新人教版高中数学必修第一册全套课时作业 必修1 第二章 方程与不等式

2．1　等式性质与不等式性质第1课时　不等关系与不等式学习目标　1.能用不等式(组) 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示实际问题中的不等关系.2.初步学会作差法、作商法比较两实数的大小．知识点一　基本事实两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a<b. 依据 如果a>b⇔a－b>0.如果a＝b⇔a－b＝0.如果a<b⇔a－b<0. 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小思考　x2＋1与2x两式都随x的变化而变化，其大小关系并不显而易见．你能想个办法，比较x2＋1与2x的大小吗？答案　作差：x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，所以x2＋1≥2x.知识点二　重要不等式∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．预习小测　自我检验1．大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量T满足关系________．答案　T≤40解析　“限重40吨”是不超过40吨的意思．2．设M＝x2，N＝2x－1则M与N的大小关系是________．答案　M≥N解析　因为M－N＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，所以M≥N.3．如果a>b，那么c－2a与c－2b中较大的是________．答案　c－2b解析　c－2a－(c－2b)＝2b－2a＝2(b－a)<0.4．已知a，b∈R，若ab＝1，则a2＋b2的最小值是________．答案　2一、用不等式(组)表示不等关系例1　《铁路旅行常识》规定：一、随同成人旅行，身高在1.2～1.5米的儿童享受半价客票(以下称儿童票)，超过1.5米的应买全价票，每一名成人旅客可免费带一名身高不足1.2米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票．……十、旅客免费携带物品的体积和重量是每件物品的外部长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米，杆状物品不得超过200厘米，重量不得超过20千克……设身高为h(米)，物品外部长、宽、高尺寸之和为P(厘米)，请用不等式表示下表中的不等关系. 文字表述 身高在1.2～1.5米 身高超过1.5米 身高不足1.2米 物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米 符号表示 解　由题意可获取以下主要信息：(1)身高用h(米)表示，物体长、宽、高尺寸之和为P(厘米)；(2)题中要求用不等式表示不等关系．解答本题应先理解题中所提供的不等关系，再用不等式表示．身高在1.2～1.5米可表示为1.2≤h≤1.5，身高超过1.5米可表示为h>1.5，身高不足1.2米可表示为h<1.2，物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米可表示为P≤160.如下表所示： 文字表述 身高在1.2～1.5米 身高超过1.5米 身高不足1.2米 物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米 符号表示 1.2≤h≤1.5 h>1.5 h<1.2 P≤160反思感悟(1)将不等关系表示成不等式(组)的思路①读懂题意，找准不等式所联系的量．②用适当的不等号连接．③多个不等关系用不等式组表示．(2)常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号语言 > < ≥ ≤跟踪训练1　某套试卷原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本．若把提价后试卷的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？解　提价后销售的总收入为x万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式x≥20(2.5≤x<6.5)．二、作差法比较大小例2　已知a，b均为正实数．试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．解　∵a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a3－a2b)＋(b3－ab2)＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)．当a＝b时，a－b＝0，a3＋b3＝a2b＋ab2；当a≠b时，(a－b)2>0，a＋b>0，a3＋b3>a2b＋ab2.