高等数学题库

高等 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 （专升本）-学习指南一、选择题22221．函数zlnxy24xy的定义域为【D】22222222A．xy2B．xy4C．xy2D．2xy42．设f(x)在xx0处间断，则有【D】A．f(x)在xx0处一定没有意义；limf(x)limf(x)B．f(x00)f(x0);(即)；xx0xx0C．limf(x)不存在，或limf(x)；xx0xx0D．若f(x)在xx0处有定义，则xx0时，f(x)f(x0)不是无穷小123n3．极限lim2222【B】nnnnn11A．B．C．1D．04224．设ytanx，则dy【A】A．2tanxsec2xdxB．2sinxcos2xdx22C．2secxtanxdxD．2cosxsinxdx25．函数y(x2)在区间[0,4]上极小值是【D】A．-1B．1C．2D．06．对于函数fx,y的每一个驻点x0,y0，令Afxxx0,y0，Bfxyx0,y0，Cfyyx0,y0，若2ACB0，则函数【C】A．有极大值B．有极小值C．没有极值D．不定7．多元函数fx,y在点x0,y0处关于y的偏导数fyx0,y0【C】fx0x,y0fx0,y0fx0x,y0yfx0,y0A．limB．limx0xx0xfx,yyfx,yfxx,yyfx,yC．lim0000D．lim0000y0yy0y8．向量a与向量b平行，则条件：其向量积ab0是【B】A．充分非必要条件B．充分且必要条件C．必要非充分条件D．既非充分又非必要条件9．向量a、b垂直，则条件：向量a、b的数量积ab0是【B】A．充分非必要条件B．充分且必要条件C．必要非充分条件D．既非充分又非必要条件10．已知向量a、b、c两两相互垂直，且a1，b2，c3，求abab【C】A．1B．2C．4D．811．下列函数中，不是基本初等函数的是【B】x12sinxA．yB．ylnxC．yD．y3x5ecosxxy212．二重极限24【D】limx0xyy01A．等于0B．等于1C．等于D．不存在213．无穷大量减去无穷小量是【D】A．无穷小量B．零C．常量D．未定式1cos2x14．lim2【C】x0sin3x121A．1B．C．D．399x15．设ye(sinxxcosx)，则y'【D】xxA．e(sinxxcosx)B．xesinxxxxC．e(cosxxsinx)D．e(sinxxcosx)xesinx16．直线L1上的一个方向向量s1m1,n1,p1，直线L2上的一个方向向量s1m2,n2,p2，若L1与L2平行，则【B】m1n1p1A．m1m2n1n2p1p21B．m2n2p2m1n1p1C．m1m2n1n2p1p20D．1m2n2p217．平面1上的一个方向向量n1A1,B1,C1，平面2上的一个方向向量n2A2,B2,C2，若1与2垂直，则【C】A1B1C1A．A1A2B1B2C1C21B．A2B2C2A1B1C1C．A1A2B1B2C1C20D．1A2B2C218．若无穷级数un收敛，而un发散，则称称无穷级数un【C】n1n1n1A．发散B．收敛C．条件收敛D．绝对收敛19．下面哪个是二次曲面中抛物柱面的表达式【A】222A．xayB．xay2222xyxyC．1D．1a2b2a2b220．设D是矩形：0xa,0yb，则dxdy【A】DA.abB.2abC.k(ab)D.kab21．设fxx1，则ffx1【D】A．xB．x1C．x2D．x3yzz22．利用变量替换ux,v，一定可以把方程xyz化为新的方程【A】xxyzzzzA．uzB．vzC．uzD．vzuvvux23．曲线ye2在点(0,1)处的切线斜率是【A】111A．B．eC．2D．222en224．lim【A】n3n111A．0B．C．D．432sinx25．lim【C】xxA．cosxB．tanxC．0D．