苏教版高中数学必修5

目　　录第１１章解三角形１１．１１１．２１１．３正弦定理５……………………………………………………………………………余弦定理１３…………………………………………………………………………正弦定理、余弦定理的应用１８………………………………………………………第１２章数列１２．１１２．２１２．３数列的概念和简单 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示２９…………………………………………………………等差数列３３…………………………………………………………………………等比数列４７…………………………………………………………………………第１３章不等式１３．１１３．２１３．３１３．４不等关系６７…………………………………………………………………………一元二次不等式６９…………………………………………………………………二元一次不等式组与简单的线性规划问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ７５……………………………………基本不等式槡ａｂ≤ａ＋ｂ２（ａ≥０，ｂ≥０）８９……………………………………书书书　　数学是科学的大门和钥匙．———伽利略一种科学只有在成功地运用数学时，才算达到完善的地步．———马克思致　同　学亲爱的同学，你感到高中阶段的学习生活有趣吗？我们知道，数学与生活紧密相连．数学可以帮助我们认识世界，改造世界，创造新的生活．数学是高中阶段的重要学科，不仅是学习物理、化学等学科的基础，而且对我们的终身发展有较大的影响．面对实际问题，我们要认真观察、实验、归纳，大胆提出猜想．为了证实或推翻提出的猜想，我们要通过 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ，概括、抽象出数学概念，通过探究、推理，建立数学理论．我们要积极地运用这些理论去解决问题．在探究与应用过程中，我们的思维水平会不断提高，我们的创造能力会得到发展．在数学学习过程中，我们将快乐地成长．考虑广大同学的不同需要，本书提供了较大的选择空间．书中的引言、正文、练习、习题中的“感受·理解”部分、阅读、回顾等内容构成一个完整的体系．它体现了教材的基本要求，是所有学生应当掌握的内容．相信你一定能学好这部分内容．本书还 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 了一些具有挑战性的内容，包括思考、探究、链接，以及习题中的“思考·运用”、“探究·拓展”等，以激发你探索数学的兴趣．在掌握基本内容之后，选择其中一些内容作思考与探究，你会更加喜欢数学．本书部分常用符号ｓｉｎＡ　　　　　　　　　角Ａ的正弦ｃｏｓＡ角Ａ的余弦ａ向量ａ０零向量→ＡＢ起点为Ａ、终点为Ｂ的向量｜→ＡＢ｜向量→ＡＢ的模（或长度）→ＡＢ·→ＢＣ向量→ＡＢ与→ＢＣ的数量积Ｓ△ＡＢＣ△ＡＢＣ的面积ａｎ数列｛ａｎ｝的第ｎ项Ｓｎ数列的前ｎ项和Ｎ自然数集Ｎ正整数集空集Ｒ实数集４　　　　对自然界的深刻研究是数学发现的最丰富的来源．———傅里叶从金字塔的建造到尼罗河两岸的土地丈量，从大禹治水到都江堰的修建，从天文观测到精密仪器的制造……人们都离不开对几何图形的测量、设计和计算．例如，测量河流两岸码头之间的距离，确定待建隧道的长度，计算卫星的角度与高度……许多实际问题都可以转化为求三角形的边或角的问题．我们已经知道直角三角形中的边角关系，那么，●任意三角形的边与角之间存在怎样的关系？●如何利用这些关系解决实际问题？１１．１正弦定理５　　　　为了探索任意三角形中的边角关系，我们先回忆直角三角形中的边角关系．图１１１１如图１１１１，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，我们有ｓｉｎＡ＝ａｃ，ｓｉｎＢ＝ｂｃ，ｓｉｎＣ＝１＝ｃｃ．所以ａｓｉｎＡ＝ｂｓｉｎＢ＝ｃｓｉｎＣ．●上述结论，对任意三角形也成立吗？如图１１１２所示，任意画一个三角形，然后测量此三角形三个内角的大小及三条边的长，再对每条边计算其长度与它的对角的正弦值之比，三个比值相等吗？改变三角形的形状再试一试．