综上所述，a3＋b3≥a2b＋ab2.延伸探究1．若a>0，b>0，a5＋b5与a3b2＋a2b3的大小关系又如何？解　(a5＋b5)－(a3b2＋a2b3)＝a5－a3b2＋b5－a2b3＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2)＝(a2－b2)(a3－b3)＝(a－b)2(a＋b)(a2＋ab＋b2)．∵a>0，b>0，∴(a－b)2≥0，a＋b>0，a2＋ab＋b2>0.∴a5＋b5≥a3b2＋a2b3.2．对于an＋bn，你能有一个更具一般性的猜想吗？解　若a>0，b>0，n>r，n，r∈N*，则an＋bn≥arbn－r＋an－rbr.反思感悟　比较两个实数的大小，可以求出它们的差的符号．作差法比较实数的大小的一般步骤是：作差→恒等变形→判断差的符号→下结论．作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方式的形式或一些易判断符号的因式积的形式．跟踪训练2　已知x<1，试比较x3－1与2x2－2x的大小．解　∵(x3－1)－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)，又∵2＋>0，x－1<0，∴(x－1)<0，∴x3－1<2x2－2x.重要不等式典例　已知a>0，求证：a＋≥2.证明　方法一　利用a2＋b2≥2ab.∵a>0，∴a＋＝()2＋2≥2·＝2.方法二　a＋－2＝()2＋2－2＝2≥0，∴a＋≥2.[素养提升]　由a＋构建重要不等式的形式，通过逻辑推理进行证明．1．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式表示就是(　　)A. B.C. D.答案　D解析　“不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，∴x≥95，y>380，z>45.2．完成一项装修工程，请木工需付工资每人500元，请瓦工需付工资每人400元，现有工人工资预算20000元，设木工x人，瓦工y人，则请工人需满足的关系式是(　　)A．5x＋4y<200 B．5x＋4y≥200C．5x＋4y＝200 D．5x＋4y≤200答案　D解析　由题意x，y满足的不等式关系为500x＋400y≤20000，即5x＋4y≤200.3．设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，则(　　)A．a>b B．a<bC．a≥b D．a≤b答案　C解析　a－b＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，所以a≥b.4．若x＝(a＋3)(a－5)，y＝(a＋2)(a－4)，则x与y的大小关系是________．答案　x<y解析　x－y＝(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7<0，所以x<y.5．某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆，y辆，写出满足上述所有不等关系的不等式组为________________．答案　解析　由题意得即1．知识清单：(1)实际问题，找不等关系，构建不等式(组)．(2)比较大小．(3)重要不等式．2．方法归纳：作差法．3．常见误区：实际问题中变量的实际意义．1．下列说法正确的是(　　)A．某人月收入x元不高于2000元可表示为“x<2000”B．小明的身高为x，小华的身高为y，则小明比小华矮可表示为“x>y”C．变量x不小于a可表示为“x≥a”D．变量y不超过a可表示为“y≥a”答案　C解析　对于A，x应满足x≤2000，故A错误；对于B，x，y应满足x<y，故B错误；C正确；对于D，y与a的关系可表示为“y≤a”，故D错误．2．在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5cm，人跑开的速度为每秒4m，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100m以外的安全区，导火索的长度x(cm)应满足的不等式为(　　)A．4×≥100 B．4×≤100C．4×>100 D．4×<100答案　C解析　导火索燃烧的时间秒，人在此时间内跑的路程为4×m．由题意可得4×>100.3．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(　　)A．M>N B．M＝NC．M<N D．与x有关答案　A解析　∵M－N＝x2＋x＋1＝2＋>0，∴M>N.4．若y1＝2x2－2x＋1，y2＝x2－4x－1，则y1与y2的大小关系是(　　)A．y1>y2 B．y1＝y2C．y1<y2 D．随x值变化而变化答案　A5．如图，在一个面积为200m2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长a大于宽b的4倍，则表示上述的不等关系正确的是(　　)A．