126．已知向量m3,5,8，n2,4,7，p5,1,4，求向量a4m3pn在y轴上的投影及在z轴上的分量【A】A．27，51B．25，27C．25，51D．27，2527．向量a与x轴与y轴构成等角，与z轴夹角是前者的2倍，下面哪一个代表的是a的方向【C】A．，，B．，，224448C．，，D．，，4422228．已知向量a垂直于向量b2i3jk和ci2j3k，且满足于ai2j7k10，求a=【B】A．7i5jkB．7i+5j+kC．5i3jkD．5i+3j+k29．若无穷级数un收敛，且un收敛，则称称无穷级数un【D】n1n1n1A．发散B．收敛C．条件收敛D．绝对收敛30．设D是方形域：0x1,0y1，xyd【D】D111A.1B.C.D.234xea31．若fx，x0为无穷间断点，x1为可去间断点，则a【C】xx11A．1B．0C．eD．e32．设函数f(x),g(x)是大于零的可导函数，且f(x)g(x)f(x)g(x)0，则当axb时，有【A】A．f(x)g(b)f(b)g(x)B．f(x)g(a)f(a)g(x)C．f(x)g(x)f(b)g(b)D．f(x)g(x)f(a)g(a)233．函数函数yx35可能存在极值的点是【B】A．x5B．x0C．x1D．不存在34．yxtanx3secx，则y'【D】2A．tanx3secxtanxB．tanxxsecxC．xsec2x3secxtanxD．tanxxsec2x3secxtanx135．设yxsin，则dy【C】x111111A．(sincos)dxB．(cossin)dxxxxxxx111111C．(sincos)dxD．(cossin)dxxxxxxxxyy36．设直线与平面2x9y3z100平行，则k等于【A】3k4A.2B.6C.8D.10237．若f(x,y)2xy，则f'x(1,0)【A】A.4B.0C.2D.138．f'x(x,y)和f'y(x,y)在点(x0,y0)连续是f(x,y)在点(x0,y0)可微分的【A】A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.无关条件39．在xoy面上求一个垂直于向量a5,3,4，且与a等长的向量b=【D】27172515A．,,0B．,,01515171717271525C．,,0D．,,015151717dy340．微分方程xyx的通解是【B】dxx3cx3x3x3A.B.cxC.cD.cx4x224二、判断题1．y1,y2是齐次线性方程的解，则C1y1C2y2也是。（对）2．yfy,y（不显含有x），令yp，则yp。（错）bb3．对于无穷积分，有fxdxlimfxdx。（对）tt4．fx在x0的邻域内可导，且fx00，若：当xx0时，fx0；当xx0时，fx0。则x0为极小值点。（错）5．fx在a,b上连续，在a,b上有一阶导数、二阶导数，若对于xa,b,fx0,则fx在a,b上的图形是凸的。（对）6．二元函数z2x2y2的极大值点是0,0。（对）xdz7．设zarctanxy，其中ye，则1。（错）dx8．设V由0x1，0y1，0z1所确定，则dv1。（对）v9．函数zlnxlny的定义域是x,y|x0,y0。（对）xyzxy10．设zxe，则1xye。（对）x11．y1,y2是齐次线性方程的线性无关的特解，则C1y1C2y2是方程的通解。(对)dxxxdxdv12．齐次型微分方程，设v，则vy。(对)dyyydydybb13．对于瑕积分，有fxdxlimfxdx，其中a为瑕点。(对)atat14．fx在x0的邻域内可导，且fx00，若：当xx0时，fx0，当xx0时，fx0。则x0为极大值点。(错)yf(x)15．设在区间I上连续，x0是fx的内点，如果曲线yf(x)经过点x0,fx0时，曲线的凹凸性改变了，则称点x0,fx0为曲线的拐点。(对)16．设D是矩形区域x,y|0x1,0y3，则dxdy1（错）D17．