第37讲　空间几何体的表面积与体积

第七单元　立体几何1.知识网络2.课时安排本单元包括7讲、1个增分微课、1个小 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 必刷卷、1个解答必刷卷、1个单元测评卷,每讲建议1课时完成,1个增分微课建议1课时完成,1个小题必刷卷建议1课时完成,1个解答必刷卷建议1课时完成,1个单元测评卷建议1课时完成,本单元大约共需10课时课前双基巩固课堂考点探究教师备用习题第七单元立体几何第37讲　空间几何体的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 面积与体积课程 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 1.利用实物、计算机软件等观察空间图形,认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征,能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式,能用公式解决简单的实际问题.3.能用斜二测法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合)的直观图.1.空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形名称棱柱棱锥棱台底面互相　　且　　 多边形互相　　　 侧棱　　　　　 相交于　　　　,但不一定相等 延长线交于　　　 侧面形状　　　　　 　　　　 　　　 平行全等平行平行且相等一点一点平行四边形三角形梯形(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形名称圆柱圆锥圆台球母线互相平行且相等,　　　　于底面 相交于　　　 延长线交于　　  轴截面全等的　　　 全等的　　　　 全等的　　　　　 　　　 侧面展开图　　　 　　　 　　　  垂直一点一点矩形等腰三角形等腰梯形圆矩形扇形扇环2.斜二测画法(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中x'轴、y'轴的夹角为　　　　,z'轴与x'轴和y'轴所在平面　　　　. (2)原图形中平行于坐标轴的线段在直观图中仍　　　　　　　,平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度　　　　,平行于y轴的线段在直观图中长度为　　　　　　.45°或135°垂直平行于坐标轴不变原来的一半名称圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧=　　　 S圆锥侧=　　　 S圆台侧=　　　　 3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式2πrl　πrl　π(r+r')l　　　　　名称几何体　　表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积=S侧+2S底V=　　　 锥体(棱锥和圆锥)S表面积=S侧+S底V=　　　 台体(棱台和圆台)S表面积=S侧+S上+S下球S=　　　 V=　　　 4.空间几何体的表面积与体积公式S底h　　S底h 　4πR2　(其中柱体、锥体、台体的高为h,球的半径为R)　πR3 常用结论1.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形面积的关系如下:S直观图=S原图形,S原图形=2S直观图.2.多面体的内切球与外接球常用的结论:(1)设正方体的棱长为a,则它的内切球半径r=,外接球半径R=a;(2)设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,则它的外接球半径R=;(3)设正四面体的棱长为a,则它的高为a,内切球半径r=a,外接球半径R=a.  题组一　常识题1.[教材改编]已知圆锥的侧面积等于底面积的2倍,则该圆锥的侧面展开图的圆心角为　　　　. [解析]设底面圆的半径为r,母线长为l,则S侧=πrl,S底=πr2.依题意知πrl=2πr2,可得l=2r.设圆锥侧面展开图的圆心角为θ,则θ===π. π2.[教材改编]如图所示,矩形O'A'B'C'是用斜二测画法作出的水平放置的一个平面图形的直观图,其中O'A'=6cm,O'C'=2cm,则原图形OABC的形状是　　　　. [解析]∵直观图中C'D'=O'C'=2cm,∴O'D'=2cm,则原图形中,OD=4cm,CD=2cm,则OC==6(cm),所以原图形OABC是菱形. 菱形3.