泛函的极值

第2章泛函的极值在讨论泛函的极值以前,我们先来回顾一下函数的极值问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 。2.1函数的极值性质2.1.1函数的连续性f(x),x(x,x,...,x)TRn任意一个多元函数12n,0,如果()0,当xxxO(,)x0(或者说0)时,有f()()xfx0f(x0)limf(x)f()xxxx那么,我们称在0处是连续的,记为0。2.1.2函数的可微性A(,,)AARTn更进一步,如果存在1n,使得f(,,,,)()x01xix0nfx0Ailim,1inxx0xix0ix那么我们称f()x在0处是可微的,或者说存在(一阶)导数,记为f'(x)A或者记为Tfffff'(x),,...,x1x2xn其中为梯度算子(或者Hamilton算子,见附1)。同理,可以定义该函数的两阶导数f"(x)2f2f2fx2xxxx1121n2f2f2f2Dff"(x)x2x1x2x2xn2f2f2f2xnx2xnx2xn及更高阶导数。这里Df也称为Jacobi矩阵。x如果函数f()x在某点0足够光滑,那么我们就可以在该点附近把函数作以下的展开122f(x0dx)f(x0)df2!dfo(dx)Tdfdxf(x0)2TdfdxDf(x0)dx2其中o()为高阶小量,df,df分别为函数f()x的一阶微分和两阶微分。换个角度来看,如果12f(x0d)xf()x0L(,d)x0x2!Q(,d)x0xo(d)xL(x,dx)Q(x,dx)L(x,dx)其中0为dx的线性函数,而0为dx的两次函数,那么0为f()xQ(x,dx)的一阶微分,0为f()x的两阶微分。2.1.3函数的极值xO(,)xf()()xfx对于足够小的0,如果0，总有0,那么我们称f()x在xxO(,)xf()()xfxx0有极大值。如果0，总有0,那么我们称f()x在0有极小值。O(,){}xxxx这里00为x0的邻域。xx如果f()x在某一点0附近足够光滑,那么f()x在0有极值的必要条件为Tdfdxf(x0)0或者说f(x0)0Df(x)0x更进一步,如果0,那么f()x在0有极大(小)值的充分条件为Tdfdxf(x0)021Tdf2!dxDf(x0)dx0(0),dx0或者说是f(x0)0Df(x0)0(0)其中Df(x0)0 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示是负定矩阵。2.2泛函的极值2.2.1函数的邻域yy(x)定义在区间(,)ab上的函数0的一阶邻域定义为:对于0,始终满足y()(),(,)xy0xxaby'(x)y'0(x),x(a,b)我们称同时满足上述两式的函数y()x的集合是y0()x的一阶邻域。同样可以定义函数的高阶邻域。2.2.2泛函的极值0变分引理（变分法基本引理）:如果函数f(x)C[a,b],对于在[a,b]上满足(a)(b)0的、足够光滑的任意函数(x),如果总是成立bf(x)(x)dx0a那么在x(,)ab必有f(x)0x(a,b)f(x)0f(x)0证明:用反证法。假设有0使得0,不失一般性设0。由0f(x)C[a,b],一定存在0,使f(x)0,x[x0,x0](a,b)这样我们总可以构造下面一个连续函数(x)()(),(,)x3x3x()x0,x(,)其中x0,x0可以证明()(,)xC2ab这样bx0f()()dxxxf()()dxxx0ax0显然与引理条件矛盾,所以对于任意的x[a,b]都有f(x)0以上结果容易推广到二维或更高维的情形。yy(x)J[y]如果泛函J[y]在0的一阶邻域内都不大(小)于0,那么我们称泛函yy(x)J[y]在0有极大(小)值。也就是说J[][]yJyJ[][]yJy0()极小,0()极大（2.2.1）使J[y]取到极值的函数称为极值函数。下面从最简单的泛函来讨论使泛函取到极值的必要条件。bJy[]Fxyyxya(,,')d,()yyb,()ya01b*J[y]F(x,y,y')dx*如果yy()x使a取到极值,则对于yy()x的一阶邻域内的函数y()x应有J[y]J[y*]()极小或者J[y]J[y*]()极大现在用变分引理导出泛函取极值的必要条件。