a>4b B．(a＋4)(b＋4)＝200C. D.答案　C解析　由题意知a>4b，根据面积公式可以得到(a＋4)(b＋4)＝200，故选C.6．某次数学智力测验，共有20道题，答对一题得5分，答错一题得－2分，不答得零分．某同学有一道题未答，设这个学生至少答对x题，成绩才能不低于80分，列出其中的不等关系：________.(不用化简)答案　5x－2(19－x)≥80，x∈N*解析　这个学生至少答对x题，成绩才能不低于80分，即5x－2(19－x)≥80，x∈N*.7．某商品包装上标有重量500±1克，若用x表示商品的重量，则可用含绝对值的不等式表示该商品的重量的不等式为________．答案　|x－500|≤1解析　∵某商品包装上标有重量500±1克，若用x表示商品的重量，则－1≤x－500≤1，∴|x－500|≤1.8．若x∈R，则与的大小关系为________．答案　≤解析　∵－＝＝≤0.∴≤.9．已知a，b∈R，x＝a3－b，y＝a2b－a，试比较x与y的大小．解　因为x－y＝a3－b－a2b＋a＝a2(a－b)＋a－b＝(a－b)(a2＋1)，所以当a>b时，x－y>0，所以x>y；当a＝b时，x－y＝0，所以x＝y；当a<b时，x－y<0，所以x<y.10．已知甲、乙、丙三种食物的维生素A，B含量及成本如下表： 甲 乙 丙 维生素A(单位/kg) 600 700 400 维生素B(单位/kg) 800 400 500 成本(元/kg) 11 9 4若用甲、乙、丙三种食物各xkg、ykg、zkg配成100kg的混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B.试用x，y表示混合食物成本c元，并写出x，y所满足的不等关系．解　依题意得c＝11x＋9y＋4z，又x＋y＋z＝100，∴c＝400＋7x＋5y，由及z＝100－x－y，得∴x，y所满足的不等关系为11．已知0<a1<1,0<a2<1，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是(　　)A．M<N B．M>NC．M＝N D．无法确定答案　B解析　∵0<a1<1,0<a2<1，∴－1<a1－1<0，－1<a2－1<0，∴M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)>0，∴M>N，故选B.12．若0<a1<a2，0<b1<b2，且a1＋a2＝b1＋b2＝1，则下列代数式中值最大的是(　　)A．a1b1＋a2b2 B．a1a2＋b1b2C．a1b2＋a2b1 D.答案　A解析　令a1＝0.1，a2＝0.9；b1＝0.2，b2＝0.8.则A项a1b1＋a2b2＝0.74；B项，a1a2＋b1b2＝0.25；C项，a1b2＋a2b1＝0.26，故最大值为A.13．一个盒子中红、白、黑三种球分别为x个、y个、z个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的，白球与黑球的个数之和至少为55，则用不等式(组)将题中的不等关系表示为________．答案　(x，y，z∈N*)解析　由题意可得(x，y，z∈N*)．14．若a1<a2，b1<b2，则a1b1＋a2b2________a1b2＋a2b1.(填“>”“<”“＝”)答案　>解析　a1b1＋a2b2－(a1b2＋a2b1)＝a1(b1－b2)＋a2(b2－b1)＝(b1－b2)(a1－a2)，∵a1<a2，b1<b2，∴b1－b2<0，a1－a2<0，即(b1－b2)(a1－a2)>0，∴a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1.15．已知a，b，c为不全相等的实数，P＝a2＋b2＋c2＋3，Q＝2(a＋b＋c)，那么P与Q的大小关系是(　　)A．P>QB．P≥QC．P<QD．P≤Q答案　A解析　∵P－Q＝a2＋b2＋c2＋3－2(a＋b＋c)＝a2－2a＋1＋b2－2b＋1＋c2－2c＋1＝(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2≥0，又∵a，b，c为不全相等的实数，∴等号取不到，∴P>Q，故选A.16．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，试探究谁先到达教室？解　设寝室到教室的路程为s，步行速度为v1，跑步速度为v2，则甲用时t1＝＋，乙用时t2＝，t1－t2＝＋－＝s＝·s＝>0，∴甲用时多．∴乙先到达教室．第2课时　等式性质与不等式性质学习目标　1.了解等式的性质.2.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．知识点一　等式的基本性质(1)如果a＝b，那么b＝a.(2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c.