[教材改编]如图,将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥,则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为　　　　. [解析]设长方体的相邻三条棱长分别为a,b,c,截面截出的棱锥的体积V1=××a×b×c=abc,剩下的几何体的体积V2=abc-abc=abc,所以V1∶V2=1∶47. 1∶47题组二　常错题◆索引:对空间几何体的结构特征认识不到位致误;几何体形状不确定时,不会分类讨论致误;空间想象能力欠缺致误.4.在△ABC中,AB=2,BC=,∠ABC=120°(如图所示),若将△ABC绕直线BC旋转一周,则形成的旋转体的体积是　　　.  　 [解析]依题意可知,形成的旋转体是由一个大圆锥去掉一个小圆锥后得到的,如图所示.圆锥的底面圆半径OA=AB·cos30°=2×=,所以旋转体的体积V=×π×()2×(OC-OB)=. 5.圆柱的侧面展开图是边长分别为6π和4π的矩形,则圆柱的体积是　　　　. [解析]设圆柱的底面半径为r.若圆柱的母线长是6π,则有4π=2πr,所以r=2,所以圆柱的体积为π×22×6π=24π2.若圆柱的母线长是4π,则有6π=2πr,所以r=3,所以圆柱的体积为π×32×4π=36π2.故圆柱的体积是24π2或36π2.24π2或36π2　6.[教材改编]在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,AA1=4,M为AA1的中点,P是棱BC上一点,且由P沿棱柱的侧面经过棱CC1到M的最短路线长为,则PC的长为　　　　.   [解析]将正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1沿CC1展开至平面ACC1A1上,点P展开后对应的点为P1,连接MP1,如图所示.设PC=x(0≤x≤3),由已知得AM=2,AP1=3+x,MP1=.在直角三角形MAP1中,AM2+A=M,即22+(3+x)2=()2,解得x=2,即PC=2. 2探究点一　空间几何体与斜二测画法1.[2020·上海金山区二模]如图,若一个水平放置的图形用斜二测画法作出的直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形,则原平面图形的面积是(　　)A.B.C.2+D.1+ [解析]原平面图形为一个直角梯形,由题意可知该直角梯形的上底为1,高为2,下底为1+,故原平面图形的面积S=×(1++1)×2=2+.故选C. C2.连接多面体上的某两点的直线,如果把该多面体绕此直线旋转角α(0°<α<360°),使该多面体与自身重合,那么称这条直线为该多面体的旋转轴,如图,该八面体的每一个面都是正三角形,并且4个顶点A,B,C,D在同一平面内,则这个八面体的旋转轴共有(　　)A.7条B.9条C.13条D.14条C[解析]由对称性结合题意可知,分别过EF,AC,BD的3条直线为旋转轴,此时旋转角α的最小值为90°;分别过正方形ABCD,正方形AECF,正方形BEDF的对边中点的6条直线为旋转轴,此时旋转角α的最小值为180°;分别过八面体相对面中心的4条连线为旋转轴,此时旋转角α的最小值为120°.综上,这个八面体的旋转轴共有13条.3.已知正三角形ABC的边长为2,那么用斜二测画法作出的△ABC的直观图△A'B'C'的面积为(　　)A.B.C.D. [解析]设A'B'的中点为D',连接C'D'.如图所示,△A'B'C'的高h=C'D'sin45°=CDsin45°=×2×sin60°×sin45°=,边长A'B'=AB=2,所以△A'B'C'的面积S=AB·h=×2×=.故选D. D4.(多选题)[2020·枣庄模拟]如图(1),在透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水,水面为EFGH.固定容器的一边AB于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下面几个结论,其中正确的结论是(　　)A.没有水的部分始终呈棱柱形B.水面EFGH所在四边形的面积为定值C.随着容器倾斜度的不同,A1C1始终与水面所在平面平行D.当容器倾斜如图(3)所示时,AE·AH为定值AD[解析]因为容器的侧面ADD1A1与侧面BCC1B1平行,在容器倾斜的过程中,没有水的部分始终满足棱柱的结构特征,故没有水的部分始终呈棱柱形,故A正确;在容器倾斜的过程中,水面构成矩形,长度EF不变,宽度EH变化,所以水面EFGH所在四边形的面积有变化,故B错误;A1C1∥AC,在容器倾斜的过程中,AC与水面相交,则A1C1与水面所在的平面相交,故C错误;当容器倾斜如题图(3)时,可将有水的部分看作三棱柱AEH-BFG,因为水的体积是不变的,而高始终是EF也不变,因此底面的面积也不变,即AE·AH是定值,故D正确.