取y()()()xy*xxy(a)y,y(b)y由于01,因此(a)(b)0**当足够小的时候,y()x属于yy()x的邻域。当yy()x以及(x)给定以后,J[]y应该是关于的函数bJ[]yF(,xy**,'y')dxJ()a*因为J[y]在yy()x处取极值,0应该是J()的极值点。根据函数极值的必要条件dJ()|0d0这就意味着bFFd[()](x)dx0aydxy'如果令y那么有bFFdJ[()]ydx0aydxy'考虑到y的任意性，根据变分引理有FFd()0ydxy'（2.2.2）这就是该泛函极值问题的Euler方程。1如果只限定y()ay0、而放松xb处的要求，则定义域Y{yC[a,b],y(a)0}bFFFdJ[()]ydxy0axbydxy'y'（2.2.3）若yy()x是泛函J[]y在Y上的极值，限定YYo{yCabya[,],()yyb0,()yb()y1}Y则yy()x必是泛函J[]y在o上的极值，根据（2.2.2）有FFd()0,x(a,b)ydxy'(2.2.4)代入（2.2.3）并考虑y()b的任意性可得Fxb0y'(2.2.5)要使J[]y在yy()x处取极值,那么意味着必须同时满足（2.2.4）和（2.2.5）对于更一般的泛函我们同样可以得到下面的泛函极值定理。yy(x)yy(x)定理2.1如果泛函J[y]在0上达到极值，那么泛函在0上的一阶变分J满足J0证明：yy(x)y(x)根据泛函极值的定义，如果泛函J[y]在0上达到极大值,那么必定存在0JJ[y]J[y]的一个领域,对于该领域内的任何一个函数y(x),使得泛函的增量0不变号,由前面的推导(1.4.6)12JJJ2!...其中dJ[y]J|d0d2J[y]2J2|d20显然,当充分小时,J的符号由J部分确定。如果J0,我们总是可以调整的符号使得J改变符号,这与假设矛盾。因此J0是泛函有极值的必要条件。尽管J0不是泛函有极值的充分条件，但往往仍有意义。对于仅仅满足J0的泛函J，我们称在该点取驻值。2.2.3泛函的Euler方程由泛函J0所得到的微分方程（包括边界条件）称为泛函的Euler方程。例2.1bJ[y]F(x,y,y')dxa的Euler方程为FFd()0ydxy'例2.221bdyJy[]px()qxyx()d,2yayyby(),()a012dxbdydyJp(x)q(x)yydxadxdxbddyp(x)q(x)yydx0adxdx得到ddyp(x)q(x)y0dxdxy(a)y,y(b)y上式称为Sturm-Liouville方程。结合边界条件01,构成第一边值问题的Sturm-Liouville问题。例2.3J[y]u2u2dxdyGxy上述泛函可以写成J[y](uu)dxdyG其一阶变分为J2(uu)dxdyG2(uu)u(u)dxdyG根据格林公式有uJ2uds2uudxdy0GGnu0当边界上值给定时,G，可以得到相应的Euler方程u0GGGG这是一个Laplace方程。如果只在部分边界1上给定函数值，这里12，则除上述的Laplace方程外还应满足u0nG2例2.41222J[y]uxx2uxyuyydxdy2G其中u及其法向导数在G的边界G上给定。泛函的一阶变分为Juu2uuuudxdyGxxxxxyxyyyyy由于2u2u2uu2uuxxx2xyxyyyy2()uu(2uu)(uu)xxxxyxyyyuu2uuuuxyyxxxxxyyxyyyy()()uu(2uu)(uu)uu(2uu)xxxxyxyyyxxxxyyxyyxx()uuyyyuu2uuuuyxxxxxxyyyyyyuuuuuu22uuuuuuxxxxxxxxyyyxyxyyyyyyuxxxxu2uxxyyuuyyyyuuu0根据格林公式,由于u及其法向导数在G的边界G上给定,即GnG，所以有uGuxGuyG0从而Ju2uuudxdyGxxxxxxyyyyyy当泛函取极值时,根据变分引理1得到uxxxx2uxxyyuyyyy0也就是u2u0这是一个双调和方程。例2.5J[(,,)]yxyzu2u2u22(,,)dddufxyzxyzGxyzGGGGu(,,)(,,)xyzGuxyz其中u(,,)xyz在一部分边界1（12）上给定：1。