第二章 DTFT及性质2011

12.2.2.2.5555离散时间信号的傅氏变换及性质离散时间信号的傅氏变换及性质离散时间信号的傅氏变换及性质离散时间信号的傅氏变换及性质离散时间傅里叶变换定义离散时间傅里叶变换定义离散时间傅里叶变换定义离散时间傅里叶变换定义离散时间傅里叶变换性质离散时间傅里叶变换性质离散时间傅里叶变换性质离散时间傅里叶变换性质ZZZZ变换变换变换变换2时域时域时域时域：：：：频域频域频域频域：：：：2.2.2.2.5555离散时间信号的傅氏变换及性质离散时间信号的傅氏变换及性质离散时间信号的傅氏变换及性质离散时间信号的傅氏变换及性质离散信号离散信号离散信号离散信号与与与与间存在傅氏变换间存在傅氏变换间存在傅氏变换间存在傅氏变换的关系的关系的关系的关系ˆ()axtˆ()aXΩΩΩΩ32.52.52.52.5离散时间信号的傅氏变换离散时间信号的傅氏变换离散时间信号的傅氏变换离散时间信号的傅氏变换()()1()()2jjnnjjnnXexnexXeedωωωωpipipipiωωωωωωωωωωωωpipipipiωωωωpipipipi∞∞∞∞−−−−=−∞=−∞=−∞=−∞−−−−========∑∑∑∑∫∫∫∫�离散时间信号傅氏变换对离散时间信号傅氏变换对离散时间信号傅氏变换对离散时间信号傅氏变换对——DTFT频域变量频域变量频域变量频域变量w是连续的是连续的是连续的是连续的时域变量时域变量时域变量时域变量n是离散的是离散的是离散的是离散的()()1()()2jtaajtaaXxtedtxtXedpipipipi∞∞∞∞−Ω−Ω−Ω−Ω−∞−∞−∞−∞∞∞∞∞ΩΩΩΩ−∞−∞−∞−∞Ω=Ω=Ω=Ω==ΩΩ=ΩΩ=ΩΩ=ΩΩ∫∫∫∫∫∫∫∫x(t)����x(n)?t=nT42.2.2.2.5555离散信号的傅氏变换离散信号的傅氏变换离散信号的傅氏变换离散信号的傅氏变换：：：：变换对的推导变换对的推导变换对的推导变换对的推导，连续信号在时域内进行取样的结果是频域连续信号在时域内进行取样的结果是频域连续信号在时域内进行取样的结果是频域连续信号在时域内进行取样的结果是频域内频谱的周期延拓内频谱的周期延拓内频谱的周期延拓内频谱的周期延拓1ˆ()()2aannXXTTpi∞=−∞Ω=Ω−∑是周期 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 是周期函数是周期函数是周期函数（（（（周期为周期为周期为周期为），），），），因因因因此可以将它写成此可以将它写成此可以将它写成此可以将它写成级数级数级数级数的形式的形式的形式的形式)(ˆΩaX2Tpiˆ()()()aanxtxnTtnTδ∞=−∞=−∑5傅氏变换对的推导傅氏变换对的推导傅氏变换对的推导傅氏变换对的推导的傅氏变换的傅氏变换的傅氏变换的傅氏变换为为为为：：：：)(txa∧ˆ[()][()()]()[()]aananxtxnTtnTxnTtnTFFFδδ∞=−∞∞=−∞=−=−∑∑∑∞−∞=Ω−=ΩnjnTaaenTxX)()(ˆ即：是是是是傅氏傅氏傅氏傅氏级数的系数级数的系数级数的系数级数的系数)(ˆΩaX∑∞−∞=Ω−=njnTaenTx)(ˆ()()()aanxtxnTtnTδ∞=−∞=−∑（（（（1））））可由可由可由可由求得求得求得求得)(ˆΩaX()axnT∴T2T211ˆˆ()()()2TjnTjnTTaaaTxnTXedXedTpipipi′ΩΩ′−−=ΩΩ=ΩΩ′∫∫==∴∫∑−∞−∞=−pipiωωωωωpideeXnxenxeXjnjnjnj)(21)()()(——离散时间信号的傅氏变换对离散时间信号的傅氏变换对离散时间信号的傅氏变换对离散时间信号的傅氏变换对级数收敛的条件是级数收敛的条件是级数收敛的条件是级数收敛的条件是∞<∑∞−∞=nnx)(变换成数字域形式变换成数字域形式变换成数字域形式变换成数字域形式：：：：ω=ΩT)()(nTxnxa=)()(Ω=∧ajXeXω令令令令：：：：（（（（2））））频响频响频响频响7频率间换算关系频率间换算关系频率间换算关系频率间换算关系例例例例：：：：求求求求下列信号的下列信号的下列信号的下列信号的DTFT变换变换变换变换解解解解：：：：（（（（1111））））只有只有只有只有4个非个非个非个非0值对值对值对值对DTFT变换有贡献变换有贡献变换有贡献变换有贡献，，，，因而因而因而因而：：：：24()()23jjnjjjnXexneeeeωωωωω∞−−−−=−∞==−++∑一般情况下一般情况下一般情况下一般情况下，，，，DTFT是复值是复值是复值是复值（（（（2222））））在在在在n<0和和和和n>=3时时时时，，，，信号值都是信号值都是信号值都是信号值都是0，，，，所以所以所以所以2()()444jjnjjnXexneeeωωωω∞−−−=−∞==++∑)]3()([4)()2()4()2(3)1()(2)()1(−−=−+−+−−=nununxnnnnnxδδδδ例例例例：：：：确定确定确定确定的的的的DTFTDTFTDTFTDTFT。。。。