图１１１２　　本章如无特别说明，ａ，ｂ，ｃ分别表示△ＡＢＣ中角Ａ，Ｂ，Ｃ所对边的长．　　于是我们猜想：对于任意三角形ＡＢＣ，都有ａｓｉｎＡ＝ｂｓｉｎＢ＝ｃｓｉｎＣ．即在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比相等．我们可以通过下面的途径尝试证明上述结论：（１）转化为直角三角形中的边角关系；（２）建立直角坐标系，利用三角函数的定义；（３）通过三角形的外接圆，将任意三角形问题转化为直角三角形问题；（４）利用向量的投影或向量的数量积（产生三角函数）．证法１　不妨设∠Ｃ为最大角．（１）若∠Ｃ为直角，我们已经证得结论成立．必修系列数学５６　　　　（２）若∠Ｃ为锐角（图１１１３（１）），过点Ａ作ＡＤ⊥ＢＣ于Ｄ，此时有ｓｉｎＢ＝ＡＤｃ，ｓｉｎＣ＝ＡＤｂ，所以ｃｓｉｎＢ＝ｂｓｉｎＣ，即ｂｓｉｎＢ＝ｃｓｉｎＣ．同理可得ａｓｉｎＡ＝ｃｓｉｎＣ，所以ａｓｉｎＡ＝ｂｓｉｎＢ＝ｃｓｉｎＣ．图１１１３（３）若∠Ｃ为钝角（图１１１３（２）），过点Ａ作ＡＤ⊥ＢＣ，交ＢＣ的延长线于Ｄ，此时也有ｓｉｎＢ＝ＡＤｃ，且ｓｉｎＣ＝ｓｉｎ（１８０°－Ｃ）＝ＡＤｂ．仿（２）可得ａｓｉｎＡ＝ｂｓｉｎＢ＝ｃｓｉｎＣ．由（１），（２），（３）知，结论成立．图１１１４证法２　在△ＡＢＣ中，有→ＢＣ＝→ＢＡ＋→ＡＣ．不妨设∠Ｃ为最大角，过点Ａ作ＡＤ⊥ＢＣ于Ｄ（图１１１４），于是→ＢＣ·→ＡＤ＝（→ＢＡ＋→ＡＣ）·→ＡＤ　　＝→ＢＡ·→ＡＤ＋→ＡＣ·→ＡＤ，即　　向量的数量积是将向量等式转化为数量等式的常用工具．０＝｜→ＢＡ｜｜→ＡＤ｜ｃｏｓ（９０°＋Ｂ）＋｜→ＡＣ｜｜→ＡＤ｜ｃｏｓα，其中，当∠Ｃ为锐角或直角时，α＝９０°－Ｃ；当∠Ｃ为钝角时，α＝Ｃ－９０°．解三角形第１１章７　　　　故可得ｃｓｉｎＢ－ｂｓｉｎＣ＝０，即ｂｓｉｎＢ＝ｃｓｉｎＣ．同理可得ａｓｉｎＡ＝ｃｓｉｎＣ，所以ａｓｉｎＡ＝ｂｓｉｎＢ＝ｃｓｉｎＣ．上述等式表明，三角形的各边和它所对角的正弦之比相等．这样，我们得到正弦定理（ｓｉｎｅｔｈｅｏｒｅｍ）：　　ａｓｉｎＡ＝ｂｓｉｎＢ＝ｃｓｉｎＣ．思　考　　尝试用其他方法证明正弦定理．例１　如图１１１５，在△ＡＢＣ中，Ａ＝３０°，Ｃ＝１００°，ａ＝１０，求ｂ，ｃ（精确到０．０１）．图１１１５解因为Ａ＝３０°，Ｃ＝１００°，所以Ｂ＝５０°．　因为ａｓｉｎＡ＝ｂｓｉｎＢ＝ｃｓｉｎＣ，所以ｂ＝ａｓｉｎＢｓｉｎＡ＝１０ｓｉｎ５０°ｓｉｎ３０°≈１５．３２，ｃ＝ａｓｉｎＣｓｉｎＡ＝１０ｓｉｎ１００°ｓｉｎ３０°≈１９．７０．　因此，ｂ，ｃ的长分别为１５．３２和１９．７０．　　解斜三角形是指由六个元素（三条边和三个角）中的三个元素（至少有一个是边），求其余三个未知元素的过程．例２　根据下列条件解三角形（边长精确到０．０１，角度精确到０．１°）：（１）ａ＝１６，ｂ＝２６，Ａ＝３０°；（２）ａ＝３０，ｂ＝２６，Ａ＝３０°．解　（１）由正弦定理ａｓｉｎＡ＝ｂｓｉｎＢ，得ｓｉｎＢ＝ｂｓｉｎＡａ＝２６ｓｉｎ３０°１６＝１３１６，必修系列数学５８　　　　所以　Ｂ１≈５４．３°，或Ｂ２＝１８０°－５４．３°＝１２５．７°．图１１１６由于Ｂ２＋Ａ＝１２５．７°＋３０°＝１５５．７°＜１８０°，故Ｂ２也符合要求．从而Ｂ有两解（图１１１６）：Ｂ１＝５４．３°，或Ｂ２＝１２５．７°．当Ｂ１＝５４．３°时，　Ｃ１＝１８０°－（Ａ＋Ｂ１）＝１８０°－（３０°＋５４．３°）＝９５．７°，ｃ１＝ａｓｉｎＣ１ｓｉｎＡ＝１６ｓｉｎ９５．７°ｓｉｎ３０°≈３１．８４．当Ｂ２＝１２５．７°时，　Ｃ２＝１８０°－（Ａ＋Ｂ２）＝１８０°－（３０°＋１２５．７°）＝２４．３°，ｃ２＝ａｓｉｎＣ２ｓｉｎＡ＝１６ｓｉｎ２４．３°ｓｉｎ３０°≈１３．１７．（２）由正弦定理，得ｓｉｎＢ＝ｂｓｉｎＡａ＝２６ｓｉｎ３０°３０＝１３３０，所以　Ｂ１＝２５．７°，或Ｂ２＝１８０°－２５．７°＝１５４．３°．图１１１７由于Ｂ２＋Ａ＝１５４．３°＋３０°＝１８４．３°＞１８０°，故Ｂ２不符合要求，从而Ｂ只有一解（图１１１７），　　Ｃ＝１８０°－（Ａ＋Ｂ）＝１８０°－（３０°＋２５．７°）＝１２４．３°，　　ｃ＝ａｓｉｎＣｓｉｎＡ＝３０ｓｉｎ１２４．３°ｓｉｎ３０°≈４９．５７．