(完整版)高次方程及解法

高次方程及解法江苏省通州高级中学徐嘉伟一般地，我们把次数大于2的整式方程，叫做高次方程。由两个或两个以上高次方程组成的方程组，叫做高次方程组。对于一元五次以上的高次方程，是不能用简单的算术 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 来求解的。对于一元五次以下的高次方程，也只能对其中的一些特殊形式的方程，采用“1判根法”、“常数项约数法”、“倒数方程求根法”、“双二次方程及推广形式求解法”等方法，将一元五次以下的高次方程消元、换元、降次，转化成一次或二次方程求解。一、1判根法在一个一元高次方程中，如果各项系数之和等于零，则1是方程的根；如果偶次项系数之和等于奇次项系数之和，则-1是方程的根。求出方程的1的根后，将原高次方程用长除法或因式分解法分别除以（x-1）或者（x+1）,降低方程次数后依次求根。“1判根法”是解一元高次方程最简捷、最快速的重要方法，一定要熟练掌握运用。例1解方程x4+2x3-9x2-2x+8=0解：观察方程,因为各项系数之和为:1+2-9-2+8=0(注意:一定把常数项算在偶数项系数当中),根据歌诀“系和零,+1根”,即原方程中可分解出因式(x-1),(x4+2x3-9x2-2x+8)(x-1)=x3+3x2-6x-8观察方程x3+3x2-6x-8=0，偶次项系数之和为：3-8=-5；奇次项系数之和为：1-6=-5，根据歌诀“偶等奇，根-1”，即方程中含有因式（x+1），（x3+3x2-6x-8）(x+1)=x2+2x-8，对一元二次方程x2+2x-8=0有（x+4）（x-2）=0,原高次方程x4+2x3-9x2-2x+8=0可分解因式为：(x-1)(x+1)(x-2)(x+4)=0,即:当(x-1)=0时,有x1=1;当(x+1)＝０时，有x2=-1;当(x-2)=0时，有x3=2;当(x+4)=0时，有x4=-4点拨提醒：在运用“1判根法”解高次方程时，一定注意把“常数项”作为“偶次项”系数计算。二、常数项约数求根法nn-1根据定理:“如果整系数多项式anx＋an-1x++a1x+a0可分nn-1Q解出因式Px-Q,即方程anx＋an-1x++a1x+a0=0有有理数根P（Ｐ、Q是互质整数），那么，Ｐ一定是首项系数an的约数，Q一定是常数项a0的约数”，我们用“常数项约数”很快找到求解方程的简捷方法。“常数项约数求根法”分为两种类型：第一种类型：首项系数为1。对首项（最高次数项）系数为1的高次方程，直接列出常数项所有约数，代入原方程逐一验算，使方程值为零的约数，就是方程的根。依次用原方程除以带根的因式，逐次降次，直至将高次方程降为二次或一次方程求解。例1解方程x4+2x3-4x2-5x-6=0解：第一步：首先列出“常数项”-6的所有约数1、2、3、6第二步：将这些约数逐一代入原方程验算，确定原方程中所含的“带根”因式。根据各项系数和不为零和奇数项系数和不等于偶数项系数和，排除1根，f(2)=16+16-16-10-6=0f(-3)=81-54-36+15-6=0,所以原方程中含有因式（x-2）（x+3）第三步：用长除法将原方程降次。（x4+2x3-4x2-5x-6）(x-2)(x+3)=x2+x+1第四步：解一元二次方程x2+x+1=022bb4ac1141113ix==2a2213i13ix1=,x2=,x3=2x4=-322第二种类型，首项系数不为1。对首项系数不为１的高次方程，首先以首项系数为“公因数”提取到小括号外，然后对小括号内的方Q程的常数项列出公约数。特别注意此时代入方程验算的值一定是而P不是Ｑ，因为此时原方程的因式是（Ｐx－Ｑ），其余的解法步骤同首项系数为１的解法步骤相同。例２解方程３x3-２x2＋９x-6＝０2解：将原方程化为３（x3-x2＋３x-２）＝０此时，“常数3项”为-2，它的约数为1，2，根据“1判根法”排除1，这Q2Q2时，代人原方程验算的只能是=，或=-P3P3322222288f()=332322=30=0333332727所以原方程中有因式（3X-2）。