初三二次函数最后一题答案

二次函数综合题型精讲精练题型一：二次函数中的最值问题例1:如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A〔-2,-4〕，O〔0,0〕,B〔2,0〕三点.〔1〕求抛物线y=ax2+bx+c的解析式;〔2〕假设点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值.0/\]y=ax2+bx+c中，得解析：〔1〕把A〔-2，-4〕，O〔0，0〕，B〔2，0丨三点的坐标代入4a-2b+c=-4匸二0解这个方程组，得a=-4；，b=1，c=0所以解析式为y=-士x2+x.由y=--x2+x=-—〔x-1〕2+厶，可得抛物线的对称轴为x=1，并且对称轴垂直平分线段OB•••OM=BM•••OM+AM=BM+AM连接AB交直线x=1于M点，那么此时OM+AM最小过点A作AN丄x轴于点N，在Rt△KBN中，AB=〔订「=、：-J=4'二，因此OM+AM最小值为止.方法提炼：一条直线上一动点M和直线同侧两个固定点A、B,求AM+BM最小值的问题，我们只需做出点A关于这条直线的对称点A'，将点B与A'连接起来交直线与点M,那么A'B就是AM+BM的最小值。同理，我们也可以做出点B关于这条直线的对称点B'，将点A与B'连接起来交直线与点M，那么AB'就是AM+BM的最小值。应用的定理是：两点之间线段最短。或者B〔3，0〕、C〔0，3〕三点.例2:如图，抛物线经过点A〔-1，0〕、〔1〕求抛物线的解析式.〔2丨点M是线段BC上的点〔不与B，C重合〕，过M作MN//y轴交抛物线于N，假设点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长.〔3〕在〔2〕的条件下，连接NB、NC,是否存在m，使ABNC的面积最大？假设存在，求解析：1〔1〕设抛物线的解析式为：y=a〔x+1〕〔x-3〕，贝U：a〔0+1〕〔0-3〕=3，a=-1;•••抛物线的解析式：y=-〔x+1〕〔x-3〕=-x2+2x+3〔2〕设直线BC的解析式为：y=kx+b，那么有:fk=-l〔23，解得佔故直线BC的解析式：y=-x+3.点M的横坐标为m，贝UM〔m,-m+3〕、N〔m,-m2+2m+3〕;•••故MN=-m2+2m+3-〔-m+3〕=-m2+3m〔0vmv3〕.〔3〕如图；TS/BNC=S△MNC+SZMNB=」MN〔OD+DB〕=3mnxob,22/•Szbnc=1〔—m2+3m〕X3=-、’〔m—J〕2+~〔0vmv3〕；H[228•••当m='-W,ABNC的面积最大，最大值为=.2S)\•LODA"方法提炼：因为ABNC的面积不好直接求，将经NC的面积分解为△MNC和△MNB的面积和然后将ABNC的面积表示出来，得到一个关于m的二次函数。此题利用的就是二次函数求最值的思想，当二次函数的开口向下时，在顶点处取得最大值；当二次函数的开口向上时，在顶点处取得最小值题型二：二次函数与三角形的综合问题例3:如图，：直线yx3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C:1，0〕三点.〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕假设点D的坐标为〔-1，0〕，在直线yx3上有一点P,使△ABO与△ADP相似，求出点P的坐标；〔3〕在〔2〕的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点丘，使△ADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由.解：〔1〕：由题意得，A〔3,0〕，B〔0,3〕•••抛物线经过A、B、C三点，•••把人〔3,0〕，B〔0,3〕，C〔1,0〕三点分别代入yax2IbxIc得方程组TOC\o"1-5"\h\z9a3bc0a1c3解得：b4abc0c3•••抛物线的解析式为y—x24x3•••△AB为等腰三角形，•△是AD腰三角形，由三ISE1线合一可得：DM=AM=2=P2M，即点M与点C重合/.P2〔1，2〕〔3丨如图设点E(x,y)，那么Sade2AD|y|2|y|①当Pi(-1,4)时，S四边形AP1CE=SZACP1+SZACE=4|y•••2y—4Iy•••y—4•••点E在x轴下方•y=-4代入得：x—4x—3=—4,即卩x4x70•.