(3)如果a＝b，那么a±c＝b±c.(4)如果a＝b，那么ac＝bc.(5)如果a＝b，c≠0，那么＝.知识点二　不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 ⇒ac>bc c的符号 ⇒ac<bc 5 同向可加性 ⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 ⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正1．若a>b，则a－c>b－c.(　√　)2.>1⇒a>b.(　×　)3．a>b⇔a＋c>b＋c.(　√　)4.⇔a＋c>b＋d.(　×　)一、利用不等式的性质判断或证明例1　(1)给出下列命题：①若ab>0，a>b，则<；②若a>b，c>d，则a－c>b－d；③对于正数a，b，m，若a<b，则<.其中真命题的序号是________．答案　①③解析　对于①，若ab>0，则>0，又a>b，所以>，所以<，所以①正确；对于②，若a＝7，b＝6，c＝0，d＝－10，则7－0<6－(－10)，②错误；对于③，对于正数a，b，m，若a<b，则am<bm，所以am＋ab<bm＋ab，所以0<a(b＋m)<b(a＋m)，又>0，所以<，③正确．综上，真命题的序号是①③.(2)已知a>b>0，c<d<0.求证：<.证明　因为c<d<0，所以－c>－d>0.所以0<－<－.又因为a>b>0，所以－>－>0.所以>，即－>－，两边同乘－1，得<.反思感悟　(1)首先要注意不等式成立的条件，在解决选择题时，可利用特值法进行排除，注意取值时一是满足题设条件，二是取值简单，便于计算．(2)应用不等式的性质证明时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，不可省略条件或跳步推导．跟踪训练1　若<<0，有下面四个不等式：①|a|>|b|，②a<b，③a＋b<ab，④a3>b3.则不正确的不等式的个数是(　　)A．0B．1C．2D．3答案　C解析　由<<0可得b<a<0，从而|a|<|b|，①②均不正确；a＋b<0，ab>0，则a＋b<ab成立，③正确；a3>b3，④正确．故不正确的不等式的个数为2.二、利用性质比较大小例2　若P＝＋，Q＝＋(a>－5)，则P，Q的大小关系为(　　)A．P<Q B．P＝QC．P>Q D．不能确定答案　C解析　P2＝2a＋13＋2，Q2＝2a＋13＋2，因为(a＋6)(a＋7)－(a＋5)(a＋8)＝a2＋13a＋42－(a2＋13a＋40)＝2>0，所以>，所以P2>Q2，所以P>Q.反思感悟　比较大小的两种方法 作商比较法 乘方比较法 依据 a>0，b>0，且>1⇒a>b；a>0，b>0，且<1⇒a<b a2>b2且a>0，b>0⇒a>b 应用范围 同号两数比较大小或指数式之间比较大小 要比较的两数(式)中有根号 步骤 ①作商②变形③判断商值与1的大小④下结论 ①乘方②用作差比较法或作商比较法跟踪训练2　下列命题中一定正确的是(　　)A．若a>b，且>，则a>0，b<0B．若a>b，b≠0，则>1C．若a>b，且a＋c>b＋d，则c>dD．若a>b，且ac>bd，则c>d答案　A解析　对于A，∵>，∴>0，又a>b，∴b－a<0，∴ab<0，∴a>0，b<0，故A正确；对于B，当a>0，b<0时，有<1，故B错；对于C，当a＝10，b＝2时，有10＋1>2＋3，但1<3，故C错；对于D，当a＝－1，b＝－2时，有(－1)×(－1)>(－2)×3，但－1<3，故D错．三、利用不等式的性质求范围例3　已知12<a<60,15<b<36.求a－b和的取值范围．解　∵15<b<36，∴－36<－b<－15，∴12－36<a－b<60－15，即－24<a－b<45.又<<，∴<<，即<<4.故－24<a－b<45，<<4.延伸探究已知1≤a－b≤2且2≤a＋b≤4，求4a－2b的取值范围．解　令a＋b＝μ，a－b＝ν，则2≤μ≤4,1≤ν≤2.由解得∴4a－2b＝4·－2·＝2μ＋2ν－μ＋ν＝μ＋3ν.而2≤μ≤4,3≤3ν≤6，则5≤μ＋3ν≤10，∴5≤4a－2b≤10.反思感悟　同向不等式是有可加性与可乘性(需同正)，但不能相减或相除，应用时要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性．跟踪训练3　已知0<a＋b<2，－1<b－a<1，则2a－b的取值范围是____________．答案　－<2a－b<解析　因为0<a＋b<2，－1<－a＋b<1，且2a－b＝(a＋b)－(－a＋b)，结合不等式的性质可得，－<2a－b<.1．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是(　　)A．a>b>－b>－a B．a>－b>－a>bC．a>－b>b>－a D．a>b>－a>－b答案　C解析　由a＋b>0知，a>－b，∴－a<b<0.又b<0，∴－b>0，∴a>－b>b>－a.2．已知a，b，c∈R，则下列命题正确的是(　　)A．