,0xP(ii)xP,xPx给定E中的一个锥P后,则可在E中的元素间引入半序:xy(x,yE)yxP,则E按上述定义的半序""成为一个有序的Banach空间。又若存在常数N0,使当xy时,恒有xNy,则称锥P是正规的,而这里的正数N称为正规常数,为E中的零元素，有了上述概念之后,我们就可以将实数空间中的Gronwall不等式推广到无穷维有序的Banach空间上.定理2.1设P是实Banach空间E中的正规锥,N为正规常数,E按上述定义的半序""成为有序的Banach空间.设x(t)C([a,b],E),L(t)C([a,b],R1),(这里及以后假定Rn为n维实的欧几里得空间),ZE满足:x(t)ZtL(s)x(s)ds,atb(1.1)a则x(t)NZexpNtL(s)ds,atb(1.2)a当Z时，即由x(t)tL(s)x(s)ds,ta,b(1.3)a可得x(t),ta,b证明首先设Z，则由锥P正规及（1.1）得x(t)NZtL(s)x(s)dsaNZNtL(s)x(s)dsatb(1.4)a(i)证法1令(t)NZNtL(s)x(s)ds则(t)在[a,b]上可导，且(t)0,a(t)NL(t)x(t)NL(t)(t)t[a,b](t)NL(t)ta,b(t)(t)对上式从a到t[a,b]积分得lnNtL(t)ds(a)a(t)(a)exp{NtL(s)ds}aNZexp{NtL(s)ds}t[a,b]ax(t)(t)NZexp{NtL(s)ds}t[a,b]a当Z时，由（1.3）得x(t)NtL(s)x(s)dsa所以0有x(t)NtL(s)x(s)dst[a,b]a从而x(t)exp{NtL(s)ds}t[a,b]a而0exp{NtL(s)ds}a为任意小正数，故只能x(t)0,t[a,b]即x(t),t[a,b]证法2令(t)tL(s)x(s)ds所以(a)0a且有1(t)L(s)x(t)L(s)(NZNtL(s)x(s)ds)aNL(t)ZNL(t)(t)(t)NL(t)(t)NL(t)Z[(t)NL(t)(t)]expNtl(s)dsNL(t)ZexpNtl(s)dsaa(t)expNtL(s)dsNL(t)ZexpNtL(s)dsaa此不等式两边同时从a到t积分,得到(t)expNtL(s)ds(a)expNaL(s)dsaaNZtL(s)expNL(s)dsdaa1(t)expNtL(s)dsNZ()expNtL(s)ds1aNa(t)expNtL(s)dsZexpNtL(s)ds1aa(t)Z1expNtL(s)dsatx(t)NZNZ1expNL(s)ds得到aNZexpNtL(s)ds,atba(ii)当Z时,由上式得x(t)0,t[a,b]即x(t),t[a,b]在定理1.1中取ERn,则Px,x,x,...,xTx0,i1,2,...,n为Rn中的正规123ni锥(正规常数为1),Rn由P导出的半序成为有序的Banach空间,其中Rn的范数由下列之一给出xx,x,x,...,xTRn123n2nnxx2xxxmaxxiii1ini1i1则由定理1.1可得推论2.1设x(t),L(t)C[a,b],R1i1,2,......满足:存在常数ic(i1,2,3,...,n)使得i0x(t)ctL(s)x(s)dst[a,b]i1,2,3,......iiia则x(t)CexptL(s)dst[a,b]i1,2,3,......a其中x(t)x(t),x(t),,x(t)T,Cc,c,,cTRn,它们的范数为Rn中的范12n12n数。特别当c0,i1,2,...,n时，可得ix(t)0t[a,b]i1,2,3,......i若在推论1.1中,取n1,则得到一般教科书中所介绍的Gronwall不等式.推论2.2(Gronwall不等式)设x(t),L(t)C([a,b],R1),C0为常数满足0x(t)CtL(s)x(s)dst[a,b]a则t[a,b]有0x(t)CexptL(s)dsa特别当C0时,x(t)0,t[a,b]3.Gronwall不等式对常微分方程初值问题解的唯一性的应用定理3.1设E为实Banach空间,f(t,x):R1EE满足:存在R1上的非负的连续函数L(t),使(t,x),(t,y)R1E都有f(t,x)f(t,y)L(t)xy又设(t,x)R1E，则当初值问题00xf(t,x)(2.1)x(t)x00有连续可微的解时,解必唯一.3

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