泛函可以写成J[y]uu2uf(x,y,z)dxdydzG其一阶变分为J[]y2uu2(,,)dddufxyzxyzG2(uu)uuuf(x,y,z)dxdydzGu2udS2uuuf(x,y,z)dxdydzGGnu2udS2uuuf(x,y,z)dxdydzGG2n当泛函取极值时,根据变分引理2得到对应的Euler方程为uf(x,y,z),(x,y,z)Gu0,(x,y,z)Gn2这是一个Poisson方程。2.3泛函的条件极值问题2.3.1函数的条件极值问题与Lagrange乘子假设求极值的函数为ff(x1,x2,...,xn)相应的约束条件为g(x,x,...,x)0,1isi12n（2.3.1）首先,自变量的微分必须满足约束条件,也就是说ngidxj0,(i1,2,...,s)j1xj这意味着gdx0,(i1,2,...,s)i（2.3.2）也就是说dx必须与每个约束函数的梯度正交。对于极值函数f,如果在某点的梯度满足sfigi,iR(i1,2,...,s)i1那么,沿着满足约束条件的方向有sdffdxigidx0i1该点也就是条件极值点。反之,如果要求沿着满足约束条件的方向有dffdx0必须有sfigi,iR(i1,2,...,s)i1这样,就有*f0（2.3.3）而s*ffigii1（2.3.4）R(i1,2,...,s)所以对于约束极值问题,我们可以通过引进拉格朗日乘子i来构造一个新*的函数，可以把原来的条件极值问题转化为新函数f的无条件极值问题。2.3.2存在代数约束下的泛函极值泛函为bJyy[,,...,y]Fxyy(,,,...,yyy;',',...,yx')d12na12n12n（2.3.5）约束条件(x,y,y,...,y)0(i1,2,...,s)i12n（2.3.6）注意∶上述约束是(,)ab上的恒等式，所以引入的是Lagrange函数、而不是Lagrange乘子。(x),(x),...(x)可以通过引进Lagrange函数12s,把它转化成下面新泛函的无条件极值问题bJyyy*[,,...,;,,...]Fxyyyyyy*(,,,...,;',',...,';,,...)dx12n12sa12n12n12ssF*()Fixii1（2.3.7）(x),(x),...(x)这里Lagrange函数12s是新泛函的自变函数，相应的Euler方程为FF*d*()0ydxy'ii,(i1,2,...,n)（2.3.8）以及(x,y,y,...,y)0i12n,(i1,2,...,s)y,y,...,y;,,...这样共有个ns方程(恒等式)来决定ns个未知函数12n12s。例3.6第1章的短程线问题x22J[y,z]11y''zdxx(x,y,z)00,新的泛函为x1''22J*1yz(x)(x,y,z)dxx0相应的Euler方程为dy'(x)0y22dx1y''zdz'(x)0z22dx1y''z(x,y,z)02.3.3存在微分约束下的泛函极值泛函为bJyy[,,...,y]Fxyy(,,,...,yyy;',',...,yx')d12na12n12n约束条件(x,y,y,...,y;y',y',...,y')0(i1,2,...,s)i12n12n（2.3.9）(x),(x),...(x)上述约束仍是(,)ab上的恒等式，通过引进Lagrange函数12s,把它转化成下面新泛函的无条件极值问题bJyyy*[,,...,;,,...]Fxyyyyyy*(,,,...,;',',...,';,,...)dx12n12sa12n12n12ssF*()Fixii1（2.3.10）(x),(x),...(x)这里Lagrange函数12s是新泛函的自变函数.相应的Euler方程为FF*d*()0ydxy'ii,(i1,2,...,n)（2.3.11）以及(x,y,y,...,y;y',y',...,y')0i12n12n,(i1,2,...,s)2.3.4存在积分约束下的泛函极值泛函为bJyy[,,...,y]Fxyy(,,,...,yyy;',',...,yx')d12na12n12n约束条件为x1(x,y,y,...,y;y',y',...,y')dx,(i1,2,...,s)xi12n12ni0（2.3.12）注意：与前面不同，这里约束条件为s个数值等式，而不是恒等式。