a>b⇒ac2>bc2 B.>⇒a>bC.⇒> D.⇒>答案　C解析　当c＝0时，A不成立；当c<0时，B不成立；当ab<0时，a>b⇒<，即>，C成立．同理可证D不成立．3．若a>b>0，c<d<0，则一定有(　　)A.> B.<C.> D.<答案　B解析　因为c<d<0，所以－c>－d>0，即>>0.又a>b>0，所以>，从而有<.4．若a>b>c，则下列不等式成立的是(　　)A.> B.<C．ac>bc D．ac<bc答案　B解析　∵a>b>c，∴a－c>b－c>0，∴<，故选B.5．若α，β满足－<α<β<，则α－β的取值范围是________．答案　－1<α－β<0解析　∵－<α<，－<－β<，∴－1<α－β<1.又α<β，∴α－β<0，∴－1<α－β<0.1．知识清单：(1)等式的性质．(2)不等式的性质及其应用．2．方法归纳：作商比较法，乘方比较法．3．常见误区：注意不等式性质的单向性或双向性，即每条性质是否具有可逆性．1．如果a<0，b>0，那么下列不等式中正确的是(　　)A.< B.<C．a2<b2 D．|a|>|b|答案　A解析　∵a<0，b>0，∴<0，>0，∴<，故选A.2．若a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式一定成立的是(　　)A．a＋c≥b－c B．ac>bcC.>0 D．(a－b)c2≥0答案　D解析　∵a>b，∴a－b>0，∴(a－b)c2≥0，故选D.3．已知a>b>c，则＋的值是(　　)A．正数 B．负数C．非正数 D．非负数答案　A解析　＋＝＝，∵a>b>c，∴b－c>0，c－a<0，b－a<0，∴＋>0，故选A.4．若x>1>y，下列不等式不一定成立的是(　　)A．x－y>1－y B．x－1>y－1C．x－1>1－y D．1－x>y－x答案　C解析　利用性质可得A，B，D均正确，故选C.5．已知a<0，b<－1，则下列不等式成立的是(　　)A．a>> B.>>aC.>a> D.>>a答案　D解析　∵a<0，b<－1，∴>0，b2>1，∴0<<1，∴0>>，∴>>a.6．不等式a>b和>同时成立的条件是________．答案　a>0>b解析　若a，b同号，则a>b⇒<.7．给出下列命题：①a>b⇒ac2>bc2；②a>|b|⇒a2>b2；③a>b⇒a3>b3；④|a|>b⇒a2>b2.其中正确命题的序号是________．答案　②③解析　①当c2＝0时不成立；②一定成立；③当a>b时，a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b)·>0成立；④当b<0时，不一定成立．如：|2|>－3，但22<(－3)2.8．设a>b>c>0，x＝，y＝，z＝，则x，y，z的大小顺序是________．答案　z>y>x解析　∵a>b>c>0，y2－x2＝b2＋(c＋a)2－a2－(b＋c)2＝2ac－2bc＝2c(a－b)>0，∴y2>x2，即y>x.同理可得z>y，故z>y>x.9．判断下列各命题的真假，并说明理由．(1)若a<b，c<0，则<；(2)<，则a>b；(3)若a>b，且k∈N*，则ak>bk；(4)若a>b，b>c，则a－b>b－c.解　(1)假命题．∵a<b，不一定有ab>0，∴>不一定成立，∴推不出<，∴是假命题．(2)假命题．当c>0时，c－3>0，则a<b，∴是假命题．(3)假命题．当a＝1，b＝－2，k＝2时，显然命题不成立，∴是假命题．(4)假命题．当a＝2，b＝0，c＝－3时，满足a>b，b>c这两个条件，但是a－b＝2<b－c＝3，∴是假命题．10．若－1<a＋b<3,2<a－b<4，求2a＋3b的取值范围．解　设2a＋3b＝x(a＋b)＋y(a－b)，则解得因为－<(a＋b)<，－2<－(a－b)<－1，所以－<(a＋b)－(a－b)<，所以－<2a＋3b<.11．下列命题正确的是(　　)A．若ac>bc，则a>b B．若a2>b2，则a>bC．若>，则a<b D．若<，则a<b答案　D解析　对于A，若c<0，其不成立；对于B，若a，b均小于0或a<0，其不成立；对于C，若a>0，b<0，其不成立；对于D，其中a≥0，b>0，平方后显然有a<b.12．已知x>y>z，x＋y＋z＝0，则下列不等式中一定成立的是(　　)A．xy>yz B．xz>yzC．xy>xz D．x|y|>z|y|答案　C解析　因为x>y>z，x＋y＋z＝0，所以3x>x＋y＋z＝0,3z<x＋y＋z＝0，所以x>0，z<0.所以由可得xy>xz.13．若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是(　　)A.< B．a2>b2C.> D．a|c|>b|c|答案　C解析　对于A，若a>0>b，则>0，<0，此时>，∴A不成立；对于B，若a＝1，b＝－2，则a2<b2，∴B不成立；对于C，∵c2＋1≥1，且a>b，∴>恒成立，∴C成立；对于D，当c＝0时，a|c|＝b|c|，∴D不成立．14．