利用正弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：（１）已知两角与任一边，求其他两边和一角；（２）已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．犆犃犔犆犝犔犃犜犗犚　　（１）在上面例２（１）中，用计算器由ｓｉｎＢ＝１３１６求锐角Ｂ时，要先确认角度的显示单位．按ＭＯＤＥＭＯＤＥ１键，以度为单位显示结果；按ＭＯＤＥＭＯＤＥ２键，则以弧度为单位显示结果．然后按ＳＨＩＦＴｓｉｎ－１（１３÷１６）＝键，得锐角Ｂ，这里的括号不能省．解三角形第１１章９　　　　　　（２）Ｂ型函数（如ｓｉｎ，ｃｏｓ，ｓｉｎ－１，ｃｏｓ－１，ｌｏｇ，１０ｘ，槡　等）值的计算，应先按函数键再输入数值，且这类函数前的乘号可省，如计算１６ｓｉｎ９５７°ｓｉｎ３０°时，只需按１６ｓｉｎ９５．７÷ｓｉｎ３０＝．练　习１．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一个三角形的两个内角分别为３０°和４５°，如果４５°角所对的边长为８，那么３０°角所对边的长是（　　）．Ａ．４　　槡Ｂ．４２　槡Ｃ．４３　槡Ｄ．４６２．在△ＡＢＣ中，（１）已知Ａ＝７５°，Ｂ＝４５°，ｃ＝槡３２，求ａ，ｂ；（２）已知Ａ＝３０°，Ｂ＝１２０°，ｂ＝１２，求ａ，ｃ．３．根据下列条件解三角形：（１）ｂ＝４０，ｃ＝２０，Ｃ＝２５°；（２）ｂ＝１３，ａ＝２６，Ｂ＝３０°．图１１１８例３　如图１１１８，某登山队在山脚Ａ处测得山顶Ｂ的仰角为３５°，沿倾斜角为２０°的斜坡前进１０００ｍ后到达Ｄ处，又测得山顶的仰角为６５°，求山的高度ＢＣ（精确到１ｍ）．分析　要求ＢＣ，只要求ＡＢ，为此考虑解△ＡＢＤ．解　过点Ｄ作ＤＥ∥ＡＣ交ＢＣ于Ｅ，因为∠ＤＡＣ＝２０°，所以∠ＡＤＥ＝１６０°，于是∠ＡＤＢ＝３６０°－１６０°－６５°＝１３５°．又∠ＢＡＤ＝３５°－２０°＝１５°，所以∠ＡＢＤ＝３０°．在△ＡＢＤ中，由正弦定理，得ＡＢ＝ＡＤｓｉｎ∠ＡＤＢｓｉｎ∠ＡＢＤ＝１０００ｓｉｎ１３５°ｓｉｎ３０°＝１０００槡２（ｍ）．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＢＣ＝ＡＢｓｉｎ３５°＝１０００槡２ｓｉｎ３５°≈８１１（ｍ）．答　山的高度约为８１１ｍ．例４　在△ＡＢＣ中，已知ａｃｏｓＡ＝ｂｃｏｓＢ＝ｃｃｏｓＣ，试判断△ＡＢＣ的形状．解　令ａｓｉｎＡ＝ｋ，由正弦定理，得ａ＝ｋｓｉｎＡ，ｂ＝ｋｓｉｎＢ，ｃ＝ｋｓｉｎＣ．必修系列数学５１０　　　代入已知条件，得　　通过正弦定理，可以实现边角互化．ｓｉｎＡｃｏｓＡ＝ｓｉｎＢｃｏｓＢ＝ｓｉｎＣｃｏｓＣ，即ｔａｎＡ＝ｔａｎＢ＝ｔａｎＣ．又Ａ，Ｂ，Ｃ∈（０，π），所以Ａ＝Ｂ＝Ｃ，从而△ＡＢＣ为正三角形．图１１１９例５　在△ＡＢＣ中，ＡＤ是∠ＢＡＣ的平分线（图１１１９），用正弦定理证明ＡＢＡＣ＝ＢＤＤＣ．证　设∠ＢＡＤ＝α，∠ＢＤＡ＝β，则∠ＣＡＤ＝α，∠ＣＤＡ＝１８０°－β．在△ＡＢＤ和△ＡＣＤ中分别运用正弦定理，得ＡＢＢＤ＝ｓｉｎβｓｉｎα，ＡＣＤＣ＝ｓｉｎ（１８０°－β）ｓｉｎα．又ｓｉｎ（１８０°－β）＝ｓｉｎβ，所以ＡＢＢＤ＝ＡＣＤＣ，即ＡＢＡＣ＝ＢＤＤＣ．练　习（第１题）１．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩Ａ，Ｂ（如图）．要测算出Ａ，Ｂ两点间的距离，测量人员在岸边定出基线ＢＣ，测得ＢＣ＝７８．３５ｍ，∠Ｂ＝６９°４３′，∠Ｃ＝４１°１２′，试计算ＡＢ的长（精确到００１ｍ）．２．根据下列条件，判断△ＡＢＣ的形状：（１）ｓｉｎ２Ａ＋ｓｉｎ２Ｂ＝ｓｉｎ２Ｃ；（２）ａｃｏｓＡ＝ｂｃｏｓＢ．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３．在△ＡＢＣ中，若Ａ＝６０°，ａ＝槡３，则ａ＋ｂ＋ｃｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ等于（　　）．Ａ．２　Ｂ．１２　Ｃ．槡３　Ｄ．槡３２解三角形第１１章１１　　　习题１１．１　感受·理解１．