故选AD.[总结反思]用斜二测画法画几何体的直观图,掌握线段方向、长度两要素的变化规律即可;几何体的直观图和原几何体的关系(形状和数量关系)是解题重点.探究点二　空间几何体的表面积与体积例1(1)[2020·安丘模拟]唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图①所示,其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画,体现了古人的智慧与工艺,它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(假设内壁表面光滑,忽略杯壁厚度),如图②所示.已知半球的半径为R,酒杯内壁的表面积为πR2,设酒杯上部分(圆柱)的体积为V1,下部分(半球)的体积为V2,则=(　　)A.2B.C.1D. A[解析]由题可得半球的表面积为2πR2,又酒杯内壁的表面积为πR2,∴圆柱的侧面积为πR2.设圆柱的高为h,则2πR·h=πR2,即h=R.∴V1=πR2·R=πR3,V2=πR3,∴==2.故选A. [思路点拨]由已知求得圆柱的高,分别求出圆柱的体积与半球的体积,作商即得答案.(2)[2020·海口模拟]已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M,N分别为BB1,AB的中点,则三棱锥A-NMD1的体积为　　　　. [解析]如图,∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M,N分别为BB1,AB的中点,∴S△ANM=×1×1=,∴==××2=. 　 [思路点拨]由题意画出图形,再由=求三棱锥A-NMD1的体积. [总结反思](1)几何体表面积的计算:根据几何体的直观图,确定几何体的形状,选择正确的平面图形的面积公式求解,注意表面积与底面积、侧面积的区别;(2)几何体体积的计算:简单几何体可用体积公式直接求解,一些组合体的体积需用转换法、分割法、补形法等 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 进行求解.变式题(1)[2020·聊城三模]最早的测雨器记载于南宋数学家秦九韶所著的《数 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf 九章》(1247年).该书第二章为“天时类”,收录了有关降水量计算的四个例子,分别是“天池测雨”“圆罂测雨”“峻积验雪”和“竹器验雪”.其中“天池测雨”法是下雨时用一个圆台形的天池盆收集雨水.已知天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.当盆中积水深九寸时,平地降雨量是(注:1尺=10寸)(　　)A.9寸B.7寸C.8寸D.3寸[解析]由题意知天池盆上底面半径为14寸,下底面半径为6寸,高为18寸.由积水深9寸,知水面半径为×(14+6)=10(寸),则盆中水的体积为π×9×(62+102+6×10)=588π(立方寸),所以平地降雨量等于=3(寸).故选D. D(2)[2020·安庆二模]已知圆锥的顶点为A,过母线AB,AC的截面面积是2.若AB,AC的夹角是60°,且AC与圆锥底面所成的角是30°,则该圆锥的表面积为　　　　.  [解析]∵AB,AC的夹角是60°,AB=AC,∴△ABC是等边三角形,∴×AC2=2,解得AC=2.设圆锥的底面圆圆心为O,连接OA,OB,OC(图略).∵AC与圆锥底面所成的角是30°,∴OC=ACcos30°=2×=,则该圆锥的表面积为π×()2+×2π××2=6π+4π=(6+4)π. (6+4)π 探究点三　空间几何体的结构特征微点1　空间几何体的展开图问题例2(1)[2020·永州二模]北方的冬天户外冰天雪地,若水管裸露在外,则管内的水就会结冰从而冻裂水管,给用户生活带来不便,每年冬天来临前,工作人员就会给裸露在外的水管“保暖”:在水管外面包裹保温带,用一条保温带盘旋而上一次包裹到位.某工作人员采用四层包裹法(除水管两端外水管的保温带都是四层):如图①所示是相邻四层保温带的下边缘轮廓线,相邻两条轮廓线的间距是保温带带宽的四分之一,设水管的直径与保温带的宽度都为4cm,在图②水管的侧面展开图中,此保温带的轮廓线与水管母线所成的角α的余弦值是(保温带厚度忽略不计)(　　)A.B.C.D. D[解析]过点A作AE⊥D'B',垂足为E.由于水管的直径为4cm,所以水管的周长为AE=4πcm,则∠AB'E=α,BE=×4=1(cm),AB'==(cm),所以cosα===.