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标准偏差与相对标准偏差公式

标准偏差与相对标准偏差公式(1)标准偏差数学表达式:71—1S-标准偏差（％）n-试样总数或测量次数，一般n值不应少于20-30个i-物料中某成分的各次测量值，1〜n；标准偏差的使用方法六个计算标准偏差的公式[1]标准偏差的理论计算公式l。令测得值丨与该量n设对真值为X的某量进行一组等精度测量，其测得值为丨、丨、12真值X之差为真差占o,则有O=1-X1i我们定义标准偏差（也称标准差）o为lim.—匸仏-X*由于真值X都是不可知的，因此真差o占也就无法求得，故式只有理论意义而无实用价值。标准偏差o的常用估计一贝塞尔公式来代表真值。理论上也证...

(1) 标准偏差数学表达式:71—1S-标准偏差（％）n-试样总数或测量次数，一般n值不应少于20-30个i-物料中某成分的各次测量值，1〜n；标准偏差的使用方法六个计算标准偏差的公式 [1]标准偏差的理论计算公式l。令测得值丨与该量n设对真值为X的某量进行一组等精度测量，其测得值为丨、丨、12真值X之差为真差占o,则有O=1-X1i我们定义标准偏差（也称标准差）o为lim.—匸仏-X*由于真值X都是不可知的，因此真差o占也就无法求得，故式只有理论意义而无实用价值。标准偏差o的常用估计一贝塞尔公式来代表真值。理论上也证明，随着测量次数的增多，算由于真值是不可知的，在实际应用中，我们常用n次测量的算术平均值L(L=11-1■"1乩术平均值最接近真值，当:「•x时，算术平均值就是真值。于是我们用测得值I与算术平均值丄之差一一剩余误差(也叫残差)V来代替真差o，即ii设一组等精度测量值为1、丨、……I12n则'■■-L通过数学推导可得真差O与剩余误差V的关系为将上式代入式(1)有式(2)就是著名的贝塞尔公式(Bessel)。它用于有限次测量次数时标准偏差的计算。由于当“■X时，1-'，，；-：X,可见贝塞尔公式与O的定义式(1)是完全一致的。应该指出，在n有限时，用贝塞尔公式所得到的是标准偏差o的一个估计值。它不是总体标准偏差o。因此，我们称式(2)为标准偏差o的常用估计。为了强调这一点，我们将o的估计值用“S”表示。于是，将式(2)改写为在求S时，为免去求算术平均值人的麻烦，经数学推导(过程从略)有即可。标准偏差o的无偏估计数理统计中定义S?为样本方差数学上已经证明S2是总体方差02的无偏估计。即在大量重复试验中，S2围绕02散布，它们之间没有系统误差。而式(2')在n有限时,S并不是总体标准偏差o的无偏估计，也就是说S和o之间存在系统误差。概率统计告诉我们，对于服从正态分布的正态总体，总体标准偏差o的无偏估计值二为即s和S仅相差一个系数K,K是与样本个数测量次数有关的一个系数，K值见表。1aaa计算K时用到a「(n+1)二n「(n)「⑴=1ai血值n—a21购'1,042420L013260L0M331.12848；1.036225L0105701.003641.0854閱.1,031730801.00325=1.0638101.Q281邂L0064901丿002861.050915L0180501.0051100L0025由表1知，当n>30时，'乂-。因此，当n>30时，式(3')和式(2')之间的差异可略而不计。在n=30〜50时，最宜用贝塞尔公式求标准偏差。当n<10时，由于K值的a影响已不可忽略，宜用式(3')，求标准偏差。这时再用贝塞尔公式显然是不妥的。标准偏差的最大似然估计将O的定义式(1)中的真值X用算术平均值f.代替且当n有限时就得到式(4)适用于n>50时的情况，当n>50时,n和(nT)对计算结果的影响就很小了。标准偏差o的极差估计由于以上几个标准偏差的计算公式计算量较大，不宜现场采用，而极差估计的方法则有运算简便,计算量小宜于现场采用的特点。极差用"R"表示。所谓极差就是从正态总体中随机抽取的n个样本测得值中的最大值与最小值之差。若对某量作次等精度测量测得丨、山’…匚，且它们服从正态分布，则概率统计告诉我们用极差来估计总体标准偏差的计算公式为S称为标准偏差o的无偏极差估计，d为与样本个数n(测得值个数)有关的无偏极差系数,32其值见表2ftAdi1仏|L©21.414IJ280,8861203.73510.26831*32L6S30.591J\213m'.0*26542.0002.0590.4861220.262i；2.2362326ii>301芒3.8580-25962.4X)?7.534243.895•0,25772.6462.7&J1；仇370253,9310.25482■惨I2.8470,351■3014.G860245g::皿2.9700337354.2190.237103A623,0780:325404.3220.2311133173.17303154544150.2261214643.2580.307504.4980.222133.606:3J360.30010050250.199143.7423.4070,2942005.4950.182155,8733.4720.2884005,8820.17016J.0003.5320.283j5006.0610J65174.1233,5880,279TOO6,2890J5918194.24343593.6403.68902750.27110006.4940454由表2知，当nW15时YV；?,因此，标准偏差Q更粗略的估计值为还可以看出，当200WnW1000时，"二幻"因而又有显然,不需查表利用式(5')和(5")了即可对标准偏差值作出快速估计,用以对用贝塞尔公式及其他公式的计算结果进行校核。应指出，式⑸的准确度比用其他公式的准确度要低，但当5WnW15时，式(5)不仅大大提高了计算速度，而且还颇为准确。当n>10时，由于舍去数据信息较多，因此误差较大，为了提高准确度，这时应将测得值分成四个或五个一组，先求出各组的极差R、"厂‘’"气再由各组1极差求出极差平均值〃盘_+R?+…+Rk极差平均值"和总体标准偏差的关系为需指出，此时d大小要用每组的数据个数n而不是用数据总数N(=nK)去查表2。再则，分2组时一定要按测得值的先后顺序排列，不能打乱或颠倒。标准偏差a的平均误差估计平均误差的定义为恤旳+畑+…+阳(证明从略)从而有5E；_dK|玄*価_1)式(6)就是佩特斯公式。用该公式估计6值，由于\right|V\right|不需平方,故计算较为简便。但该式的准确度不如贝塞尔公式。该式使用条件与贝塞尔公式相似。标准偏差的应用实例[1]对标称值R=