在△ＡＢＣ中，（１）已知Ａ＝１３５°，Ｂ＝１５°，ｃ＝１，求这个三角形的最大边的长；（２）已知Ａ＝２６°，Ｃ＝４７°，ｂ＝１６，求ａ，ｃ，Ｂ．２．根据下列条件解三角形：（１）ｂ＝２５，ｃ＝１２，Ｃ＝２３°；（２）ｂ＝４７，ｃ＝３８，Ｃ＝１１０°；（３）ａ＝１４，ｂ＝７槡６，Ｂ＝６０°．３．如图，从Ａ点和Ｂ点测得上海东方明珠电视塔顶Ｃ的仰角分别为３８．３°和５０°，ＡＢ＝２００ｍ，求东方明珠电视塔的高度（精确到１ｍ）．（第３题）　　　　　（第４题）４．一艘船以４２ｎｍｉｌｅ／ｈ的速度向正北航行．在Ａ处看灯塔Ｓ在船的北偏东２５°，３０ｍｉｎ后航行到Ｂ处，在Ｂ处看灯塔Ｓ在船的北偏东５８°．求灯塔Ｓ与Ｂ之间的距离（精确到０．１ｎｍｉｌｅ）．５．在△ＡＢＣ中，（１）已知ａｃｏｓＢ＝ｂｃｏｓＡ，试判断△ＡＢＣ的形状；（２）已知ｓｉｎＡａ＝ｃｏｓＢｂ＝ｃｏｓＣｃ，试判断△ＡＢＣ的形状．思考·运用６．已知△ＡＢＣ的两边ａ，ｂ及夹角Ｃ，仿照正弦定理的证法１，证明Ｓ△ＡＢＣ＝１２ａｂｓｉｎＣ，并运用这一结论解决下面的问题：（１）在△ＡＢＣ中，已知ａ＝２，ｂ＝３，Ｃ＝１５０°，求Ｓ△ＡＢＣ；（２）在△ＡＢＣ中，已知ｃ＝１０，Ａ＝４５°，Ｃ＝３０°，求ｂ和Ｓ△ＡＢＣ．７．在△ＡＢＣ中，设→ＢＣ＝ａ，→ＣＡ＝ｂ，→ＡＢ＝ｃ．已知ａ·ｂ＝ｂ·ｃ＝ｃ·ａ，证明△ＡＢＣ为正三角形．８．在△ＡＢＣ中，∠Ａ的外角平分线交ＢＣ的延长线于Ｄ，用正弦定理证明：ＡＢＡＣ＝ＢＤＤＣ．探究·拓展９．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，斜边ｃ等于Ｒｔ△ＡＢＣ外接圆的直径２Ｒ，故有ａｓｉｎＡ＝ｂｓｉｎＢ＝ｃｓｉｎＣ＝２Ｒ，这一关系对任意三角形也成立吗（如图）？探索并证明你的必修系列数学５１２　　　结论．（第９题）１０．（阅读题）在已知两边ａ，ｂ和一边的对角Ａ，求角Ｂ时，如果Ａ为锐角，那么可能出现以下情况（如图）：（第１０题）如果Ａ为钝角，那么可能会出现哪几种情况？试画出草图加以说明．１１．２余弦定理１３　　　在上节中，我们通过等式→ＢＣ＝→ＢＡ＋→ＡＣ的两边与→ＡＤ（ＡＤ为△ＡＢＣ中ＢＣ边上的高）作数量积，将向量等式转化为数量关系，进而推出了正弦定理．图１１２１●还有其他途径将向量等式→ＢＣ＝→ＢＡ＋→ＡＣ数量化吗？因为→ＢＣ＝→ＢＡ＋→ＡＣ（图１１２１），所以→ＢＣ·→ＢＣ＝（→ＢＡ＋→ＡＣ）·（→ＢＡ＋→ＡＣ）＝→ＢＡ２＋２→ＢＡ·→ＡＣ＋→ＡＣ２＝｜→ＢＡ｜２＋２｜→ＢＡ｜｜→ＡＣ｜ｃｏｓ（１８０°－Ａ）＋｜→ＡＣ｜２＝ｃ２－２ｃｂｃｏｓＡ＋ｂ２，即ａ２＝ｂ２＋ｃ２－２ｂｃｃｏｓＡ．同理可得ｂ２＝ｃ２＋ａ２－２ｃａｃｏｓＢ，ｃ２＝ａ２＋ｂ２－２ａｂｃｏｓＣ．上述等式表明，三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．这样，我们得到余弦定理（ｃｏｓｉｎｅｔｈｅｏｒｅｍ）：ａ２＝ｂ２＋ｃ２－２ｂｃｃｏｓＡ，ｂ２＝ｃ２＋ａ２－２ｃａｃｏｓＢ，ｃ２＝ａ２＋ｂ２－２ａｂｃｏｓＣ．思　考　　回顾正弦定理的证明，尝试用其他方法证明余弦定理．余弦定理也可以写成如下形式：ｃｏｓＡ＝ｂ２＋ｃ２－ａ２２ｂｃ，ｃｏｓＢ＝ｃ２＋ａ２－ｂ２２ｃａ，ｃｏｓＣ＝ａ２＋ｂ２－ｃ２２ａｂ．必修系列数学５１４　　　例１　在△ＡＢＣ中，（１）已知ｂ＝３，ｃ＝１，Ａ＝６０°，求ａ；（２）已知ａ＝４，ｂ＝５，ｃ＝６，求Ａ（精确到０．１°）．解　（１）由余弦定理，得ａ２＝ｂ２＋ｃ２－２ｂｃｃｏｓＡ　　　＝３２＋１２－２×３×１×ｃｏｓ６０°＝７，所以ａ＝槡７．（２）由余弦定理，得ｃｏｓＡ＝ｂ２＋ｃ２－ａ２２ｂｃ＝５２＋６２－４２２×５×６＝０．７５，所以Ａ≈４１．４°．图１１２２例２　Ａ，Ｂ两地之间隔着一个水塘（图１１２２），现选择另一点Ｃ，测得ＣＡ＝１８２ｍ，ＣＢ＝１２６ｍ，∠ＡＣＢ＝６３°，求Ａ，Ｂ两地之间的距离（精确到１ｍ）．解　由余弦定理，得ＡＢ２＝ＣＡ２＋ＣＢ２－２ＣＡ·ＣＢｃｏｓＣ　　＝１８２２＋１２６２－２×１８２×１２６ｃｏｓ６３°≈２８１７８．１８，所以ＡＢ≈１６８（ｍ）．答　Ａ，Ｂ两地之间的距离约为１６８ｍ．例３　用余弦定理证明：在△ＡＢＣ中，当∠Ｃ为锐角时，ａ２＋ｂ２＞ｃ２；当∠Ｃ为钝角时，ａ２＋ｂ２＜ｃ２．