若积分区域D是1x2y24，则dxdy3。（对）D2218．设V是由zxy，1z4所确定，函数fz在1,4上连续，那么fzdxdydze1。v4（对）vvvvvvv19．设不全为0的实数1，2，3使1a2b3c0，则三个向量a,b,c共面。（对）20．二元函数z6xx24yy2的极大值点是极大值f3,236。（对）**21．若yC1y1C2y2y为非齐次方程的通解，其中y1,y2为对应齐次方程的解，y为非齐次方程的特解。(错)b22．若函数fx在区间a,b上连续，则a,b，使得fxdxfba。(对)afx23．函数在x0点可导fx0fx0。(对)fx24．在x0处二阶可导，且fx00，fx00。若fx00，则x0为极大值点。(对)limfx25．若xa，则xa为一条水平渐近线。(错)22226．设表示域：xyz1，则zdv1。（错）x1xx27．微分方程yye的通解为yece。（对）2vvvvvvvvvvvvv28．设a3，b5，c4，且满足abc0，则abbcca6。（错）yz4x129．zlnx,则2。（对）2xx2xyx1x30．设D为O0,0，A1,0与B0,1为顶点三角形区域，fx,ydxdydxfx,ydy。（对）00D31．若*为非齐次方程的通解，其中为对应齐次方程的解，*为非齐次方yC1y1C2y2yy1,y2y程的解。（错）b32．若Fx为fx的一个原函数，则fxdxFbFa。（对）a33．函数可微可导，且dyfx0xfx0dx。（对）fx34．在x0处二阶可导，且fx00，fx00。若fx00，则x0为极小值点。（对）limfxb35．若x，则yb为一条铅直渐近线。（错）36．二元函数z3x2y2的最小值点是0,0。（对）37．微分方程yy2sinx的一个特解应具有的形式是axbsinxcxdcosx。（对）2zx38．设zxlnxy，则2（错）xyxyxx2x39．微分方程y2y2ye的通解为yabxecxe。（对）71440．设V由xyzk，0x1，0y1，z0所确定，且xdxdydz，则k。（对）v43三、填空题sinx2x0)1．若y2，则y(。x10x222．求yarcsinx的导数y。13．设yarctan，则dy。x4．设aik,b2i3jk,求ab。xx5．将函数f(x)2展开成的幂级数是。2xx1x2sin6．极限。limxx0sinx3x34x227．求lim32。x7x5x32x3x2sinx8．lim2。xxx2cosx9．设ABC的顶点为A(3,0,2),B(5,3,1),C(0,1,3)，求三角形的面积是。n1210．无穷级数(1)n(nn1)的和是。n022xaxba11．已知lim22，则_____，b_____。x2xx2x1x212．已知y，求y。x3x4213．(2cosxcscx)dx。14．求平行于z轴，且过点M11,0,1和M22,1,1的平面方程是。(n1)!15．无穷级数n1的收敛发散性是。n1ntanxsinx16．lim3。x0tan3x117．计算广义积分dx。1x2318．设yx(xcotx)cosx，则y'。119．幂级数(1)n1(1)x2n的收敛区间是。n1n(2n1)n12n1(1)x20．幂级数的收敛域是。n1n(2n1)四、解答题1．圆柱形罐头，高度H与半径R应怎样配，使同样容积下材料最省？IxyzdV2．求，其中V是由平面x0，y0，z0及xyz1所围成的区域。V22Ixyd22223．求，其中是圆环axyb。22Ixyd24．求二重积分，其中是由yx,x1,y0所围成的区域。335．求zxy3xy的极值。五、 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 题1．求证：当λ>1时，级数为一绝对收敛级数。2．求证级数：的和是1。123．求证：级数en发散。n1xy4．求证：lim不存在。x0y0xy5．