应力张量例题

一、应力张量不变量及其应用应力张量是二阶实对称张量，有三个独立的主不变量。利用应力张量的三个主不变量，可以判别应力状态的异同。试判断以下两个应力张量是否表示同一应力状态？例题一、应力张量不变量及其应用对于同理，对于结论两个应力张量表示同一应力状态。例题解答一、应力张量不变量及其应用应力张量不变量问题小结1、由应力张量的三个主不变量可确定应力张量状态特征方程，从而确定应力张量的三个主应力及其方向，由此定义了应力的状态。2、判断两个应力的状态是否相同，可以通过判断对应的三个主不变量是否相同来实现。二、几种重要应力的计算知识要点回顾1）应力张量为实对称张量，通过坐标转换可以得到切应力为零的状态，此时的应力称为主应力。本质上与矩阵代数中通过初等变换将一个矩阵化为标准形的问题相同。1、主应力应力状态特征方程（1）齐次线性应力平衡方程组（2）方向余弦条件（3）2）可根据三个主应力的特点来直观地区分各种应力状态，或者定性地比较某一种材料采用不同的塑性成形工序加工时，塑性和变形抗力的差异。二、几种重要应力的计算知识要点回顾2、最大切应力1）与正应力一样，切应力也随坐标变换而变化，可取得极值。取其中绝对值最大的切应力为最大切应力，记为。取应力主轴为坐标轴，则任意斜微分面上的切应力为最大切应力计算公式2）塑性变形中的滑移与孪生或晶界滑移，都主要与切应力有关。？二、几种重要应力的计算知识要点回顾1）以受力物体内任意点的应力主轴为坐标轴，在无限靠近该点处作与三个应力主轴等倾斜的微分面，其法线与三个主轴的夹角都相等。在主轴坐标系空间八个象限中的等倾微分面构成一个正八面体。正八面体的每个平面称八面体平面，八面体平面上的应力称为八面应力。3、八面体应力Q1232）八面体平面是一点应力状态的特殊平面，平面上的应力值对研究一个应力状态有重要作用。二、几种重要应力的计算八面体平面的方向余弦3、八面体应力Q123知识要点回顾二、几种重要应力的计算知识要点回顾3、等效应力2）等效应力是一个不变量，是一个与材料塑性变形有密切关系的参数。1）取八面体切应力绝对值的倍所得的参量称为等效应力，也称为广义应力或应力强度，用表示。等效应力定义式二、几种重要应力的计算对于oxyz直角坐标系，受力物体内一点的应力状态为例题画出该点的应力单元体；试用应力状态特征方程求出该点的主应力及主方向；求出该点的最大切应力、八面体应力、等效应力。二、几种重要应力的计算例题解答画出该点的应力单元体Oxyz5-55-5-5二、几种重要应力的计算用应力状态特征方程求出该点的主应力及主方向例题解答计算应力张量的三个主不变量应力状态特征方程二、几种重要应力的计算用应力状态特征方程求出该点的主应力及主方向例题解答齐次线性应力平衡方程组方向余弦条件代入数据将各主应力代入方程组（1）可得对应的主方向解之二、几种重要应力的计算用应力状态特征方程求出该点的主应力及主方向最大切应力八面体应力二、几种重要应力的计算等效应力几种重要应力计算问题小结要求掌握一点处的主应力及主方向、最大切应力、八面体应力、等效应力的计算方法。三、应变连续方程问题知识要点回顾小应变几何方程六个应变分量取决于三个位移分量？这六个分量之间应该存在某种联系！三、应变连续方程问题知识要点回顾小应变几何方程(1)式加(2)式三、应变连续方程问题在每个坐标平面内，两个线应变一经确定，则切应变分量随之被确定！切应变到线应变？知识要点回顾三、应变连续方程问题在三维空间内三个切应变分量一经确定，则线应变分量也就被确定！知识要点回顾三、应变连续方程问题设试问上述应变场在什么情况下成立？其中a、b为常数，例题例题解答应变 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 问题小结1、要求掌握一点处的主应变及主方向、八面体应变、等效应变的计算方法，由于与应力问题的计算方法相似，此处不再重复。2、注意应变连续方程：由位移求应变，连续方程自动满足；由应变求位移则对边连续方程进行验证。应力应变分析问题小结1、掌握应力张量与应变张量的三个主不变量的计算，利用主不变量判断应力、应变状态的异同；2、掌握一点处的主应力及主方向、最大切应力、八面体应力、等效应力的计算方法;掌握一点处的主应变及主方向、八面体应变、等效应变的计算方法。3、掌握应变连续方程。第四节屈服准则Part4.YieldCriterion本节主要内容Contents基本概念★★Concepts屈雷斯加屈服准则★★★Trescayieldcriterion米塞斯屈服准则★★★Misesyieldcriterion屈服准则的几何描述★★Geometricalrepresentationofyieldcriterion屈服准则的实验验证与比较★Tests&comparisonofyieldcriterions应变硬化材料的屈服准则★Yieldcriterionsofstrainhardeningmaterial掌握标准★★★要求熟练掌握并能应用★★要求熟练掌握★要求了解一、屈服准则的基本概念1.Conceptofyieldcriterion1.1材料的屈服与屈服准则1.1Yieldandyieldcriterionofmaterial材料的屈服材料在外力的作用下由弹性状态进入塑性状态，称为材料的屈服。