解解解解：：：：序列序列序列序列x(n)x(n)x(n)x(n)是绝对可和的是绝对可和的是绝对可和的是绝对可和的，，，，因此它的离因此它的离因此它的离因此它的离散傅氏变换存在散傅氏变换存在散傅氏变换存在散傅氏变换存在。。。。)(5.0)(nunxn=5.05.011)5.0()5.0()()(00−=−====−∞−∞−∞∞−−∑∑∑ωωωωωωωjjjnjjnnjnjeeeenxeXee10离散信号傅氏变换的性质离散信号傅氏变换的性质离散信号傅氏变换的性质离散信号傅氏变换的性质卷积特性卷积特性卷积特性卷积特性（（（（时域时域时域时域、、、、频域频域频域频域））））离散傅氏变换的周期性离散傅氏变换的周期性离散傅氏变换的周期性离散傅氏变换的周期性离散傅氏变换的对称性离散傅氏变换的对称性离散傅氏变换的对称性离散傅氏变换的对称性离散傅氏变换是一个线性变换离散傅氏变换是一个线性变换离散傅氏变换是一个线性变换离散傅氏变换是一个线性变换频率响应频率响应频率响应频率响应时域相关定理时域相关定理时域相关定理时域相关定理ParsevalParsevalParsevalParseval定理定理定理定理11DTFTDTFTDTFTDTFT性质性质性质性质：：：：时域卷积时域卷积时域卷积时域卷积时域内的卷积关系映射到频域内为相乘时域内的卷积关系映射到频域内为相乘时域内的卷积关系映射到频域内为相乘时域内的卷积关系映射到频域内为相乘时域卷积时域卷积时域卷积时域卷积频域相乘频域相乘频域相乘频域相乘()()()()ωωjjFeHeXnhnx→←∗证明证明证明证明：：：：()ωjnnenhnxnhnxF−∞−∞=∑∗=∗])([)]()([∑∑∞−∞=∞−∞=−−=nkjneknhkxω)]()([()∑∑∞−∞=−−∞−∞=−−=nknjkjkeknhekxωω)()(()()∑∑∞−∞=−∞−∞=−=mjmkjkemhekxωω)()(ωωjjeHeX⋅=()()()()ωωjjeHeXnhnx→∗利用这一性质利用这一性质利用这一性质利用这一性质，，，，可以方便地把时域内的卷积计可以方便地把时域内的卷积计可以方便地把时域内的卷积计可以方便地把时域内的卷积计算算算算，，，，化简成频域内的相乘计算化简成频域内的相乘计算化简成频域内的相乘计算化简成频域内的相乘计算13时域内的相乘关系映射为频域内的卷积(((())))(((())))(((())))(((())))(((())))(((())))()1122jjjjDTFTxnhnXeHeXeHedpipipipiωωθωθωωθωθωωθωθωωθωθpipipipiθθθθpipipipipipipipi−−−−−−−−←→∗=∗←→∗=∗←→∗=∗←→∗=∗∫∫∫∫证明证明证明证明:1()()()()()2jjnjjnjnnnYexnhnexnHeedepipipipiωωθθωωωθθωωωθθωωωθθωpipipipiθθθθpipipipi∞∞∞∞∞∞∞∞−−−−−−−−−−−−=−∞=−∞=−∞=−∞=−∞=−∞=−∞=−∞========∑∑∑∑∑∑∑∑∫∫∫∫交换积分与求和的次序交换积分与求和的次序交换积分与求和的次序交换积分与求和的次序，，，，有有有有()()1()()()211()()()()22jjjnnjjjjYeHexnedHeXedXeHepipipipiωθωθωθωθωθωθωθωθpipipipipipipipiθωθωωθωθωωθωθωωθωθωωpipipipiθθθθpipipipiθθθθpipipipipipipipi∞∞∞∞−−−−−−−−−−−−=−∞=−∞=−∞=−∞−−−−−−−−======∗==∗==∗==∗∑∑∑∑∫∫∫∫∫∫∫∫DTFTDTFTDTFTDTFT性质性质性质性质：：：：频域卷积频域卷积频域卷积频域卷积14DTFTDTFTDTFTDTFT性质性质性质性质：：：：周期性周期性周期性周期性证明证明证明证明：：：：∑∞−∞=−=njnjenxeXωω)()(Q)()()()(][2)2()2(ωωpiωpiωpiωjnjnnjnjnnjnjeXenxeenxenxeX====∑∑∑∞−∞=−∞−∞=⋅−−∞−∞=+−+！！！！