有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是a，b，c，d，已知a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，a＋c<b，则这四个小球由重到轻的排列顺序是(　　)A．d>b>a>c B．b>c>d>aC．d>b>c>a D．c>a>d>b答案　A解析　∵a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，∴a＋d＋(a＋b)>b＋c＋(c＋d)，即a>c.∴b<d.又a＋c<b，∴a<b.综上可得，d>b>a>c.15．若x>0，y>0，M＝，N＝＋，则M，N的大小关系是(　　)A．M＝N B．M<NC．M≤N D．M>N答案　B解析　∵x>0，y>0，∴x＋y＋1>1＋x>0,1＋x＋y>1＋y>0，∴<，<，故M＝＝＋<＋＝N，即M<N.16．若a>b>0，c<d<0，e<0，求证：>.证明　∵c<d<0，∴－c>－d>0.又a>b>0，∴a－c>b－d>0，则(a－c)2>(b－d)2>0，即<.又e<0，∴>.2．2　基本不等式第1课时　基本不等式学习目标　1.掌握基本不等式及推导过程.2.能熟练运用基本不等式比较两实数的大小.3.能初步运用基本不等式进行证明和求最值．知识点　基本不等式1．如果a>0，b>0，≤，当且仅当a＝b时，等号成立．其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．2．变形：ab≤2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立．a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立．1．对于任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab.(　√　)2．n∈N*时，n＋>2.(　√　)3．x≠0时，x＋≥2.(　×　)4．若a>0，则a3＋的最小值为2.(　×　)一、利用基本不等式比较大小例1　某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x(a，b，x均大于零)，则(　　)A．x＝ B．x≤C．x> D．x≥考点　基本不等式比较大小题点　利用基本不等式比较大小答案　B解析　第二年产量为A＋A·a＝A(1＋a)，第三年产量为A(1＋a)＋A(1＋a)·b＝A(1＋a)(1＋b)．若平均增长率为x，则第三年产量为A(1＋x)2.依题意有A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，∵a>0，b>0，x>0，∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)≤2，∴1＋x≤＝1＋，∴x≤.反思感悟　基本不等式≥一端为和，一端为积，使用基本不等式比较大小要善于利用这个桥梁化和为积或者化积为和．跟踪训练1　若0<a<1,0<b<1，且a≠b，试找出a＋b，a2＋b2，2，2ab中的最大者．解　∵0<a<1,0<b<1，且a≠b，∴a＋b>2，a2＋b2>2ab，∴四个数中最大的应从a＋b，a2＋b2中选择．而a2＋b2－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)，∵0<a<1,0<b<1，∴a(a－1)<0，b(b－1)<0，∴a2＋b2－(a＋b)<0，即a2＋b2<a＋b，∴a＋b最大．二、利用基本不等式直接求最值例2　(1)当x>0时，求＋4x的最小值；(2)当x<0时，求＋4x的最大值；(3)当x>1时，求2x＋的最小值；(4)已知4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，求a的值．解　(1)∵x>0，∴>0,4x>0.∴＋4x≥2＝8.当且仅当＝4x，即x＝时取最小值8，∴当x>0时，＋4x的最小值为8.(2)∵x<0，∴－x>0.则＋(－4x)≥2＝8，当且仅当＝－4x时，即x＝－时取等号．∴＋4x≤－8.∴当x<0时，＋4x的最大值为－8.(3)2x＋＝2＋2，∵x>1，∴x－1>0，∴2x＋≥2×2＋2＝10，当且仅当x－1＝，即x＝3时，取等号．(4)4x＋≥2＝4，当且仅当4x＝，即a＝4x2＝36时取等号，∴a＝36.反思感悟　在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备．跟踪训练2　已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)·(1＋y)的最大值为(　　)A．16B．25C．9D．36答案　B解析　因为x>0，y>0，且x＋y＝8，所以(1＋x)(1＋y)＝1＋x＋y＋xy＝9＋xy≤9＋2＝9＋42＝25，因此当且仅当x＝y＝4时，(1＋x)·(1＋y)取最大值25.三、用基本不等式证明不等式例3　已知a，b，c都是正数，求证：a＋b＋c－－－≥0.