证　当∠Ｃ为锐角时，ｃｏｓＣ＞０，由余弦定理，得　　余弦定理可以看做是勾股定理的推广．ｃ２＝ａ２＋ｂ２－２ａｂｃｏｓＣ＜ａ２＋ｂ２，即ａ２＋ｂ２＞ｃ２．同理可证，当∠Ｃ为钝角时，ａ２＋ｂ２＜ｃ２．利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：（１）已知三边，求三个角；（２）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．解三角形第１１章１５　　　练　习１．在△ＡＢＣ中，（１）已知Ａ＝６０°，ｂ＝４，ｃ＝７，求ａ；（２）已知ａ＝７，ｂ＝５，ｃ＝３，求Ａ．２．若三条线段的长为５，６，７，则用这三条线段（　　）．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．能组成直角三角形　Ｂ．能组成锐角三角形Ｃ．能组成钝角三角形　Ｄ．不能组成三角形３．在△ＡＢＣ中，已知ａ２＋ｂ２＋ａｂ＝ｃ２，试求∠Ｃ的大小．４．两游艇自某地同时出发，一艇以１０ｋｍ／ｈ的速度向正北行驶，另一艇以７ｋｍ／ｈ的速度向北偏东４５°的方向行驶，问：经过４０ｍｉｎ，两艇相距多远？图１１２３例４　在长江某渡口处，江水以５ｋｍ／ｈ的速度向东流．一渡船在江南岸的Ａ码头出发，预定要在０．１ｈ后到达江北岸Ｂ码头（图１１２３）．设→ＡＮ为正北方向，已知Ｂ码头在Ａ码头的北偏东１５°，并与Ａ码头相距１．２ｋｍ．该渡船应按什么方向航行？速度是多少千米／小时？（角度精确到０１°，速度精确到０１ｋｍ／ｈ）解　如图１１２３，取→ＡＣ方向为水流方向，以ＡＣ为一边、ＡＢ为对角线作平行四边形ＡＣＢＤ，其中ＡＢ＝１．２（ｋｍ），ＡＣ＝５×０．１＝０．５（ｋｍ），船按→ＡＤ方向开出．在△ＡＢＣ中，由余弦定理，得　　与《数学４（必修）》第９章第２节的例２进行比较，两者有何异同？ＢＣ２＝１．２２＋０．５２－２×１．２×０．５ｃｏｓ（９０°－１５°）≈１．３８，所以ＡＤ＝ＢＣ≈１．１７（ｋｍ）．因此，船的航行速度为１．１７÷０．１＝１１．７（ｋｍ／ｈ）．在△ＡＢＣ中，由正弦定理，得ｓｉｎ∠ＡＢＣ＝ＡＣｓｉｎ∠ＢＡＣＢＣ＝０．５ｓｉｎ７５°１．１７≈０．４１２８，所以∠ＡＢＣ≈２４．４°．所以　∠ＤＡＮ＝∠ＤＡＢ－∠ＮＡＢ＝∠ＡＢＣ－１５°≈９．４°．答　渡船应按北偏西９．４°的方向，并以１１．７ｋｍ／ｈ的速度航行．例５　在△ＡＢＣ中，已知ｓｉｎＡ＝２ｓｉｎＢｃｏｓＣ，试判断该三角形的形状．解　由正弦定理及余弦定理，得ｓｉｎＡｓｉｎＢ＝ａｂ，ｃｏｓＣ＝ａ２＋ｂ２－ｃ２２ａｂ，必修系列数学５１６　　　所以ａｂ＝２·ａ２＋ｂ２－ｃ２２ａｂ，整理，得ｂ２＝ｃ２．因为ｂ＞０，ｃ＞０，所以ｂ＝ｃ．因此，△ＡＢＣ为等腰三角形．图１１２４例６　如图１１２４，ＡＭ是△ＡＢＣ中ＢＣ边上的中线，求证：ＡＭ＝１２２（ＡＢ２＋ＡＣ２）－ＢＣ槡２．证　设∠ＡＭＢ＝α，则∠ＡＭＣ＝１８０°－α．在△ＡＢＭ中，由余弦定理，得ＡＢ２＝ＡＭ２＋ＢＭ２－２ＡＭ·ＢＭｃｏｓα．在△ＡＣＭ中，由余弦定理，得ＡＣ２＝ＡＭ２＋ＭＣ２－２ＡＭ·ＭＣｃｏｓ（１８０°－α）．因为ｃｏｓ（１８０°－α）＝－ｃｏｓα，ＢＭ＝ＭＣ＝１２ＢＣ，所以ＡＢ２＋ＡＣ２＝２ＡＭ２＋１２ＢＣ２，因此，ＡＭ＝１２２（ＡＢ２＋ＡＣ２）－ＢＣ槡２．练　习　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．在△ＡＢＣ中，如果ｓｉｎＡ∶ｓｉｎＢ∶ｓｉｎＣ＝２∶３∶４，那么ｃｏｓＣ等于（　　）．Ａ．２３　Ｂ．－２３　Ｃ．－１３　Ｄ．－１４（第２题）２．如图，长７ｍ的梯子ＢＣ靠在斜壁上，梯脚与壁基相距１．５ｍ，梯顶在沿着壁向上６ｍ的地方，求壁面和地面所成的角α（精确到０１°）．３．在△ＡＢＣ中，已知ａ＝２，ｂ＝３，Ｃ＝６０°，试证明此三角形为锐角三角形．４．在△ＡＢＣ中，设→ＣＢ＝ａ，→ＡＣ＝ｂ，且｜ａ｜＝２，｜ｂ｜＝槡３，ａ·ｂ＝－槡３，求ＡＢ的长．习题１１．２　感受·理解１．在△ＡＢＣ中，（１）已知ａ＝２４，ｂ＝１３，Ｃ＝１０８°，求ｃ，Ｂ；（２）已知ｂ＝２，ｃ＝１０，Ａ＝４２°，求ａ，Ｂ，Ｃ；（３）已知ａ＝７，ｂ＝４槡３，ｃ＝槡１３，求最小的内角．