连续信号的傅氏变换不是周期函数连续信号的傅氏变换不是周期函数连续信号的傅氏变换不是周期函数连续信号的傅氏变换不是周期函数•序列的傅氏变换是序列的傅氏变换是序列的傅氏变换是序列的傅氏变换是的周期函数的周期函数的周期函数的周期函数，，，，周期为周期为周期为周期为ωpi215DTFTDTFTDTFTDTFT性质性质性质性质：：：：周期性周期性周期性周期性推论推论推论推论：：：：因此因此因此因此，，，，在我们 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 时在我们分析时在我们分析时在我们分析时，，，，只需要只需要只需要只需要知道知道知道知道的一的一的一的一个周期个周期个周期个周期（（（（即即即即，，，，或或或或））））即可即可即可即可，，，，而而而而不需要在整个不需要在整个不需要在整个不需要在整个域来分析域来分析域来分析域来分析)(ωjeX]2,0[piω∈],[pipi−∞<<∞−ω16DTFTDTFTDTFTDTFT性质性质性质性质：：：：对称性对称性对称性对称性共轭对称序列共轭对称序列共轭对称序列共轭对称序列：：：：共轭反对称序列共轭反对称序列共轭反对称序列共轭反对称序列：：：：)()()(nxnxnxoe+=*()()eexnxn=−*()()ooxnxn=−−**1()[()()]21()[()()]2eoxnxnxnxnxnxn=+−=−−17DTFTDTFTDTFTDTFT性质性质性质性质：：：：对称性对称性对称性对称性若序列为若序列为若序列为若序列为实序列实序列实序列实序列则称偶序列则称偶序列则称偶序列则称偶序列（（（（偶对称序列偶对称序列偶对称序列偶对称序列）：）：）：）：奇序列奇序列奇序列奇序列（（（（奇对称序列奇对称序列奇对称序列奇对称序列）：）：）：）：)()()(nxnxnxoe+=e()()exnxn=−()()ooxnxn=−−1()[()()]21()[()()]2eoxnxnxnxnxnxn=+−=−−18DTFTDTFTDTFTDTFT性质性质性质性质：：：：对称性对称性对称性对称性)()(*ωωjejeeXeX−=共轭对称函数共轭对称函数共轭对称函数共轭对称函数定义为定义为定义为定义为：：：：)(ωjeeX若为实函数若为实函数若为实函数若为实函数，，，，共轭对称函数即为偶函数共轭对称函数即为偶函数共轭对称函数即为偶函数共轭对称函数即为偶函数共轭反对称函数共轭反对称函数共轭反对称函数共轭反对称函数定义为定义为定义为定义为：：：：)(ωjoeX)()(*ωωjojoeXeX−−=若为实函数若为实函数若为实函数若为实函数，，，，共轭反对称函数即为奇函数共轭反对称函数即为奇函数共轭反对称函数即为奇函数共轭反对称函数即为奇函数19DTFTDTFTDTFTDTFT性质性质性质性质：：：：对称性对称性对称性对称性任一傅氏变换都可以分解为共轭对称任一傅氏变换都可以分解为共轭对称任一傅氏变换都可以分解为共轭对称任一傅氏变换都可以分解为共轭对称和共轭反对称两部分和共轭反对称两部分和共轭反对称两部分和共轭反对称两部分)()()(ωωωjojejeXeXeX+=其中其中其中其中)]()([21)(*ωωjjwjeeXeXeX−+=())]()([21*ωωωjjjoeXeXeX−−=20若x(n)为复序列复序列复序列复序列，则其傅氏变换有以下性质：(((())))(((())))[[[[]]]](((())))[[[[]]]](((())))(((())))(((())))****1.()2.()3.Re()4.Im()5.()Re6.