屈服准则在一定的变形条件下，当各应力分量之间满足一定关系时，质点才开始进入塑性状态，这种关系称为屈服准则，又称为塑性条件。屈服函数弹性状态塑性状态实际变形中不存在1.2有关屈服函数的讨论1.2Discussiononyieldfunction1.3关于材料性质的基本概念1.3Conceptonmaterialpropertiesb理想弹塑性a实际金属材料②①d弹塑性硬化c理想刚塑性e刚塑性硬化真实应力真实应变有物理屈服点无明显物理屈服点1、实际金属材料在比例极限以下2、金属在慢速热变形时3、金属在冷变形时4、金属在冷变形屈服平台部分1.4实际对材料模型的处理1.4Actualmaterialmodel理想弹性材料理想塑性材料弹塑性硬化材料理想塑性二、Tresca屈服准则2.Trescayieldcriterion屈雷斯加屈服准则2.1屈雷斯加屈服准则的内容(1864)2.1DefinitionofTrescayieldcriterion当材料中的最大切应力达到某一定值时，材料就屈服。又称为最大切应力不变条件。材料单向拉伸时的应力Stressofuniaxialstretch屈雷斯加屈服准则的数学表达式MathematicalrepresentationofTrescayieldcriterion2.2单向拉伸时的Tresca屈服准则2.2Trescayieldcriterioninuniaxialstretchtest如果不知主应力大小顺序，则屈雷斯加表达式为2.3任意应力状态下的Tresca屈服准则2.3Trescayieldcriterionofanystressstate屈雷斯加屈服准则可写成2.4平面变形状态的Tresca屈服准则2.4Trescayieldcriterionofplanestrainstate或者三、Mises屈服准则3.Misesyieldcriterion米塞斯/米席斯屈服准则3.1Mises屈服准则的内容(1913)3.1ContentsofMisesyieldcriterion在一定的塑性变形条件下，当受力物体内一点的应力偏张量的第二不变量达到某一定值时，该点就进入塑性状态。单向拉伸3.2几种应力状态下的Mises屈服准则3.2Misesyieldcriterionofseveralstressstates纯切应力状态Mises屈服准则下单向拉伸屈服强度与剪切屈服强度的关系Mises屈服准则的等效形式3.3Mises屈服准则与等效应力3.3Misesyieldcriterionandequivalentstress1、相同点1)屈服准则的表达式都和坐标的选择无关，等式左边都是不变量的函数。2)三个主应力可以任意置换而不影响屈服，拉应力和压应力作用是一样的。3)各表达式都和应力球张量无关。2、不同点屈雷斯加屈服准则未考虑中间应力使用不方便米塞斯屈服准则考虑中间应力使用方便3.4Tresca、Mises屈服准则的比较3.4ComparisonofTresca&MisesYieldCriterion变形体单位体积内的总弹性变形能1924年汉基（H.Hencky）在一定的变形条件下，当材料的单位体积形状改变的弹性变形能达到某一常数时，材料开始屈服。3.5Mises屈服准则的物理意义(P109)3.5PhysicalmeaningofMiesesYC体积变化引起的单位体积弹性变形能3.6形状变化引起的单位体积弹性变形能3.6Deformationenergyperunitvolumeinducedbyshapechange形状变化引起的单位体积弹性变形能广义胡克定律Mises屈服准则又称为能量准则或能量条件3.7Mises屈服准则的能量性质3.7EnergypropertyofMisesyieldcriterion应力偏张量第二不变量的能量性质等效应力的能量性质Mises屈服准则的能量性质形状变化引起的单位体积弹性变形能例题p2rtzp一两端封闭的薄壁圆筒，半径为r，壁厚为t，受内压力p的作用，试求此圆筒产屈服时的内压力p。（设材料单向拉伸时的屈服应力为）解：先求各应力分量（在内表面）（在外表面）例题外表面的屈服条件1）由Mises屈服准则例题2）由Tresca屈服准则两种屈服准则所算出气压的大小比较？知识点小结屈服函数根据应力应变曲线对材料的分类屈雷斯加屈服准则米塞斯屈服准则由屈服准则求解简单力学问题的方法屈服准则的几何描述Geometricalrepresentationofyieldcriterion屈服表面与屈服轨迹Yieldsurfaceandyieldlocus主应力坐标系下应力对等倾线的分解Stressdecomposedtoisoclineinprincipalstresscoordinates在等倾线上分解出了静水应力矢量等倾线定义任意应力矢量在等倾线上的分量应力对等倾线垂面的分解Stressdecomposedtoorthogonalplaneofisocline在等倾线垂面上分解出等效应力、应力偏量由等倾线垂面内应力分量表示的屈服条件YieldconditionsrepresentedinthestresscomponentontheorthogonalplaneofisoclineMises屈服准则与PM长度的关系点屈服以OM为轴心、以为半径的空间曲面Mises屈服表面圆Tresca屈服准则在主应力空间的几何表述GeometricalrepresentationofTrescayieldcriterioninprincipalstressspaceTresca屈服准则两个互相平行平面之间的区域平面和与直线的距离同理适用于其它两对表面在主应力坐标系中的几何意义Mises、Tresca屈服表面的关系RelationofMisesyieldsurfaceandTrescayieldsurface三对Tresca屈服区域的交集是一正六棱柱。