故选D. [思路点拨]根据题意知带子全部包住水管且相邻两条轮廓线的间距是带宽的四分之一,由此得直角三角形以及角α的邻边长,再求α的余弦值.(2)[2020·焦作一模]某三棱柱的平面展开图如图所示,网格中的小正方形的边长均为1,K是线段DI上的点,则在原三棱柱中,AK+CK的最小值为(　　)A.B.C.4D. [思路点拨]作出图形,将原问题转化为平面上两点间的距离最短问题,进而得解.B[解析]将展开图折成立体图形得到三棱柱ADI-BCJ,如图①.由已知可得,AI=4,DI=3,AD=5,易知△ADI为直角三角形且∠AID为90°.将三棱柱的上底面ADI沿DI展开至平面IDCJ上,连接AC,如图②所示.因为AJ=8,CJ=3,所AC==. [总结反思]通常利用空间几何体的展开图可以解决以下问题:(1)求几何体的表面积或侧面积;(2)求几何体表面上任意两个点的最短表面距离.微点2　空间几何体的截面问题例3(1)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为1,点M在棱BC上(点M异于B,C两点),N为CC1的中点,若平面AMN截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面为五边形,则BM的长的取值范围是(　　)A.B.C.D. [解析]∵正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为1,∴该正方体的棱长为1,则0<BM<1.当BM=时,连接AD1,D1N,则MN∥AD1,A,M,N,D1四点共面,截面为四边形AMND1,如图,不符合题意,排除选项A,C,D.故选B. [思路点拨]通过讨论点M的特殊位置确定截面图形的特征,进而利用排除法得出结论.B(2)[2020·深圳外国语学校一模]已知正四面体A-BCD的棱长为6,M,N分别是AC,AD上的点,过MN作平面α,使得AB,CD均与α平行,且AB,CD到α的距离分别为2,4,则α截正四面体A-BCD的外接球所得的圆的面积为(　　)A.11πB.18πC.26πD.27π [思路点拨]将正四面体补形为一个正方体,则四面体A-BCD的外接球球心O即为正方体的中心,可得球O的半径为3,根据条件得到O到α的距离为1,则可得截面圆的半径r==,进而可得截面圆的面积. C(2)[2020·深圳外国语学校一模]已知正四面体A-BCD的棱长为6,M,N分别是AC,AD上的点,过MN作平面α,使得AB,CD均与α平行,且AB,CD到α的距离分别为2,4,则α截正四面体A-BCD的外接球所得的圆的面积为(　　)A.11πB.18πC.26πD.27π [解析]如图所示,将正四面体A-BCD补形成棱长为6的正方体APBQ-ECFD,则四面体A-BCD的外接球球心O即为正方体的中心,故球O的半径R==3.  C(2)[2020·深圳外国语学校一模]已知正四面体A-BCD的棱长为6,M,N分别是AC,AD上的点,过MN作平面α,使得AB,CD均与α平行,且AB,CD到α的距离分别为2,4,则α截正四面体A-BCD的外接球所得的圆的面积为(　　)A.11πB.18πC.26πD.27π 因为AB,CD均与α平行,故α与平面APBQ和平面ECFD平行,α到平面APBQ和平面ECFD的距离分别为2和4.因为O到平面APBQ的距离为3,所以O到α的距离为1,故截面圆的半径r==,故截面圆的面积为πr2=26π.故选C.  C[总结反思](1)求解与截面有关的问题的关键是确定截面的形状,并从几何体中获取相关的数据进行计算.(2)作多面体截面的关键在于确定截点,有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连接成截线,从而得到截面.▶应用演练1.【微点1】某圆锥的侧面展开图是面积为3π,圆心角为的扇形,则该圆锥的母线与底面所成角的余弦值为(　　)A.B.C.D. [解析]设圆锥的母线长为l,底面半径为r.∵圆锥的侧面展开图是面积为3π,圆心角为的扇形,∴πl2=3π,解得l=3;由×3=2πr,可得r=1,故该圆锥的母线与底面所成角的余弦值为=.故选B. B2.【微点1】[2020·衡水中学模拟]定义轴截面为正方形的圆柱为正圆柱.某正圆柱的一个轴截面是四边形ABCD,点P在母线BC上,且BP=2PC=4.一只蚂蚁从圆柱底部的A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P,则这只蚂蚁行走的最短路程为(　　)A.213B.C.D.2 [解析]将该圆柱沿母线AD剪开,得到其侧面展开图,如图所示.设该圆柱的底面圆半径为r,则2r=6,∴r=3,∴在侧面展开图中,AB1=πr=3π,在Rt△AB1P中,AP==.故选C. C3.