求证方程在0与1之间至少有一个实根。高等数学（专升本）-学习指南答案一、选择题1．D解：z的定义域为：x2y2202x2y2422，故而选D。4xy02．D解：由基本定理知D正确。3．B解：有题意，设通项为：12n111原极限等价于：lim222limnnnnn22n24．A解：对原式关于x求导，并用导数乘以dx项即可，注意三角函数求导规则。dy22所以，2tanxsecx，即dy2tanxsecxdxdx5．D解：对y关于x求一阶导，并令其为0，得到2x20；解得x有驻点：x=2，代入原方程验证0为其极小值点。6．C解：由多元函数极值的性质得到C7．C解：由多元函数偏微分的基本定义得到C8．B解：由向量积的基本定义及计算性质得到B9．B解：由基本定义及概念得到B10．C解：因为向量a与b垂直，所以sina,b1，故而有：11．B22解：因为ylnx是由ylnu，ux复合组成的，所以它不是基本初等函数。12．D2xyklim2242解：xky与k相关，因此该极限不存在。y0xy1k13．D解：所谓的无穷大量，或者无穷小量只是指的是相对而言，变量的一种变化趋势，而非具体的值。所以，相对的无穷大量减去相对的无穷小量没有实际意义，是个未定式。14．C解：根据原式有：15．D解：对原式直接求导，注意乘积项的求导即可。16．B由两直线平行的的判定性质直接可以得到B17．C解：由平面垂直的基本性质得到C18．C解：由无穷级数收敛的定义得到A19．A解：由抛物柱面的基本定义得到A20．A解：关于单位1对于一个矩形区域进行二重积分就是计算矩形区域的面积。由题意知：0xa,0yb，则：dxdya0b0abD21．D解：由于f(x)x1，得f(f(x)1)(f(x)1)1＝f(x)2将f(x)x1代入，得f(f(x)1)=(x1)2x322．Ayy解：z是x，y的函数，从ux，v可得xu，yuv，故z是u，v的函数，又因为ux，v。xxzzzyzzz1所以z是x,y的复合函数，故12，0，从而xuvxyuvxzzzyzyzzz左边=xyxxuxyuxvxvuuz因此方程变为：uzu23．Ax1x解：ye2e2。2x121所以，在点(0,1)处，切线的斜率是：ex02224．A2解：因为013nn22limlim，n3nn32n所以limn0n325．C解：因为1sinx1有界，sinx所以lim0xx26．解：A因此Prjya27，azk51k27．解：C设a的方向角为、、，按题意有=，=2由于cos2cos2cos21222即coscoscos2122化简得到cos2cos102解得cos0或cos2因为、、都在0到的范围里，因此可以通过解反三角函数得到：，，或者，，4422228．解：B因为a垂直于向量b和c，故而a必定与bc平行，因此又因为ai2j7k10即：7i5jki2j7k10解得1，所以a7i+5j+k29．解：D由无穷级数收敛的定义得到D30．解：D31．Cx0(exa)0a1a0x1解：由于为无穷间断点，所以x0，故。若，则也是无穷间断点。由x1为可去间断点得ae，故选C。32．Af(x)f(x)g(x)f(x)g(x)解：考虑辅助函数F(x),则F(x)20,g(x)g(x)33．B解：由作图知道，函数在第二象限是减函数，在第一象限是增函数。当x=0时，函数取得最小值y=5。34．D解：yxtanx3secxxtanx3secxtanxxsec2x3secxtanx35．C解：对y关于x求一阶导有：111所以，dy(sincos)dxxxx36．A解：直线的方向向量为3,k,4，平面的法向量为2,9,3。因为直线和平面平行，所以两个向量的内积为0。即：329k340得到：k237．A解：因为fx,y2x2y4xxx所以fx1,041438．Azz解：由定理直接得到：如果函数zfx,y的偏导数,在点x,y连续，则函数在该点的全微xy分存在。39．