从而可以通过引进,,...Lagrange12s乘子（而不是函数）,把它转化成下面新泛函的无条件极值问题J*[y1,y2,...,yn;1,2,...s]bsF*(x,y,y,...,y;y',y',...,y';,,...)dxa12n12n12sjjj1sFF*jjj1（2.3.13）与新变分问题对应的Euler方程为FF*d*()0ydxy'ii,(i1,2,...,n)（2.3.14）以及x1(x,y,y,...,y;y',y',...,y')dx,(i1,2,...,s)xi12n12ni0y,y,...,y注意，现在有n个微分方程(恒等式)和s个数值等式,去决定n个未知函数12n和s个未知数1,2,...s。例2.7悬索问题。已知空间两点A,B以及一条长为lAB的绳索,假定绳索的长度不可改变,而弯曲刚度是可以忽略不计。现把绳索的两端悬挂在AB两点,求平衡时候绳索的形状。取和最速降线问题一样的坐标系（图1.2）,记绳索的方程为yy(x)那么边界条件为y(x0)0,y(xa)b绳索的长度满足a1(y')2dxl0根据最小势能定理,在平衡状态下绳索的势能最小amgy1(y')2dxmin0其中m是绳索单位长度的质量。也就是说aMy1(y')2dxmax0为了求得上述的条件极值问题,我们引入新的泛函aaM*y1(y')2dx1(y')2dxl00a(y)1(y')2dxl0由新泛函的极值条件得到d(y)y'1(y')20dx21(y')a1(y')2dxl0例2.8等周问题为一积分约束下的变分问题.1J[x,y](xy'yx')ds2ll(x')2(y')2ds0例2.9在约束条件u2d1G下使泛函Ju[]Fxyzuuuu(,,,,,,)dVGxyz取极值的函数满足Euler方程FdFdFudFuxyuzuudxdydz12Fp()uqu当2时，Euler方程为()puquu这是个特征值问题。约束条件表示的是一个归一化条件。在后面我们会详细讨论该问题。2.4变分问题中的边界条件图2.1可动边界下面我们讨论泛函xJ[y]1F(x,y,y')dxx0极值问题中的边界条件。如果该泛函自变函数yy()x的边界位置为x0,x1，那么相应的边界条件可以分为：y(),()xyyxy(1)固定边界:边界位置固定，边界上函数值固定，0011；x,xy,y(2)自由边界:边界位置固定，边界上函数值自由，01固定，01自由；x,xy,y(3)可动边界:边界位置不定，边界上函数值不定，01不定，01也不定；(x,y)0,(x,y)0(4)约束边界:边界在固定的曲线(或者曲面)上，000111。自由边界条件可视为特殊的约束边界条件：x0const,x1const。也可以考虑混合组合，譬如一端是固定的、另一端是自由的，等等。为简单起见，假设在xx0处是固定边界，xx1是自由、可动或约束边界，而泛函为xJ[y,x]1F(x,y,y')dx1x0J[,]yxx这里1表示泛函自变量为自变函数y和边界的位置1。计算J[,][,]yyx1x1Jyx1xxx11Fxy(,yy,yx)d1Fxyyx(,,)dxx00x1FFdF(x,y,y)x[()]ydxx11x0ydxyFy(,)yxx11y(2.4.1)由J0可得FFd()0,x(x0,x1)ydxy(2.4.2)FF(x,y,y)xy0,xxx11x11y(2.4.3)xx(1)1是自由边界x0此时1，(2.4.3)式变成FFy00x1x1yy(2.4.4)xx(2)1是可动边界:注意到(见图2.1)y1(yy)(x1x1)y(x1)y()()()x1yx1x1yx1y()()x1yx1x1y()x1代入(2.4.3)，则边界条件变为FF(F(x,y,y)y)xy0,xxx11x111yy(2.4.5)这样可得xx1处的边界条件FF(F(x,y,y)y)0,0x1x1yy(2.4.6)xx(x,y)0(3)1是约束边界:边界在固定的曲线(或者曲面)上，111,此时11x1y10x1y1考虑到(2.4.5),可得(约束)边界条件FFF(,,)xyyyyy//xx1yx11111(2.4.7)加上约束边界函数(x,y)0111(2.4.8)即得xx1处的完整的边界条件。象自由边界条件(2.4.4)、可动边界条件(2.4.6)和约束边界条件中(2.4.7)可以通过泛函取驻值(J0)得到，我们称为自然边界条件。反之，固定边界条件和约束边界条件中(2.4.8)是泛函定义域中规定了的，我们称为固定边界条件。