（3x3-２x2＋９x-6）(3x-2)=x2+323i3i3i解方程式x+3=0x=，x1=，x2=-2223i3i2原方程的解为x1=，x2=，x3=223三、倒数方程求根法1、定义：系数成首尾等距离的对称形式的方程，叫做倒数方程。如ax4+bx3+cx2+dx+e=0,其中，ae,bd或者a=-e,b=-d2、性质：倒数方程有三条重要性质：（1）倒数方程没有零根；1（2）如果a是方程的根，则也是方程的根；a（3）奇数次倒数方程必有一个根是-1或者1，分解出因式(x+1)或(x-1)后降低一个次数后的方程仍是倒数方程。3、倒数方程求解方法：如果ax4+bx3+cx2+dx+e=0是倒数方程，由于倒数方程没有2211零根，即x0,所以，方程两边同除以x得：a(x+2)+b(x+)+e=0,xx11令x+=y,x2+=y2-2,即原方程变为：xx21ay2+by+(e-2a)=0,解得y值，再由x+=y，解得x的值。x例1解方程2x4+3x3-16x2+3x+2=0解：x20方程两边同除以x2得：2322112x+3x-16++2=0,即2（x+2）+3（x+）-16=0,xxxx12112[（x+）-2]+3（x+）-16=0,令x+=y,代入方程整理xxx251得：2y+3y-20=0,解之得：y1=-4,y2=即x+=-4,2xx2+1=-4x,x2+4x+1=0,22bb4ac44411412423x=====-23,2a222x1=-2+3,x2=-2-315又x+=2x2+2=5x,2x2-5x+2=0x21(2x-1)(x-2)=0x3=,x4=221经检验知x1=-2+3,x2=-2-3，x3=,x4=2都是原方程2的根。例2解方程6x5-4x4-3x3+3x2-4x-6=0解：观察该方程首尾等距离对应项系数互为相反数，且最高次幂项数是奇数，有根x=1,方程两边同除以因式（x-1）得：6x4+10x3+7x2+10x+6=0，方程两边同除以x2并整理得：211126x+10x70,令y=x得6y10y50x2xx5555551555y1,y2方程x+无实数66x61555555105564解：x得：x2,3x612555105564经检验知：x11,x2是原方程的实数根。12点评讲析：例1、例2这些倒数方程的特征是首尾等距离对应项系数相等，用一般 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式表述为ax4+bx3+cx2+dx+e=0,其中a=e,b=d,或者a=-e,b=-d对首尾对应项系数相等的方程，我们一眼就能发现是“倒数方程”，两边同除以x2,化成可用“换元法”替解的一元二次方程求解。但有些方程，首尾等距离对应项系数不相等，2但这些系数又有这样的规律：如ax4+bx3+cx2+k?bxk?a0(a0)即常数项可以分解成同四次项系数相同的数字“a”和另一个因数“k2”的乘积，一次项系数可分解出同三次项系数相同的数字b和与常数项k2相同的数字k的乘积，凡是具有这样规律特征的方程，也可以用“倒数方程求根法”来解答。例3：x4+5x3+2x2+20x+16=022解：e1641k?a，d=20=45k?b属于倒数方程的“特例形式”，可用“倒数方程求根法”求解。2016原方程两边同除以x2得：x2+5x+2+0，xx221644216x25x20设y=x+,则xy8xxxx2即：y2+5y-6=0y=-6或1,当y=-6时，4x+6,x35x4当y=1时，x+1(无实数根)x135,x235x四、双二次方程及推广形式求根法双二次方程有四种形式：第一种是 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 式，如：ax4+bx2+c=0,此时设y=x2原方程化为含y的一元二次方程ay2+by+c=0，求出y值在代入x2之值，从而求出x之值。