D解：由题意设向量bx,y,0，因为a垂直于b且ab，所以有：ba05x3y02，即：22x2y20252342xy501525由以上方程解得x，y，x，y同号171715251525故而所求向量b,,0或者b,,01717171740．Bdy3y2解：xyxyxdxx12令px，qxxx由一阶线性非齐次微分方程的公式有：二、判断题1．对解：根据齐次线性方程解的性质可以直接得到。2．错dp解：根据微分方程解的性质得到yp。dy3．对解：根据反常积分的性质直接得到。4．错解：根据极值判定定理第一充分条件，x0为极大值点。5．对解：根据函数凹凸性及其判定定理可以直接得到。6．对2解：原式中x0，当且仅当x=0时，取到极小值0；2同样，y0，当且仅当y=0时，取到极小值0。所以，函数的极小值点位于（0，0）7．错解：直接求微计算：8．对解：由题意得到积分区域V为各向尺度为1的立方体，其体积即为1。9．对解：由对数定义得到x,y|x0,y0。10．对解：由偏导数计算法则可以求得。11．对解：根据齐次线性方程解的性质可以直接得到。12．对解：根据微分方程解的性质可以直接得到。13．对解：根据反常积分的性质直接得到。14．错解：根据极值判定定理第一充分条件，x0为极小值点。15．对解：根据函数拐点及其判定定理可以直接得到。16．错解：显然该积分表示长为3，宽为1的矩形面积，值应为3。17．对解：1x2y24是一个外环半径为2，内环半径为1的圆环，积分式dxdy是在圆环上单位1的D二重积分，所以求的是圆环的面积。22原式=41318．对1r2解：fzdxdydz2dtredre1。00v419．对解：由共面定义直接得到。20．对解：分别关于x、y的因子项求同向极值可求得。21．错*解：根据齐次线性方程解的性质，y1与y2必须是线性无关的解，y是其特解。22．对解：根据积分中值定理直接得到。23．对解：根据导数的定义直接得到。24．对解：根据极值判定定理第二充分条件可以直接得到。25．错解：根据函数渐近线的定义和概念可以得到，xa为一条铅直渐近线。26．错解：由定义得知表示以原点为中心，半径为1的正球体，故而z轴方向关于球体的积分值为0。27．对x解：y'ye对应的线性一阶齐次方程是：结合原方程，等式右边项含x，所以通项公式为：将通项公式带入原式，得到：dyx代入ye，得到：dx12xx1xx最后得到：yeCeeCe2228．错解：经计算向量积得到模值为36。29．对解：由偏导数计算法则可以求得。30．对解：根据三点连线得到围成区域的线段方程，进而得到积分上下限。31．错*解：根据齐次线性方程解的性质，y1与y2必须是线性无关的解，y是其特解。32．对解：根据定积分的N-L公式直接得到。33．对解：根据导数的性质直接得到。34．对解：根据极值判定定理第二充分条件可以直接得到。35．错解：根据函数渐近线的定义和概念可以得到，yb为一条水平渐近线。36．对解：因为原式中x20，当且仅当x=0时，取到极小值0；2同样，y0，当且仅当y=0时，取到极小值0。所以，函数的极小值点位于（0，0）37．对解：原微分方程的特征函数是：210，w1。得到两个无理根：i。即iw是特征根。因此，特解的形式为：y*(axb)sinx(cxd)cosx38．错x解：经计算得到微分表达式2。xy39．对解：由微分方程通解求解准则直接得到。40．对解：变换积分方程即可求得。三、填空题21．解：1422x1.57，因此y11。222412．解：此函数的反函数为，故则：1x213．解：dy2dx1x1所以，dy2dx1x4．解：3i3j3kijk由ab1013i3j3k.23111nn5．解：n(1)x,1x13n0211因为：xn,2x2xn1n0221nn而且：(1)x,1x11xn011nnn11nn所以，f(x)nx(1)xn(1)x,1x13n02n03n026．解：037．解：78．解：1x23x2sinx原式：limxx2x2cosx原式分子sinx有界，分母cosx有界，其余项均随着x趋于无穷而趋于无穷。