证明　∵a，b，c都是正数，∴a＋b≥2，b＋c≥2，a＋c≥2，∴a＋b＋b＋c＋a＋c≥2(＋＋)，∴a＋b＋c≥＋＋，即a＋b＋c－－－≥0.反思感悟　利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．(2)注意事项：①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用．跟踪训练3　若实数a<0，求证：a＋≤－2，并指出等号成立的条件．证明　根据题意，a<0，则－a>0，左式＝a＋＝－，又由(－a)＋≥2＝2，则有a＋≤－2，当且仅当a＝－1时，等号成立．故a＋≤－2，当且仅当a＝－1时，等号成立．1．若0<a<b，则下列不等式一定成立的是(　　)A．a>>>b B．b>>>aC．b>>>a D．b>a>>考点　基本不等式的理解题点　基本不等式的理解答案　C解析　∵0<a<b，∴2b>a＋b，∴b>>.又∵b>a>0，∴ab>a2，∴>a.故b>>>a.2．下列不等式正确的是(　　)A．a＋≥2 B．(－a)＋≤－2C．a2＋≥2 D．(－a)2＋2≤－2答案　C解析　∵a2>0，故a2＋≥2成立．3．下列等式中最小值为4的是(　　)A．y＝x＋ B．y＝2t＋C．y＝4t＋(t>0) D．y＝t＋答案　C解析　A中x＝－1时，y＝－5<4，B中t＝－1时，y＝－3<4，C中y＝4t＋≥2＝4，当且仅当t＝时等号成立，D中t＝－1时，y＝－2<4.故选C.4．下列不等式中，正确的是(　　)A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4abC.≥ D．x2＋≥2答案　D解析　a<0，则a＋≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，则a2＋b2<4ab，故B错；a＝4，b＝16，则<，故C错；由基本不等式可知D项正确．5．已知x>－1，则的最小值为________．答案　16解析　＝＝＝(x＋1)＋＋10，∵x>－1，∴x＋1>0，∴(x＋1)＋＋10≥2＋10＝16.当且仅当x＋1＝，即x＝2时，等号成立．1．知识清单：两个不等式：a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，≥(a，b都是正数)．2．方法归纳：通过拆项、加项配凑成基本不等式的形式．3．常见误区：一正、二定、三相等，常缺少条件导致错误．1．给出下列条件：①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0；④a<0，b<0.其中可使＋≥2成立的个数是(　　)A．1B．2C．3D．4答案　C解析　根据基本不等式的条件，a，b同号，则>0，故选C.2．a，b∈R，则a2＋b2与2|ab|的大小关系是(　　)A．a2＋b2≥2|ab| B．a2＋b2＝2|ab|C．a2＋b2≤2|ab| D．a2＋b2>2|ab|答案　A解析　∵a2＋b2－2|ab|＝(|a|－|b|)2≥0，∴a2＋b2≥2|ab|(当且仅当|a|＝|b|时，等号成立)．3．若a，b∈R且ab>0，则下列不等式中恒成立的是(　　)A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2C.＋> D.＋≥2答案　D解析　∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A错误；对于B，C，当a<0，b<0时，显然错误；对于D，∵ab>0，∴＋≥2＝2，当且仅当a＝b＝1时，等号成立．4．若0<a<b且a＋b＝1，则下列四个数中最大的是(　　)A. B．a2＋b2C．2ab D．a答案　B解析　a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥(a＋b)2－2·2＝.a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab.∵0<a<b且a＋b＝1，∴a<.∴a2＋b2最大．5．已知a>0，b>0，且ab＝2，那么(　　)A．a＋b≥4 B．a＋b≤4C．a2＋b2≥4 D．a2＋b2≤4答案　C解析　∵a>0，b>0，∴a＋b≥2＝2，故A，B均错误．a2＋b2≥2ab＝4，故选C.6．已知a>b>c，则与的大小关系是____________________．答案　≤解析　因为a>b>c，所以a－b>0，b－c>0，所以＝≥，当且仅当a－b＝b－c时，等号成立．7．设a，b为非零实数，给出下列不等式：①≥ab；②≥2；③≥；④＋≥2.其中恒成立的是________．(填序号)答案　①②解析　由重要不等式a2＋b2≥2ab，可知①正确；＝＝≥＝＝2，可知②正确；当a＝b＝－1时，不等式的左边为＝－1，右边为＝－，可知③不正确；当a＝1，b＝－1时，可知④不正确．8．设a>0，b>0，给出下列不等式：①a2＋1>a； ②≥4；③(a＋b)≥4； ④a2＋9>6a.