•△(-4)2-4X7=-12<0•此方程无解122iyi②当P2〔1，2〕时，S四边形ap2ce=S三角形acp2+S三角形ace=21y•2y—2Iy•y—2•点E在x轴下方••[=—2代入得：x?—4x—3=—2即x24x50,•△(-4)2-4X5=-4<0•此方程无解综上所述，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E。方法提炼：①求一点使两个三角形相似的问题，我们可以先找出可能相似的三角形，一般是有几种情况，需要分类讨论，然后根据两个三角形相似的边长相似比来求点的坐标。②要求一个动点使两个图形面积相等，我们一般是设出这个动点的坐标，然后根据两个图形面积相等来求这个动点的坐标。如果图形面积直接求不好求的时候，我们要考虑将图形面积分割成几个容易求解的图形例4:如图，点A在x轴上，0A=4，将线段0A绕点0顺时针旋转120。至OB的位置.〔1〕求点B的坐标；〔2丨求经过点A.0、B的抛物线的解析式；〔3〕在此抛物线的对称轴上，是否存在点P,使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？假设存在，求点P的坐标；假设不存在，说明理由.解析：〔1〕如图，过B点作BC丄x轴,垂足为C,那么ZBCO=90°,vZAOB=120°BOC=60°,又•••0A=0B=4,•OC」OB=：X4=2,BC=OB?sin60•点B的坐标为〔-2,-2:■：］;〔2〕•••抛物线过原点0和点A.•••可设抛物线解析式为y=ax2+bx将A〔4,0〕，B〔-2.-2迟〕代入,16al-4b=04a-2b=-體'解得•此抛物线的解析式为y=-・.2+二；〔3〕存在,如图，抛物线的对称轴是x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为〔2,y〕,假设OB=OP,那么22+|y|2=42,PDO=90°,sinZ解得y=±2当y=2亘时，在Rt△PODK:丄POD=60:丄POB=ZPOD+ZAOB=60°+120即P、O、B三点在同一直线上，y=2j不符合题意，舍去，•••点P的坐标为〔2,-2S]假设OB=PB，那么42+|y+2〒=42,解得y=-2:■:，故点P的坐标为〔2，-2.〕假设OP=BP，那么22+|y|2=42+|y+2.:;|2，解得y=-2*；，故点P的坐标为〔2，-2「〕，综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为〔2，-2.；〕,方法提炼：求一动点使三角形成为等腰三角形成立的条件，这种题型要用分类讨论的思想。因为要使一个三角形成为等腰三角形，只要三角形的任意两个边相等就可以，所以应该分三种情况来讨论。题型三：二次函数与四边形的综合问题例5:综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A.B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点.〔1〕求直线AC的解析式及B，D两点的坐标；〔2丨点P是x轴上一个动点，过P作直线I//A交抛物线于点Q,试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A.P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？假设存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；假设不存在，请说明理由.〔3丨请在直线AC上找一点M，使△BD的周长最小，求出M点的坐标.解析：〔1〕当y=0时，-x2+2x+3=0，解得xi=-1,x2=3.•••点A在点B的左侧，•••A.B的坐标分别为〔-1，0〕，〔3，0丨.当x=0时，y=3.•••C点的坐标为〔0，3〕C/[%卜1Q了V「且1二3•直线AC的解析式为y=3x+3设直线AC的解析式为y=kix+bi〔ki丸〕〕，'/y=-x2+2x+3=-〔x-1〕2+4，•顶点D的坐标为〔1，4丨.