【微点2】[2020·长沙雅礼中学质检]如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=CC1=6,AC⊥BC,E,F分别为BB1,A1C1的中点,过点A,E,F作三棱柱的截面交B1C1于M,则EM=(　　)A.9B.5C.D.3 C[解析]如图,延长AF,CC1交于点P,连接PE交B1C1于M,连接FM,则四边形AEMF即为所求截面.因为F为A1C1的中点,FC1∥AC,所以C1为PC的中点,取CC1的中点N,连接EN.因为E为BB1的中点,所以B1C1∥EN,所以==,所以MC1=EN=BC=4,所以B1M=2,又B1E=3,所以在Rt△B1EM中,EM==.故选C. 4.【微点2】[2020·湖北部分重点中学联考]已知四面体A-BCD为正四面体,AB=2,E,F分别是AD,BC的中点.若用一个与直线EF垂直,且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体,由此得到一个多边形截面,则该多边形截面面积的最大值为(　　)A.1B.C.D.2 [解析]把四面体放在棱长为的正方体BGCH-ODPA中,如图.∵EF⊥α,EF⊥平面BGCH,∴α∥平面BGCH.同理可得α∥平面AODP.设α分别交AC,AB,BD,CD于点K,L,M,N,连接KL,LM,MN,NK,根据正方体的性质知所得截面为平行四边形MNKL,且NK+KL=2,又NK∥AD,KL∥BC,且AD⊥BC,∴KN⊥KL,可得S四边形MNKL=NK·KL≤()2=1,当且仅当NK=KL时取等号.故选A. A【备选理由】例1是以古代文化为背景的四棱锥结构问题;例2是圆台展开图问题;例3是正方体截面与几何体体积的综合应用;例4是球的截面的最值问题.例1[配合例1使用][2020·全国卷Ⅰ]如图,埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为(　　) A.B.C.D. [解析]设侧面三角形底边上的高为h,底边的长为a,则ah=,即ah=h2-,化简得4h2-2ah-a2=0,即4-2-1=0,∴===(负值舍去).故选C. C例2[配合例2使用][2020·杭州模拟]已知圆台的侧面积(单位:cm2)为2π,且它的侧面展开图是一个半圆环(如图所示),则该圆台的下底面面积与上底面面积之差为(　　) A.1cm2B.πcm2C.cm2D.cm2 [解析]设圆台的上、下底面半径分别为r,R,母线长为l,则×360°=180°,解得l=2(R-r),所以圆台的侧面积S侧=π(R+r)×l=π(R+r)×2(R-r)=2π(R2-r2)=2π,解得R2-r2=1,所以该圆台的下底面面积与上底面面积之差为π(R2-r2)=π(cm2).故选B. B例3[配合例1、例3使用][2020·郑州模拟]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AB,BC的中点,过点D1,E,F作该正方体的截面,截面将正方体分成两部分,则较小部分与较大部分的体积的比值为(　　)A.B.C.D. [解析]如图,设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为6,则其体积为216.连接EF并延长,交DA的延长线于点K,交DC的延长线于点L,连接D1K,交AA1于点M,连接D1L,交CC1于点N.连接ME,NF,则五边形D1MEFN即为过D1,E,F的截面. 易知M,N分别为棱AA1,CC1的三等分点,D例3[配合例1、例3使用][2020·郑州模拟]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AB,BC的中点,过点D1,E,F作该正方体的截面,截面将正方体分成两部分,则较小部分与较大部分的体积的比值为(　　)A.B.C.D. ∵E,F分别为棱AB,BC的中点,∴AK=CL=3,AM=CN=2,=×6×(×9×9)=81,V三棱锥M-AKE=V三棱锥N-CFL=×2×(×3×3)=3,∴正方体被截面分成的两部分中,其中一部分的体积为81-6=75,另外一部分的体积为216-75=141,∴较小部分与较大部分的体积的比值为=.故选D. D例4[配合例3使用][2020·长沙长郡中学模拟]已知圆锥SO1的顶点S和底面圆周均在球O的球面上,且该圆锥的高为8,母线SA=12,点B在SA上,且SB=2BA,则过点B的平面截该球O得到的截面面积的最小值为()A.27πB.32πC.45πD.81π[解析]设球O的半径为R,则SO1=8,OA=R,AO1==4,所以OA2=O+A,即R2=(R-8)2+(4)2,解得R=9.取SA的中点N,则BN=2,所以ON==3,OB==7.设点C为截面圆周上一点,若截面面积最小,则OB⊥截面,此时截面圆半径r==4,所以截面面积的最小值为πr2=32π.故选B. B