um 的一块粗糙度样块进行检定，顺次测得以下15个a数据:和um,试求该样块R的平均值和标准偏差并判断其合格否。n解：1)先求平均值匚15x100L=160+~12151017一8一14I12|9I17I4-4-10I4|4|3=1.6UI2715x1Q01.6L8(/zm)2)再求标准偏差S若用无偏极差估计公式式(5)计算,首先将测得的,15个数据按原顺序分为三组,每组五个,见表3。表3—=0-43因每组为5个数据，按n=5由表2查得故S3=^-R=0.43x0.247=0.10621(fim)若按常用估计即贝塞尔公式式(2')，则11亍仏—L)2=0-0962{fim)若按无偏估计公式即式(3')计算，因n=15，由表1查得Ks=,则Si=K^s=1.018x0.0962=0.09793()若按最大似然估计公式即式(4')计算，则=(|jm)若按平均误差估计公式即式(6),则=1.2533x=0.1017()现在用式(5')对以上计算进行校核S?=~^盘=—x0.247=CJ.0637(/im)可见以上算得的s、s、s、s和s没有粗大误差。1234由以上计算结果可知<<<<即s 5）1B?_[IA1L#V"I相对谣差5）"=忑—代1CI0M卫P相对平均偏差fxloo%相对标准偏差=^><100%准确度：测定值与真实值符合的程度绝对误差：测量值（或多次测定的平均值）与真（实）值之差称为绝对误差，用&表示。相对误差：绝对误差与真值的比值称为相对误差。常用百分数表示。绝对误差可正可负，可以表明测量仪器的准确度，但不能反映误差在测量值中所占比例，相对误差反映测量误差在测量结果中所占的比例，衡量相对误差更有意义。例：用刻度0.5cm的尺测量长度，可以读准到0.1cm，该尺测量的绝对误差为0.1cm；用刻度1mm的尺测量长度，可以读准到0.1mm，该尺测量的绝对误差为0.1mm。例：分析天平称量误差为,减重法需称2次，可能的最大误差为,为使称量相对误差小于%，至少应称量多少样品？解：£=1z^kioo%=00002gxiaD% 0.2g答：称量样品量应不小于0.2g。真值（U）：真值是客观存在的，但任何测量都存在误差，故真值只能逼近而不可测知，实际工作中，往往用“标准值”代替“真值”。标准值：采用多种可靠的分析方法、由具有丰富经验的分析人员经过反复多次测定得出的结果平均值。精密度：几次平行测定结果相互接近的程度。各次测定结果越接近，精密度越高，用偏差衡量精密度。偏差：单次测量值与样本平均值之差：必二忌—兀平均偏差：各次测量偏差绝对值的平均值。相对平均偏差：平均偏差与平均值的比值。标准偏差：各次测量偏差的平方和平均值再开方，比平均偏差更灵敏的反映较大偏差的存在，在统计学上更有意义。相对标准偏差（变异系数）例：分析铁矿石中铁的质量分数，得到如下数据：，，，，（%），计算测结果的平均值、平均偏差、相对平均偏差、标准偏差、变异系数。解：7=37.34%各次测量的偏差分别是:0.11,-0.14,-0.04,0.16,-0.19^=（0.11+0.14+0.04+0.16+0.19）/5=0.13%C^100%=0.13/37.34=0.35%S=0.13%RSD=0.13X100%/37.34=0.娥准确度与精密度的关系：1）精密度是保证准确度的先决条件：精密度不符合要求，表示所测结果不可靠，失去衡量准确度的前提。2）精密度高不能保证准确度高。换言之，准确的实验一定是精密的，精密的实验不一定是准确的。重复性试验按拟定的含量测定方法，对同一批样品进行多次测定（平行试验至少5次以上，即n>5），计算相对标准偏差（RSD），—般要求低于5%

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