泛函分析考试题

泛函分析考试题判断题：(1)设X是线性赋范空间，X中的单位球是列紧集，则X必为有限维。√(2)距离空间中的列紧集都是可分的。√(3)若范数满足平行四边形法则，范数可以诱导内积。×(4)任何一个Hilbert空间都有正交基。×(5)设X是线性赋范空间，T是XX的有界线性算子，若T既是单射又是满射，则T有逆算子。×(6)设X是线性赋范空间，若X与X同构，则X必是完备的。√(7)设X是Hilbert空间，T是线性算子，满足Tx,,,,yxTyxyX，则TLX。√(8)设MX是线性赋范闭子空间，若x0M，则一...

判断题：(1)设X是线性赋范空间，X中的单位球是列紧集，则X必为有限维。√(2)距离空间中的列紧集都是可分的。√(3)若范数满足平行四边形法则，范数可以诱导内积。×(4)任何一个Hilbert空间都有正交基。×(5)设X是线性赋范空间，T是XX的有界线性算子，若T既是单射又是满射，则T有逆算子。×(6)设X是线性赋范空间，若X与X同构，则X必是完备的。√(7)设X是Hilbert空间，T是线性算子，满足Tx,,,,yxTyxyX，则TLX。√(8)设MX是线性赋范闭子空间，若x0M，则一定存在fX，使fM0,fx0x0,f1。×(9)设X是Banach空间，T是X上线性算子，如果DT是X中的闭集且在X中稠密，则T有界。√2(10)设anl，定义l上的算子T为Tnann，则pTan。√1.设X是有限维赋范空间，试证：X上任意两个范数都是等价范数。证明：令，显然必存在有一个范数较强，不XXXX1,,,122妨假设存在一个M>0，使得xMx。取单位算子ILXX,，这时2112有IxMx，故I是有界线性算子，显然I是单射，满射，由逆算子定理21可知，I存在逆算子I1，且有界，因而I1xI1x，所以,等价。12122.设X是有限维赋范空间，试证：X中弱收敛等价于按范数收敛。证明：显然，在X中按范数收敛的序列一定是弱收敛。另一方面，取，使得w，即对于任意的使xnn1X,x0Xxnx0TX得limTxnTx0。假若TxnX，不按X的范数收敛，即存在TxnX中n的一个子列Tx使得，存在0，有TxTx。然而，在有限维空nk0nk00间中，由于弱收敛，进而有界，所以有TxTx，Xxnn1xnn1nn即TxnX为列紧集，故存在yX，使得ylimTxnTx0limTxn，这与nkkyTx00矛盾，所以假若TxnX按X的范数收敛。综述X中弱收敛等价于按范数收敛。23.定义l上的算子S为Sx1,x2,,xn,0,x1,x2,,xn,，试证S有左逆但无右逆。2证明：定义l上的算子H为Hx1,,,,,,,,x2xnx2x3xn，显然有HSxx1,,,,2xnHxx0,,,,,12xnxx1,,,,2xn，所以H为S的左逆算子。另一方面，假设S存在右逆算子T，使得ST=I（其中I为单位算子）。取2xl使得xx1,,,,x2xnxi0或1;i1,2,，显然x1，这时ISTsupSTxSTxSTI，矛盾。所以S没有右逆算子。4.设X，Y是Banach空间，TXY:是有界线性算子，满足1RTY；（2）存在m0，使得对任意xX有Txx，试证；T有有界逆T1，且1T1。m证明：由条件1可以知道T为满射。令kerTxTx0则有0Txmx，这时x=0，所以kerT={0}，从而T为单射。由逆映射定理可以T存在逆映射T1，1易求T1。m设是线性赋范空间，是中线性无关的序列，试证：存在5.Xxnn1X1nkfnX，使得fn1且fnxk。0nk证明：令XiLx1,,,,,,,x2xi1xi1xndixiXi。显然XXi，由Hanna-Banach定理可知：存在fiX，使得fi1,fiXi0,fixidi。fi1nk取fi，得fn1且fnxk。di0nk16.设t0a,b，定义Ca,b上的泛函为Ffft0，fmaxfx,fx。试证FC1a,b。xa,b证明：任取,;,,RfgC1ab，有Ffgfgt0ft0gt0FfFg且Fftf，所以1。0FCa,b7.若X是自反空间，弱收敛与弱收敛等价。证明：显然在中，弱收敛强于弱收敛。假设序列，Xfnn1X,fXw有fnf。这时，对于任意的xX，由于X是自反空间，存在wxxX，使得limxfnlimfnxfx，即fnf。从而弱收nn敛强于弱收敛。综上所述，弱收敛与弱收敛等价。

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