(完整版)整数裂项

(完整版)整数裂项3整数裂项基本公式1...(n1)n(n3345...(n2)整数裂项1)(nn(n1)1)1(n2)(n1)n(n1)4【例1【考点】整数裂项4L4950=_【难度】3星【题型】计算【解析】这是整数的裂项。裂项思想是：瞻前顾后，相互抵消。设S=122334L49501>2X3=1>2X32X3X3=2X3X(4—1)=2X3X4—1>2X33X4X3=3X4X(5—2)=3X4拓—2X3X449X50X3=49>50X(51—48)=49X50X51—48>49X503S=1X2X3+2X3X3+3XX3+•••...

3整数裂项基本公式1...(n1)n(n3345...(n2)整数裂项1)(nn(n1)1)1(n2)(n1)n(n1)4【例1【考点】整数裂项4L4950=_【难度】3星【题型】计算【解析】这是整数的裂项。裂项思想是：瞻前顾后，相互抵消。设S=122334L49501>2X3=1>2X32X3X3=2X3X(4—1)=2X3X4—1>2X33X4X3=3X4X(5—2)=3X4拓—2X3X449X50X3=49>50X(51—48)=49X50X51—48>49X503S=1X2X3+2X3X3+3XX3+•••+49X50X3=49>50X51S=49X50X51七=41650【答案】41650【巩固】【考点】整数裂项【解析】所以原式101118910313另解:910由于原式121133022，所以92122292101910330采用此种方法也可以得到这一结论.【答案】330【例2】【考点】整数裂项1447710L49【难度】52=_3星【题型】计算1223344556677889910_难度】3星【题型】计算本题项数较少，可以直接将每一项乘积都计算出来再计算它们的和，但是对于项数较多的情况显然不能这样进行计算•对于项数较多的情况，可以进行如下变形：nn1n2n1nn1【解析】设S=1447710L49521X4>9=1用X7+1用>24XX9=4XX(10-1)=4XX0—1X4X7X10X9=7X0X(13—4)=7X10X3—4>7X049X52>9=49X2X(55—46)=49X52X55—46X49X29S=49>52>55+1X4XS=(49>52>55+1X4X)为=15572【答案】15572【例3】123234345L91011【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】nn1n21nn1n2n31n1nn1n2,所以，441原式112341234511234L1910111218910444441910111229704从中还可以看出，123234345Lnn1n12nn1n2n34【答案】2970【例4】计算：135357L171921【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】可以进行整数裂项.579113579821171921231517191719218所以原式35791357135L817192123135713581719212315171921817192123135195038也可适用公式.原式3233252552L192191923222352225L19222193353L193435L19133353L1934135L19而133353L193132333L203234363L20312022128110211219900,44135L19102100,所以原式199004100319503.【答案】19503【巩固】计算：123434565678L979899100【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】一般的整数裂项各项之间都是连续的，本题中各项之间是断开的，为此可以将中间缺少的项补上,再进行计算.记原式为A，再设B234545676789L96979899，则AB123423453456L9798991001-9798991001011901009880，5现在知道A与B的和了，如果能再求出A与B的差，那么A、B的值就都可以求出来了.AB12342345345645675678L9798991004(123345567...979899)42(221)42(41)62(61)L98(9821)4(234363L983)4(246L98)481492502:.14-100)4948101020042所以，A1901009880，480102002974510040.【答案】974510040【例5】20042003200320022002200120012000L21【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】原式2003220012L32122135L20012003212003100222008008其中也可以直接根据公式1357L2n1n2得出2135L200120031002【答案】2008008【例6】11!22!33!L20082008!【考点】整数裂项【难度】4星【题型】计算【解析】观察发现22!221(31)213!2!,33!3321(41)3214!3!,……20082008!200820082007L21(20091)20082007L212009!2008!，可见，原式1!⑵1!)(3!2!)L(2009!2008!)2009!【答案】2009!【例7】计算：123456L991002345L9899【考点】整数裂项【难度】5星【题型】计算【解析】设原式:=BAAB122334L9899991001123012234123L99100101989910031991001013333003BA1232L992501005000B33330050003383A33330050003283【答案】33833283

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