清华大学数学分析真题参考答案

清华大学数学分析真题参考答案清华大学2006数学分析真题参考答案1．若数列{x}满足条件xxxxxxM则称{x}为有界变nnn1n1n221n差数列，证：令y0，yxxxxxx（n=2,3,….）那么{y}1nnn1n1n221n单调递增，由条件知{y}有界，{y}收敛，从而0,N0，使当nmN时，nn有yy，此即：xxxxxx，而nmnn1n1n2m1m1xxxxxxxx，由柯西准则{x}收敛。nmnn1n1n2m1mn2．...

清华大学2006数学分析真题参考答案 1．若数列{x}满足条件xxxxxxM则称{x}为有界变nnn1n1n221n差数列，证：令y0，yxxxxxx（n=2,3,….）那么{y}1nnn1n1n221n单调递增，由条件知{y}有界，{y}收敛，从而0,N0，使当nmN时，nn有yy，此即：xxxxxx，而nmnn1n1n2m1m1xxxxxxxx，由柯西准则{x}收敛。nmnn1n1n2m1mn2．证：（反证法）（1）若存在x,x,xI，且xxx使得f(x)f(x)f(x)，考虑f(x)和1231231231f(x)。3(i)若f(x)f(x)f(x)，由于f(x)在[x,x]上连续，由介值定理，必存在13212x[x,x]，使f(x)f(x)，定与一一映射矛盾。41243(ii)f(x)f(x)f(x)，这时考虑[x,x]，必存在x[x,x]使得31223523f(x)f(x)，也得到矛盾。51(2)若存在x,x,xI且xxx，f(x)f(x)f(x)。由介值定理，存在123123123x[x,x]，x[x,x]，使得f(x)f(x)，也与一一映射矛盾。41252342f(x)在I必严格单调。3．证：设f(x)在(a,b)内两个不同实根为xx，即f(x)f(x)0。1212由罗尔定理，存在c(x,x)，使f(c)0（1）12因为f(x)0，从而为f(x)极小值点，由费马定理f(x)f(x)0（2）12由（1），（2）对f(x)在[x,c]和[c,x]用罗尔定理，则存在x(x,c),x(c,x),123144使f(x)f(x)0。再一次对f(x)在[x,x]上应用罗尔定理，3434[x,x](a,b)，使f(3)()0。344．证：令t=a+b-x,则bf(x)dxbf(abt)dtbf(abx)dx。对a，aaa6b用前一部分结果，有原式3sin2x13113121313dxdx[]dxlnln2x(2x)26x(2x)26x2x22x665．解：令xn，yn1，则e 函数 f(x)(x0)，f(x)当xe时，f(x)0，从而xx2lnxlnyexy时，f(x)f(y)则xy()xy()(exy)xy从而eylnxexlny即当exy时，xyyx，n8时enn1(n)n1(n1)n6．证：由条件limf(x)0，对任给的0，存在A0，使当xA时，f(x)，x故对一切tA，有1111(tA)0tf(x)dxAf(x)dxtf(x)dxAf(x)dx于是对t0t0tAt0t10,0limf(x)dx，原式得证。xt17．证：x0时x2exydyxeAx[AxeAx]f(t)tet(t0)，最大值AA1e1f(1)，故0x2exydye1，supx2exydy0(A)AAx0A因此反常积分在x0上一致收敛。x2y2z218．证：在zu平面上，将圆 表示成参数就是zux1u2cosv(0v2)y1u2sinv则dsEaF2dudvdudvf(z)ds2dv1f(u)du21f(u)du011x2y2z219．本题只要证limf(x)a即可，令F(x)f(x)ex，G(x)exx则G(x)严格单调上升趋于(x)，G(x)0，应用推广Stolz定理F(x)F(x1)F(x)limf(x)limlimxxG(x)xG(x1)G(x)应用柯西中值定理limf(x)lim[f()f()]ax

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