解三角形第１１章１７　　　２．牵牛星和织女星分别距离地球约１７光年和２６光年，从地球上观测这两颗星的张角为３４°，求牵牛星与织女星之间的距离．（第４题）３．在平行四边形ＡＢＣＤ中，已知ＡＢ＝１２ｃｍ，ＢＣ＝１０ｃｍ，Ａ＝６０°，求平行四边形两条对角线的长．４．自动卸货汽车的车箱采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆ＢＣ的长度（如图）．已知车箱的最大仰角为６０°，油泵顶点Ｂ与车箱支点Ａ之间的距离为１．９５ｍ，ＡＢ与水平线之间的夹角为６°２０′，ＡＣ长为１．４０ｍ，试计算ＢＣ的长（精确到００１ｍ）．５．在△ＡＢＣ中，已知ｃ＝２ａｃｏｓＢ，试判断△ＡＢＣ的形状．６．在△ＡＢＣ中，已知（ａ＋ｂ＋ｃ）（ｂ＋ｃ－ａ）＝３ｂｃ，求Ａ的度数．７．用余弦定理证明：在△ＡＢＣ中，　　这三个关系式也称为射影定理．（１）ａ＝ｂｃｏｓＣ＋ｃｃｏｓＢ；　　（２）ｂ＝ｃｃｏｓＡ＋ａｃｏｓＣ；（３）ｃ＝ａｃｏｓＢ＋ｂｃｏｓＡ．８．用余弦定理证明：平行四边形两对角线平方的和等于四边平方的和．思考·运用（第１１题）９．试用向量方法证明第７题中的结论．１０．在△ＡＢＣ中，已知２ａ＝ｂ＋ｃ，ｓｉｎ２Ａ＝ｓｉｎＢｓｉｎＣ，试判断△ＡＢＣ的形状．１１．如图，我炮兵阵地位于Ａ处，两观察所分别设于Ｃ，Ｄ，已知△ＡＣＤ为边长等于ａ的正三角形．当目标出现于Ｂ时，测得∠ＣＤＢ＝４５°，∠ＢＣＤ＝７５°，试求炮击目标的距离ＡＢ．探究·拓展１２．在△ＡＢＣ中，已知∠Ａ，ＡＣ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ．如图建立直角坐标系．（１）利用两点间的距离公式计算ＢＣ２；（２）证明Ｓ△ＡＢＣ＝１２ｂｃｓｉｎＡ，由此可证明正弦定理吗？（第１２题）　　　　（第１３题）１３．如图，已知圆内接四边形ＡＢＣＤ的边长分别为ＡＢ＝２，ＢＣ＝６，ＡＤ＝ＣＤ＝４，如何求出四边形ＡＢＣＤ的面积？１１．３正弦定理、余弦定理的应用１８　　　正弦定理、余弦定理体现了三角形中边角之间的相互关系，在测量学、运动学、力学、电学等许多领域有着广泛的应用．图１１３１例１　如图１１３１，为了测量河对岸两点Ａ，Ｂ之间的距离，在河岸这边取点Ｃ，Ｄ，测得∠ＡＤＣ＝８５°，∠ＢＤＣ＝６０°，∠ＡＣＤ＝４７°，∠ＢＣＤ＝７２°，ＣＤ＝１００ｍ．设Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ在同一平面内，试求Ａ，Ｂ之间的距离（精确到１ｍ）．解　在△ＡＤＣ中，∠ＡＤＣ＝８５°，∠ＡＣＤ＝４７°，则∠ＤＡＣ＝４８°．又ＤＣ＝１００，由正弦定理，得ＡＣ＝ＤＣｓｉｎ∠ＡＤＣｓｉｎ∠ＤＡＣ＝１００ｓｉｎ８５°ｓｉｎ４８°≈１３４．０５（ｍ）．在△ＢＤＣ中，∠ＢＤＣ＝６０°，∠ＢＣＤ＝７２°，则∠ＤＢＣ＝４８°．又ＤＣ＝１００，由正弦定理，得ＢＣ＝ＤＣｓｉｎ∠ＢＤＣｓｉｎ∠ＤＢＣ＝１００ｓｉｎ６０°ｓｉｎ４８°≈１１６．５４（ｍ）．在△ＡＢＣ中，由余弦定理，得ＡＢ２＝ＡＣ２＋ＢＣ２－２ＡＣ·ＢＣｃｏｓ∠ＡＣＢ　　　　＝１３４．０５２＋１１６．５４２－２×１３４．０５×１１６．５４ｃｏｓ２５°≈３２３３．９５，所以　ＡＢ≈５７（ｍ）．答　Ａ，Ｂ两点之间的距离约为５７ｍ．　　方位角是从指北方向顺时针转到目标方向线的角．例２　如图１１３２，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号．我海军舰艇在Ａ处获悉后，测出该渔轮在方位角为４５°，距离为１０ｎｍｉｌｅ的Ｃ处，并测得渔轮正沿方位角为１０５°的方向，以９ｎｍｉｌｅ／ｈ的速度向小岛靠拢．我海军舰艇立即以２１ｎｍｉｌｅ／ｈ的速度前去营救．求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到０１°，时间精确到１ｍｉｎ）．解三角形第１１章１９　　　图１１３２解　设舰艇收到信号后ｘｈ在Ｂ处靠拢渔轮，则ＡＢ＝２１ｘ，ＢＣ＝９ｘ，又ＡＣ＝１０，∠ＡＣＢ＝４５°＋（１８０°－１０５°）＝１２０°．由余弦定理，得ＡＢ２＝ＡＣ２＋ＢＣ２－２ＡＣ·ＢＣｃｏｓ∠ＡＣＢ，即（２１ｘ）２＝１０２＋（９ｘ）２－２×１０×９ｘｃｏｓ１２０°．