Tresca正六棱柱的边长Tresca正六棱柱的中心轴线Mises屈服表面的半径Mises屈服表面的中心轴线Tresca屈服表面内接于Mises屈服表面。Mises、Tresca屈服表面的关系屈服表面的几何意义Geometricalmeaningofyieldsurface若主应力空间中一点应力状态矢量的端点位于屈服表面，则该点处于塑性状态；若在屈服表面内部，则处于弹性状态。对于理想塑性材料，应力状态矢量的端点不能在屈服表面之外。两向应力状态下的屈服方程Theyieldequationatbidirectionalstressstate椭圆内接于椭圆的六边形Mises屈服表面Tresca屈服表面两向应力状态下的屈服轨迹YieldlocusatbidirectionalstressstateTresca屈服表面Mises屈服表面σ2σ3σ10ABCDEFGHIJKI1C1NL两向应力状态下的屈服轨迹YieldlocusatbidirectionalstressstateBDHJACEGIKFLP重合点与差别最大点平面上的屈服轨迹op纯剪切线π平面上的屈服轨迹Yieldlocusonπplane在主应力空间中，通过坐标原点并垂直于等倾线ON的平面称为平面。平面平面上应力状态的特点屈服轨迹的几何意义Geometricalmeaningofyieldlocus若两向主应力平面中一点应力状态矢量的端点位于屈服轨迹内部，则该点处于弹性状态；若在屈服轨迹上，则处于塑性状态。对于理想塑性材料，应力状态矢量的端点不能在屈服轨迹之外。两种屈服准则的实验验证与比较Testonyieldcriterions罗德(Lode)屈服准则实验1926Lode’stestonyieldcriterions薄壁圆管拉伸膨胀罗德(Lode)参数LodeparameterTresca准则Mises准则Lode参数罗德(Lode)实验(1926)Lodetest钢铜镍1.301.251.201.151.101.051.0012-1.0-0.6-0.20.200.60.40.81.0-0.8-0.4Lode实验资料(1926)1—米塞斯准则2—屈雷斯加准则泰勒-奎乃屈服准则实验1931Taylor-Quinneyyieldcriteriontest薄壁圆管拉伸扭转Drawingandtorsionofthinwalltube泰勒(Taylor)与奎乃(Quinney)实验(1931)Tresca准则Mises准则Taylor-Quinney实验结果钢铜铝0.10.20.30.40.50.600.10.20.30.40.50.60.70.80.91.021Taylor及Quinney实验资料(1931)1-Mises准则2-Tresca准则关于屈服准则的一般结论Generalconclusions1)多数金属符合Mises屈服准则2)当主应力大小已知时，Tresca屈服函数是线性的，使用起来方便。用修正系数表示中间应力的影响，Mises屈服准则可写成简记为应力修正系数简化的能量条件应变硬化材料的屈服准则Yieldcriterionofstrainhardeningmaterials应变硬化材料的屈服准则Yieldcriterionofstrainhardeningmaterials初始屈服服从上述屈服准则硬化后，屈服准则发生变化（变形过程每一刻都在变化）其轨迹或表面称为后继屈服表面或后续屈服轨迹。初始屈服轨迹后继屈服轨迹各向同性应变硬化材料的后继屈服轨迹各向同性硬化，即等向强化：1)：材料硬化后仍保持各向同性2）应变硬化后屈服轨迹的中心位置和形状不变屈服准则的一般表述对于应变硬化材料，应力状态有三种不同的情况：加载卸载中性变载应变硬化中的加载卸载条件Loadingandunloadingconditionsofstrainhardening小结SummeryMaterialpropertiesandactualmaterialmodelTrescaandMisesyieldcriterionGeometricalrepresentationofyieldcriterionLode,TaylorandQuinney’stestsonyieldcriterionYieldcriterionofstrainhardeningmaterialsLoadingandunloadingconditionsofstrainhardening