()ImFjFjFjeFjoFjeFjoxnXexnXexnXejxnXexnXexnjXeωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω−−−−↔↔↔↔−↔−↔−↔−↔↔↔↔↔↔↔↔↔↔↔↔↔↔↔↔↔DTFTDTFTDTFTDTFT性质性质性质性质：：：：对称性对称性对称性对称性21例如证明例如证明例如证明例如证明(3)：：：：已知已知已知已知那么：[]()()()1212**Re()()()()()jjjeFxnFxnxnXeXeXeωωω−=+=+=[]12*Re()()()xnxnxn=+DTFTDTFTDTFTDTFT性质性质性质性质：：：：对称性对称性对称性对称性22若x(n)为实序列序列序列序列，，，，则其傅氏变换有以下性质则其傅氏变换有以下性质则其傅氏变换有以下性质则其傅氏变换有以下性质:DTFTDTFTDTFTDTFT性质性质性质性质：：：：对称性对称性对称性对称性()()共轭对称−−=−ωωjjeXeXa*)(的偶函数部是实)]([)]([)(ωωω−−=−jejeeXReXRb的奇函数虚部是)]([)]([)(ωωω−−−=−jmjmeXIeXIc()的偶函数模是ωωω−−=−jjeXeXd)()(()[]()[]的奇函数辐角是ωωω−−−=−jjeXeXeargarg)(23DTFTDTFTDTFTDTFT性质性质性质性质：：：：对称性对称性对称性对称性()部的共轭对称序列对应实)()]([)(nxeXRnxfjee−−−↔ω()虚部的共轭反对称序列对应)()]([)(nxeXjInxgjmo−−−↔ω推论推论推论推论：：：：要画出要画出要画出要画出的幅频特性的幅频特性的幅频特性的幅频特性，，，，只需要只需要只需要只需要半个半个半个半个周期即可周期即可周期即可周期即可，，，，通常在实际中选择通常在实际中选择通常在实际中选择通常在实际中选择的部分的部分的部分的部分)(ωjeX)(ωjeX],0[piω∈24DTFTDTFTDTFTDTFT性质性质性质性质：：：：线性变换线性变换线性变换线性变换离散傅氏变换是一个线性变换离散傅氏变换是一个线性变换离散傅氏变换是一个线性变换离散傅氏变换是一个线性变换，，，，即即即即：：：：)]([)]([)]()([2121nxbFnxaFnbxnaxF+=+25DTFTDTFTDTFTDTFT的性质的性质的性质的性质：：：：LTILTILTILTI系统的频率响应系统的频率响应系统的频率响应系统的频率响应LTI系统的输入系统的输入系统的输入系统的输入、、、、输出关系为输出关系为输出关系为输出关系为：∑∞−∞=−=∗=kknhkxnhnxny)()()()()()]()([)]([)(nhnxFnyFeYj∗==ω)()(ωωjjeHeX=称为称为称为称为系统的频率响应系统的频率响应系统的频率响应系统的频率响应，，，，是单位取样序列是单位取样序列是单位取样序列是单位取样序列h(n)的傅氏变换的傅氏变换的傅氏变换的傅氏变换)(ωjeH∑∞−∞=−=njnjenheHωω)()()()()(ωωωjjjeXeYeH=输入频率响应输出频率响应=例例例例：：：：求下列差分方程所表示的滤波器的频率响应表达式)(5.0)1(85.0)(nxnyny+−−=解解解解：：：：对每一项都进行对每一项都进行对每一项都进行对每一项都进行DTFTDTFTDTFTDTFT变换变换变换变换，，，，得得得得：：：：)(5.0)(85.0)(ωωωωjjjjeXeYeeY=+−ωωωωjjjjeeXeYeH−+==85.015.0)()()(频率响应为频率响应为频率响应为频率响应为：：：：解解解解：：：：ωωωωωjnjnjnnjjeeeenheH−∞−∞−∞∞−−−====∑∑∑9.011)9.0()9.0()()(00ωωωcos8.181.11)sin9.0()cos9.01(1)(22−=+−=jweH−−=∠ωωωcos9.01sin9.0arctan)(jeH例例例例：：：：求一个由求一个由求一个由求一个由表征的系统的频率响表征的系统的频率响表征的系统的频率响表征的系统的频率响应应应应，，，，画出其幅度和相位响应画出其幅度和相位响应画出其幅度和相位响应画出其幅度和相位响应。。。。)(9.0)(nunhn=)(ωjeH解：)2(2)()(−+=nnnxδδ例例例例：：：：301()10.5jjHeeωω−=−()hn=()1.5cos()4xnnpipi=+()yn=设因果系统的频率响应设因果系统的频率响应设因果系统的频率响应设因果系统的频率响应，，，，该系统的单位取样响应该系统的单位取样响应该系统的单位取样响应该系统的单位取样响应_______________；；；；若输入序列若输入序列若输入序列若输入序列，，，，则系统的输出序列则系统的输出序列则系统的输出序列则系统的输出序列_______________。。。。