化简，得３６ｘ２－９ｘ－１０＝０，解得ｘ＝２３（ｈ）＝４０（ｍｉｎ）（负值舍去）．由正弦定理，得ｓｉｎ∠ＢＡＣ＝ＢＣｓｉｎ∠ＡＣＢＡＢ＝９ｘｓｉｎ１２０°２１ｘ＝３槡３１４，所以∠ＢＡＣ≈２１．８°，方位角为４５°＋２１．８°＝６６．８°．答　舰艇应沿着方位角６６．８°的方向航行，经过４０ｍｉｎ就可靠近渔轮．图１１３３例３　作用于同一点的三个力Ｆ１，Ｆ２，Ｆ３平衡．已知Ｆ１＝３０Ｎ，Ｆ２＝５０Ｎ，Ｆ１与Ｆ２之间的夹角是６０°，求Ｆ３的大小与方向（精确到０１°）．解　Ｆ３应和Ｆ１，Ｆ２的合力Ｆ平衡，所以Ｆ３和Ｆ在同一直线上，并且大小相等，方向相反．如图１１３３，在△ＯＦ１Ｆ中，由余弦定理，得Ｆ＝３０２＋５０２－２×３０×５０ｃｏｓ槡１２０°＝７０（Ｎ）．再由正弦定理，得ｓｉｎ∠Ｆ１ＯＦ＝５０ｓｉｎ１２０°７０＝５槡３１４，所以∠Ｆ１ＯＦ≈３８．２°，从而∠Ｆ１ＯＦ３≈１４１．８°．答　Ｆ３为７０Ｎ，Ｆ３和Ｆ１间的夹角为１４１．８°．图１１３４例４　如图１１３４，半圆Ｏ的直径为２，Ａ为直径延长线上的一点，ＯＡ＝２，Ｂ为半圆上任意一点，以ＡＢ为一边作等边三角形ＡＢＣ．问：点Ｂ在什么位置时，四边形ＯＡＣＢ面积最大？分析　四边形的面积由点Ｂ的位置惟一确定，而点Ｂ由∠ＡＯＢ惟一确定，因此可设∠ＡＯＢ＝α，再用α的三角函数来表示四边形ＯＡＣＢ的面积．解　设∠ＡＯＢ＝α．在△ＡＯＢ中，由余弦定理，得必修系列数学５２０　　　ＡＢ２＝１２＋２２－２×１×２ｃｏｓα＝５－４ｃｏｓα．于是，四边形ＯＡＣＢ的面积为　　　　Ｓ＝Ｓ△ＡＯＢ＋Ｓ△ＡＢＣ＝１２ＯＡ·ＯＢｓｉｎα＋槡３４ＡＢ２＝１２×２×１×ｓｉｎα＋槡３４（５－４ｃｏｓα）＝ｓｉｎα－槡３ｃｏｓα＋５４槡３＝２ｓｉｎα－π（）３＋５４槡３．因为０＜α＜π，所以当α－π３＝π２，α＝５６π，即∠ＡＯＢ＝５６π时，四边形ＯＡＣＢ面积最大．练　习１．曲柄连杆机构示意图如图所示．当曲柄ＯＡ在水平位置ＯＢ时，连杆端点Ｐ在Ｑ的位置．当ＯＡ自ＯＢ按顺时针方向旋转α角时，Ｐ和Ｑ之间的距离是ｘｃｍ．已知ＯＡ＝２５ｃｍ，ＡＰ＝１２５ｃｍ，根据下列条件，求ｘ的值（精确到０．１ｃｍ）：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（１）α＝５０°；　（２）α＝１３５°．（第１题）　　　　（第２题）２．如图，用两根绳子牵引重为Ｆ１＝１００Ｎ的物体，两根绳子拉力分别为Ｆ２，Ｆ３，保持平衡．如果Ｆ２＝８０Ｎ，Ｆ２与Ｆ３夹角α＝１３５°．（１）求Ｆ３的大小（精确到１Ｎ）；（２）求Ｆ３与Ｆ１的夹角β的值（精确到０１°）．３．如图，货轮在海上以４０ｎｍｉｌｅ／ｈ的速度由Ｂ向Ｃ航行，航行的方位角∠ＮＢＣ＝１４０°，Ａ处有灯塔，其方位角∠ＮＢＡ＝１１０°，在Ｃ处观察灯塔Ａ的方位角∠Ｎ′ＣＡ＝３５°，由Ｂ到Ｃ需航行０．５ｈ，求Ｃ到灯塔Ａ的距离．（第３题）　　　　　　（第４题）４．如图，某人在高出海面６００ｍ的山上Ｐ处，测得海面上的航标Ａ在正东，俯解三角形第１１章２１　　　角为３０°，航标Ｂ在南偏东６０°，俯角为４５°，求这两个航标间的距离．习题１１．３　感受·理解１．在ＡＢＣ中，求证：（１）ａ２＋ｂ２＋ｃ２＝２（ｂｃｃｏｓＡ＋ｃａｃｏｓＢ＋ａｂｃｏｓＣ）；（２）ｃｏｓＡａ＋ｃｏｓＢｂ＋ｃｏｓＣｃ＝ａ２＋ｂ２＋ｃ２２ａｂｃ．２．从２００ｍ高的电视塔顶Ａ测得地面上某两点Ｂ，Ｃ的俯角分别为３０°和４５°，∠ＢＡＣ＝４５°，求这两个点之间的距离．３．飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔２０２５０ｍ，速度为６００ｋｍ／ｈ，飞行员先看到山顶的俯角为１８°３０′，经过２８８ｓ后又看到山顶的俯角为８１°，求山顶的海拔高度（精确到１ｍ）．（第４题）４．如图，一船由西向东航行，测得某岛的方位角为６５°，前进５ｋｍ后测得此岛的方位角为４２°．已知该岛周围３ｋｍ内有暗礁，如果继续东行，有无触礁危险？５．作用于同一点的三个力Ｆ１，Ｆ２，Ｆ３平衡，且Ｆ１，Ｆ２的夹角为θ３，Ｆ２，Ｆ３的夹角为θ１，Ｆ３，Ｆ１的夹角为θ２，求证：Ｆ１ｓｉｎθ１＝Ｆ２ｓｉｎθ２＝Ｆ３ｓｉｎθ３．６．