这样，原式的极限取决于分子、分母高阶项的同阶系数之比。29．解：631由向量的模的几何意义知ABC的面积S|ABAC|.2因为AB{2,3,1},AC{3,1,1}ijk222得ABAC2312ij7k，所以|ABAC|2175436。于是3122S632210．解：27先将级数分解：第二个级数是几何级数，它的和已知求第一个级数的和转化为幂级数求和，考察4222因此原级数的和A2732711．解：a2，b8由所给极限存在知,42ab0,得b2a4,2xaxbxa2a42a2,b8又由lim2lim,知。x2xx2x2x131x1x2111112．解：2x3x4x1x2x3x4先两边取对数再两边求导因为所以13．解：2sinxcotxC直接积分就可以得到：14．解：xy10由于平面平行于z轴，因此可设这平面的方程为：因为平面过M1、M2两点，所以有解得AD，BD，以此代入所设方程并约去DD0，便得到所求的平面方程：xy1015．解：收敛n1un1(n2)!nn(n2)11因为：n221(n)u(n1)(n1)!(n1)1nen(1)n(n1)!所以：无穷级数n1收敛n1n116．解：5417．解：142114118．解：yx3cosxx3sinxx3cotxcosxx3csc2xcosxx3cosx3319．解：(1,1)此级数是缺项的幂级数n11n1n(2n1)12n令un(x)(1)(1)xx,n1,2,n(2n1)n(2n1)u(x)(n1)(2n1)1n(2n1)22因为limn1limxxnnun(x)(n1)(2n1)n(2n1)122当x1，即x1时，级数绝对收敛；当x1，即x1时，级数发散。所以幂级数的收敛区间为(1,1)20．解：(1,1)由于该幂级数缺项幂级数，则直接用比值判别法求之。n12n1(1)x设un(x),n1,2n(2n1)2当x1，即x1时，原级数绝对收敛；2当x1,即x1时，原级数发散。所以原级数的收敛半径为1，收敛区间是(1,1).四、解答题1．解：由题意可知：为一常数，面积故在V不变的条件下，改变R使S取最小值。故：时，用料最省。2．解：把I化为先对z积分，再对y和x积分的累次积分，那末应把V投影到xoy平面上，求出投影域.它就是平面xyz1与xoy平面的交线和x轴、y轴所围成的三角区域。我们为了确定出对z积分限，在固定点x,y，通过此点作一条平行于z的直线，它与V上下边界的交点的竖坐标：z0与z1xy，这就是对z积分的下限与上限，1xyIxyzdzd于是由积分公式得：0其中为平面区域：x0,y0,xy1，如下图红色阴影部分所示：再把域上的二重积分化成先对y后对x的累次积分，得：3．解：由于积分域由同心圆围成以及被积函数的形式，显然，这个二重积分化为极坐标计算比较方便。把，ddd代入，即可转化为极坐标系的积分形式。如下：在对其进行累次积分计算：4．解：因为是正规区域，所以我们可先对y后对x积分，也可先对x后对y积分。这里我们采用前者先对y后对x积分：5．解：设，则，。。解：方程组，得驻点(1，1)，(0，0)。对于驻点(1，1)有，故22BAC36627，A060因此，在点(1，1)取得极小值f(1，1)=-1。对于驻点(0，0)有，故因此，在点(0，0)不取得极值。五、证明题1．证明：因为≤而当λ>1时收敛，故级数收敛，从而级数绝对收敛。2．证明：当n→∞时，Sn→1。所以级数的和是1。123．证明：因为limen1，趋于一个常数，所以级数发散。n4．证明：令ykx随不同直线趋于0,0。xy1klim则x0它随k变化，故不存在极限。y0xy1k5．证明：不难发现方程左端是函数的导数：。函数在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且。由罗尔定理可知，在0与1之间至少有一点c，使，即。也就是：方程在0与1之间至少有一个实根。