其中恒成立的是________．(填序号)答案　①②③解析　由于a2＋1－a＝2＋>0，故①恒成立；由于＝ab＋＋＋≥2＋2＝4.当且仅当即a＝b＝1时，“＝”成立，故②恒成立；由于(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4.当且仅当＝，即a＝b时，“＝”成立，故③恒成立；当a＝3时，a2＋9＝6a，故④不恒成立．综上，恒成立的是①②③.9．设a>0，b>0，且a＋b＝＋，证明：a＋b≥2.证明　由于a>0，b>0，则a＋b＝＋＝，由于a＋b>0，则ab＝1，即有a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b＝1时取得等号，∴a＋b≥2.10．(1)设0<x<，求4x(3－2x)的最大值；(2)已知a>b>c，求(a－c)的最小值．解　(1)∵0<x<，∴3－2x>0，∴4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22＝.当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立．∵0<<，∴4x(3－2x)的最大值为.(2)(a－c)＝(a－b＋b－c)＝1＋1＋＋.∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，∴2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时取等号，∴(a－c)的最小值为4.11．若xy是正数，则2＋2的最小值是(　　)A．3B.C．4D.答案　C解析　2＋2＝x2＋＋＋y2＋＋＝＋＋≥1＋1＋2＝4，当且仅当x＝y＝或x＝y＝－时取等号．12．已知a>0，b>0，则下列不等式中不成立的是(　　)A．a＋b＋≥2 B．(a＋b)≥4C.≥2 D.>答案　D解析　a＋b＋≥2＋≥2，当且仅当a＝b＝时，等号成立，A成立；(a＋b)≥2·2＝4，当且仅当a＝b时，等号成立，B成立；∵a2＋b2≥2ab>0，∴≥2，当且仅当a＝b时，等号成立，C成立；∵a＋b≥2，a>0，b>0，∴≤1，≤，当且仅当a＝b时，等号成立，D不成立．13.(x>1)的最小值为________．答案　2＋2解析　令x－1＝t，则x＝1＋t且t>0，∴＝＝＝t＋＋2≥2＋2.当且仅当t＝，即t＝，x＝＋1时，等号成立．14．已知x>0，y>0,2x＋3y＝6，则xy的最大值为________．答案　解析　因为x>0，y>0,2x＋3y＝6，所以xy＝(2x·3y)≤·2＝·2＝.当且仅当2x＝3y，即x＝，y＝1时，xy取到最大值.15．若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式恒成立的是________．(写出编号)①ab≤1；②＋≤；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；⑤＋≥2.答案　①③⑤解析　∵a>0，b>0，a＋b＝2，∴ab≤2＝1，∴①恒成立；当a＝b＝1时，＋＝2>，故②不恒成立；a2＋b2≥＝2，∴③恒成立；当a＝b＝1时，a3＋b3＝2<3，∴④不恒成立；＋＝(a＋b)＝≥2，∴⑤恒成立．故填①③⑤.16．若0<x<，求x的最大值．解　由x＝＝＝≤·＝，当且仅当4x2＝1－4x2，即x2＝，x＝时取“＝”，故x的最大值为.第2课时　基本不等式的应用学习目标　1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．知识点　用基本不等式求最值用基本不等式≥求最值应注意：(1)x，y是正数；(2)①如果xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2；②如果x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.(3)讨论等号成立的条件是否满足．预习小测　自我检验1．已知0<x<，则y＝x(1－2x)的最大值为________．答案　解析　y＝x(1－2x)＝·2x·(1－2x)≤2＝，当且仅当2x＝1－2x，即x＝时取“＝”．2．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________.答案　20解析　总运费与总存储费用之和y＝4x＋×4＝4x＋≥2＝160，当且仅当4x＝，即x＝20时取等号．3．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则该公司每台机器年平均利润的最大值是________万元．答案　8解析　年平均利润＝－x＋18－＝－＋18≤－2＋18＝－10＋18＝8，当且仅当x＝5时取“＝”．4．已知x>2，则x＋的最小值为________．答案　6解析　x＋＝x－2＋＋2，∵x－2>0，∴x－2＋＋2≥2＋2＝4＋2＝6.当且仅当x－2＝，即x＝4时取“＝”．一、利用基本不等式变形求最值例1　已