〔2丨抛物线上有三个这样的点Q，当点Q在Q1位置时，Q1的纵坐标为3,代入抛物线可得点Q1的坐标为〔2，3〕;当点Q在点Q2位置时，点Q2的纵坐标为-3，代入抛物线可得点Q2坐标为〔1+邑，-3〕；当点Q在Q3位置时，点Q3的纵坐标为-3，代入抛物线解析式可得，点Q3的坐标为〔1-士i，-3〕；综上可得满足题意的点Q有三个，分别为:Qi〔2,3〕，Q2〔1+才7■，—3〕，Q3〔1—V^,—3〕.(3)点B作BB'AC于点F,使B'F=BF，贝UB'为朋关于直线AC的对称点.连接B'D交直线AC与点M，那么点M为所求,过点B'作TE丄x轴于点E.v/1和Z2都是/3的余角,••Rt△KOC〜Rt△KFB,co_ca由A〔—1,0〕，B〔3,0〕，C〔0,3丨得0A=1,0B=3,0C=3,•••AC=」,AB=4.•••BB'=2BF=24由Z1=Z2可得Rt△KOC"Rt△B'EB,•••OE=BE-0B=1353&5屮EBE123=•••B'点的坐标为〔2112,设直线B'的解析式为rk24b2=4•2112「电计砖亏，•直线B'D的解析式为:y=k2x+b2〔k2却〕.y==x+—,‘尸3灶3联立B'D与AC的直线解析式可得：彳448，•••M点的坐标为935,35方法提炼：求一动点使四边形成为平行四边形成立的条件，这种题型要用分类讨论的思想,般需要分三种情况来讨论题型四：二次函数与圆的综合问题例6:如图，半径为2的OC与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B,点C的〔小〕值.得子93bc0，解得:解析：〔1〕如答图1,连接0B.•••BC=2,0C=1TOC\o"1-5"\h\z•••0B=413二B0,.3〕将A〔3,0:,B:0,73丨代入二次函数的表达式-23b3,3V322^3…y—xx33〔2〕存在.交点即为得YA23x33.32；解得x1乎,•••P如答图3，作MH丄x轴于点H.〔Xm，Ym〕，1贝USamab=S梯形mboh+S△mha—Saoa=〔MH+OB211?OH+—HA?MH—-OA?OB2=-(Ym3)Xm2211■(3Xm)ym3.322Xm233•ym23Xm■3X2m1(233冷]m23323(Xm2)2983228•••当冷3时，S辭取得最大值’最大值为琴-题型五：二次函数中的证明问题1例8:如图11，二次函数y—(x2)(axb)的图像过点48A(-4，3〕，B(4,4).〔1〕求二次函数的解析式：〔2〕求证：△ACB是直角三角形；〔3〕假设点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH垂直x轴于点H，是否存在以P、H、D、为顶点的三角形与△ABC相似？假设存在，求出点P的坐标；假设不存在,请说明理由。1解：〔1〕将A(-4，3〕，B(4，4)代人y(x2)(axb)中，整理得:484a-b724ab3213-20a解得b1•••二次函数的解析式为：y亦(x2)(13x-2。)，〔2〕由132x4815x--860整理213x6x-400捲2,x22013整理得：13215yxx--4886•••C〔-2，0〕D(20，)从而有：AC2=4+9BC2=36+16AC2+BC2=13+52=65AB2=64+1=65•AC2+BC2=AB2故△ACB是直角三角形1315〔3〕设p(x，一x2-x--)〔X<0〕4886PH=®x2lx-54886①当APHDs/ACB时有:20HD=-xI3PHACAC=13BC=213HDbc13215xx--即:4886^1320-x13213整理132x245I25x-043950••x〔-13(50Pi(13X220I3此时,yi3513②当ADHPs/ACB时有:DHACPHbc20-x即:13=^/131321x48213整理I3x4817305x-87812213“122284P2(-，1313XiX22013此时,yi284135035综上所述，满足条件的点有两个即Pi〔帀帀〕题型六：自变量取值范围问题例10:如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，顶点A.C.D均在坐标4轴上，且AB=5，sinB=J.〔1〕求过A.C.D三点的抛物线的解析式;〔2〕记直线AB的解析式为yi=mx+n，〔1〕中抛物线的解析式为y2=ax2+bx+c，求当yi