控制方程(2.4.2)和自然边界条件合称为Euler方程。例2.10J[(,,)]uxyzp()u2qu22dfuVp(2guhu2)dSGG其一阶变分为J[]y2puu2quu2dfuVp(22)dguhuuSGG2(puu)u(pu)quufudV2p(guhuu)dSGGu2(pu)qufudV2p(hug)udSGGn根据J[y]0得到Euler方程()puquf及自然边界条件uhug0nGx(a)xy()x例2.11左端在xa处固定0,右端在11上移动。在右端要求满足FF(F(x,y,y)y)xy0,xxyx11yx111所以在右端有FF(x,y,y)'(x)y'0,xxy'1xJ[y]11y'2dx例2.120；左端x0,y0，而右端在上移动:y(x1)21112（a）控制方程为y/1y'2C所以极值曲线为yax(b)由于2(x11)dx1-dy10在右端边界上满足条件FFF(,,)xyyyyyx1x12(1x1)1考虑到1y'Fy',Fy''Fy1y'21y'2所以有1[12(1x)y]x01y'21(c)由(a)、(b)和(c)可解答4a34a2101x112a1y114a22x,y即a为满足上述三次方程的一个实根，从而可以得到11。也可以通过引进Lagrange乘子把固定边界问题转换成自由边界问题，如bJy[]Fxyyxya(,,')d,()yyb,()ya01新泛函为bJy*[,,]Fxyyx(,,')d(|yy)(|yy)12a1a02b12.5Hamilton原理以相空间作为描述对象，一个力学系统的动能可以表示为TT(q1,q2,...,qn;q1,q2,...,qn)其中，q1,q2,...,qn为广义坐标，q1,q2,...,qn为广义速度。势能可以表示为VV(q1,q2,...,qn)定义Lagrange函数为L(q,q,...,q;q,q,...,q)TV12n12n（2.5.1）定义Hamilton泛函为tHfL(q,q,...,q;q,q,...,q)dtt12n12n0（2.5.2）ttHamilton原理：给定初始时刻0以及终止时刻tt1的状态（位置），在所有可能的运动中，真实的运动应该使得Hamilton泛函取极小值，也就是说tHfL(q,q,...,q;q,q,...,q)dtmint12n12n0（2.5.3）H0（2.5.4）例2.13弹簧的自由振动问题tT1mx2,V1kx2,H1f(mx2kx2)dt222t0Hamilton泛函的变分为tHf(mxxkxx)dtt0tfmxx|tf(mxxkxx)dtt0t0tf(mxkx)xdt0t0由极值条件得到运动方程为mxkx0例2.14单摆。为均匀摆杆的（线）密度，M是小球的质量，L是摆杆长。图2.2单摆和双摆左图中单摆LT1(x)2dx1M(L)211L3ML222022312V2Lg(1cos)MgL(1cos)tHf(TV)dtt0H0运动方程11(3LM)L(2LM)gsin0至于右图中的双摆问题，留作读者自行解决。例2.15：Euler-Bernouillie梁弯曲的振动问题。22lldwT1w2dx,V1EIdx20202dxtHf()TVdtt0其中l为梁的长度，为梁单位长度的质量，w为梁的挠度,EI为梁的弯曲刚度。动能中已略去梁单元转动的动能。Hamilton泛函的变分为22tfldwdwHwwEIdxdtt0220dxdxlltftfwwdx|tf(wEIw)wdtdxEIwwEIwwldt0t00txxxxtxxxxxx000tltfwEIwwdxdtfEIwwEIwwldtt0xxxxtxxxxxx000由泛函极值问题得到梁的振动方程wEIwxxxx0而边界条件可从tfEIwwEIwwldt0txxxxxx00得到，譬如梁弯曲的自然边界条件为wxx0,wxxx0习题1.在条件u(x,0)0,u(x,1)1下，求下列泛函的极值11F[u]euysinudxdyy002.求长度为lba曲线y(x),y(a)y(b)0，使得它与线段axb所围的面积最大。3.已给定侧面面积，试求体积最大的旋转体。y(x)(x),y(x)(x)4.在条件0011下，求下列泛函的变分xF[y]1[y2y2]dxx05.由Hamilton原理推导弦振动方程。