(0.5)()nuncos()()4nunpipi+输入是指数序列的卷积输入是指数序列的卷积输入是指数序列的卷积输入是指数序列的卷积31DTFTDTFTDTFTDTFT的性质的性质的性质的性质：：：：时域相关定理时域相关定理时域相关定理时域相关定理(((())))(((())))(((())))*()()()DTFjjjTnrmxnhnmReXeHeωωωωωωωωωωωω∞∞∞∞=−∞=−∞=−∞=−∞=+←→==+←→==+←→==+←→=∑∑∑∑证明证明证明证明:(((())))(((())))()*()()()()()jjmmnjnjnmjjnmRexnhnmexnehnmeXeHeωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω∞∞∞∞∞∞∞∞−−−−=−∞=−∞=−∞=−∞=−∞=−∞=−∞=−∞∞∞∞∞∞∞∞∞−+−+−+−+=−∞=−∞=−∞=−∞=−∞=−∞=−∞=−∞=+=+=+=+=+==+==+==+=∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑�如果令如果令如果令如果令Ex(ejω)是能量信号是能量信号是能量信号是能量信号x(n)的的的的自相关函数自相关函数自相关函数自相关函数rx(m)的傅的傅的傅的傅里叶变换里叶变换里叶变换里叶变换，，，，由上述相关函数由上述相关函数由上述相关函数由上述相关函数，，，，得得得得：：：：能量信号x(n)自相关函数的傅里叶变换等于x(n)的傅里叶变换的幅值平方，即x(n)的能量谱能量谱能量谱能量谱�时域相关定理时域相关定理时域相关定理时域相关定理：：：：若若若若r(n)是是是是x(n)和和和和h(n)的相关函数的相关函数的相关函数的相关函数，，，，即即即即(((())))(((())))2*()()()jjmjjjxxmEermeXeXeXeωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω∞∞∞∞−−−−=−∞=−∞=−∞=−∞============∑∑∑∑32DTFTDTFTDTFTDTFT的性质的性质的性质的性质：：：：ParsevalParsevalParsevalParseval定理定理定理定理变换前后能量保持不变证明证明证明证明:****21()()()()211()()()()2211()()22jjnxnnjjnjjnjjExnxnxnXeedXexnedXeXedXedEedpipipipiωωωωωωωωpipipipipipipipipipipipiωωωωωωωωωωωωωωωωpipipipipipipipipipipipipipipipiωωωωωωωωpipipipipipipipiωωωωpipipipiωωωωωωωωpipipipipipipipiωωωωωωωωpipipipipipipipi∞∞∞∞∞∞∞∞−−−−=−∞=−∞=−∞=−∞=−∞=−∞=−∞=−∞∞∞∞∞−−−−−−−−=−∞=−∞=−∞=−∞−−−−−−−−========================∑∑∑∑∑∑∑∑∫∫∫∫∑∑∑∑∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫Parseval定理说明定理说明定理说明定理说明，，，，信号在时域的总能量等于其在频域的总能量信号在时域的总能量等于其在频域的总能量信号在时域的总能量等于其在频域的总能量信号在时域的总能量等于其在频域的总能量。。。。频域的总能量等于频域的总能量等于频域的总能量等于频域的总能量等于|X(ejω)|2在一个周期内的积分在一个周期内的积分在一个周期内的积分在一个周期内的积分，，，，因此因此因此因此，，，，|X(ejω)|2是是是是信号的信号的信号的信号的能量谱能量谱能量谱能量谱221()()2jxnExnXedpipipipiωωωωpipipipiωωωωpipipipi∞∞∞∞−−−−=−∞=−∞=−∞=−∞========∑∑∑∑∫∫∫∫信号信号信号信号x(n)在时域的总能量在时域的总能量在时域的总能量在时域的总能量Ex为为为为：：：：33作业作业作业作业：：：：2.92.102.11