第二种形式双二次方程的推广形式。如：（ax2+bx+c）2+m(ax2+bx+c)+d=0,此时设y=(ax2+bx+c),也可转化为含y的一元二次方程y2+my+d=0,解出y值代入ax2+bx+c=y从而求出原方程的根x之值。第三种形式是(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)+m=0,此时，方程左边按照“创造相同的多项式，换元替换”的要求，将（x+a）(x+c);(x+b)(x+d)结合（一般是最小数与最大数，中间数与中间数组合），展开相乘，创造相同的多项式（ax2+bx+c）或成比例的多项式m(ax2+bx+c),然后设y=ax2+bx+c,将原方程转化为含y的一元二次方程y2+my+e=0,求出y值，将y值代入ax2+bx+c=y求x之值。第四种形式是（x-a）4+(x-b)4=c的形式，此时，将“-a”换ab成“+b”或将“-b”换成“+a”，利用y=x+,消去x的三244abab次项和一次项，变成双二次方程y+y的形式求解。22例1解方程x4+3x2-10=0解：本例属于双二次方程标准式ax4+bx2+c=0的形式，直接设y=x2,则原方程化为：y2+3y-10=0(y+5)(y+2)=0y=-5或22者y=2x5(舍去)，x=2,x1=2，x22例2解方程（x2-3x+2）2=9x-3x2-2解：本例属于双二次标准方程ax4+bx2+c=0推广形式的第二种类型（ax2+bx+c）2+m(ax2+bx+c)+d=0，因为括号内的二次三项式和括号外的二次三项式经过整理，对应项系数成比例，即：(x2-3x+2)2+3(x2-3x+2)-4=0设y=x2-3x+2,则原方程转化为y2+3y-4=0y4，或者y=1x2-3x+2=-4,x2-3x+6=00无实数根,x2-3x+2=1,x2-3x+1=0353535x=原方程的根x1=,x2=222例3解方程(x+2)(x+3)(x+8)(x+12)=4x2解：本例 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 属于双二次标准方程ax4+bx2+c=0推广形式的第三种类型（x+a）(x+b)(x+c)(x+d)+m=0,这种方程解答的核心要领是“创造可供设y换元的相同多项式”。根据这个要求，只有将（x+2）(x+12)和(x+3)(x+8)组合（最小数2和最大数8组合，中间数3和8结合），才能创造出“相同”的多项式“x2+24”,即2222x14x24x11x244x，设yx24则原方程转化为(y+14x)(y+11x)=4x2,y2+25xy+150x2=0,(y+10x)(y+15x)=0y+10x=0或y+15x=0,y+10x+24=0或2y+15x+24=0,x+10x+24=0,x1=-4x2=-6;21512915129x+15x+24=0,x,x32215129x42例4解方程(x-6)4+(x-8)4=16解：本题属于双二次标准方程ax4+bx2+c=0推广形式的第四种类型（x-a）4+(x-b)4=c的形式。x6x8x7(x-6)4+(x-8)4=(x-7+1)4+(x-7-1)4,244设y=x-7则原方程转化为:y1y116,2222y1y116,(y4+4y2+1+4y3+2y2+4y)+(y4+4y2+1-4y322+2y2-4y)=16y4+6y-7=0,y7y10,y2=-7或222y=1,y=-7无解；y=1,y=1x-7=1x1=8x2=6原方程有根x1=8x2=6ab点拨提醒：凡是(x+a)4+(x+b)4=c类型，设yx,将双2二次方程(x+a)4+(x+b)4=c转化为2222abab2222y+yc,利用abab，消去x22的三次项和一次项，变为含y的双二次方程ay4+by2+c=0求解