把一根长为３０ｃｍ的木条锯成两段，分别作钝角三角形ＡＢＣ的两边ＡＢ和ＢＣ，且∠ＡＢＣ＝１２０°．如何锯断木条，才能使第三条边ＡＣ最短？思考·运用（第７题）７．如图，有两条相交成６０°角的直路ＸＸ′，ＹＹ′，交点是Ｏ，甲、乙分别在ＯＸ，ＯＹ上，起初甲离Ｏ点３ｋｍ，乙离Ｏ点１ｋｍ．后来甲沿ＸＸ′的方向，乙沿Ｙ′Ｙ的方向，同时用４ｋｍ／ｈ的速度步行．（１）起初两人的距离是多少？（２）ｔｈ后两人的距离是多少？（３）什么时候两人的距离最短？探究·拓展８．解三角形在测量上有着广泛的应用，下面各图描述了测量中的一些基本问题，你能根据图示说出求解ＡＢ的过程吗？求　距　离两点间不可通又不可视两点间可视但不可达两点都不可达求　高　度底部可达底部不可达实习作业解三角形在测量中的应用２２　　　　　你知道学校的旗杆有多高？如何测量山高或电视塔的高度？怎样计算房屋前后的两根电线杆之间的距离？……运用本章所学的知识，通过实地测量，你就能顺利地解决上面的问题．在测量实践中，你可以更好地体会数学在解决实际问题中的作用和价值．活动建议：１．准备简单的测量长度、角度的工具（如皮尺、测角器等）；２．选择适当的测量问题（目标不易直接到达）；３．设计测量 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；４．收集数据，利用数据进行计算；５．完成实习作业报告；６．班级交流（报告会、墙报展示等）．　本章回顾２３　　　　　本章主要学习了正弦定理、余弦定理，以及正弦定理、余弦定理在解决实际问题中的简单应用．三角形中的边角关系正弦定理余弦定理↓解三角形↓解三角形的应用正弦定理、余弦定理是反映三角形边、角关系的重要定理．利用正弦定理、余弦定理，可以将三角形中的边的关系与角的关系进行相互转化，许多几何问题也可以转化为解三角形的问题来研究．必修系列数学５２４　　　复习题　感受·理解１．在△ＡＢＣ中，（１）已知ａ＝１，Ａ＝６０°，ｃ＝槡３３，求Ｃ；（２）已知ａ＝２，ｂ＝槡２，ｃ＝槡３＋１，求Ａ；（３）已知ａ＝３槡３，ｃ＝２，Ｂ＝１５０°，求ｂ．２．在△ＡＢＣ中，（１）已知ａ－ｂ＝ｃｃｏｓＢ－ｃｃｏｓＡ，判断△ＡＢＣ的形状；（２）已知ｓｉｎＣ＝ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ，判断△ＡＢＣ的形状．３．海上有Ａ，Ｂ两个小岛相距１０ｎｍｉｌｅ，从Ａ岛望Ｃ岛和Ｂ岛所成的视角为６０°，从Ｂ岛望Ｃ岛和Ａ岛所成的视角为７５°，试求Ｂ岛和Ｃ岛间的距离．４．在Ｏ点的正上方有气球Ｐ，从Ｏ点的正西方Ａ点，测得气球Ｐ的仰角为４５°，同时从Ｏ点南偏东４５°的Ｂ点，测得气球Ｐ的仰角为６０°，Ａ，Ｂ两点间的距离为２００ｍ．问：气球Ｐ离地面约多少米（精确到１ｍ）？５．已知向量ａ，ｂ，ｃ满足ａ＋ｂ＋ｃ＝０，且ａ与ｂ的夹角等于１３５°，ｂ与ｃ的夹角等于１２０°，｜ｃ｜＝２，求｜ａ｜，｜ｂ｜．思考·运用６．如图，已知∠Ａ为定角，Ｐ，Ｑ分别在∠Ａ的两边上，ＰＱ为定长．当Ｐ，Ｑ处于什么位置时，△ＡＰＱ的面积最大？（第６题）　　　　　　　（第７题）７．外轮除特许外，不得进入离我国海岸线ｄｎｍｉｌｅ以内的区域．如图，设Ａ，Ｂ是相距ｓｎｍｉｌｅ的两个观察站，一外轮在Ｐ点，测得∠ＢＡＰ＝α，∠ＡＢＰ＝β，问：α，β满足什么关系时就该向外轮发出警告，令其退出我海域？探究·拓展８．（阅读题）在必修３中，我们曾介绍过南宋时期的数学家秦九韶发现的求三角形面积的“三斜求积”公式Ｓ△ＡＢＣ＝１４ｃ２ａ２－ｃ２＋ａ２－ｂ２（）２［］槡２，它与古希腊数学家海伦给出的三角形面积公式Ｓ△ＡＢＣ＝ｐ（ｐ－ａ）（ｐ－ｂ）（ｐ－ｃ槡）　（ｐ＝１２（ａ＋ｂ＋ｃ））是一致的．“三斜求积”公式的证明已经失传，吴文俊教授根据我国古代几何证明解三角形第１１章２５　　　的传统特点作了一个补证．　　式中“大”、“中”和“小”分别指“大斜”、“中斜”和“小斜”．面积２＝１４小２·大２（－大２＋小２－中２）２［］２（第８题）　　如图，作大斜上的高分大斜成两部分，作为勾股形的弦和股，由于三角形面积等于“１２×高×大”这一事实是我国古代数学家早就知道的，所以问题归结为怎样求高，而高又是可以通过“股”与“小”求得，因此只要求出股就可以了．根据刘徽得出的公式股＝（股弦和）２－勾２２×股弦和，知道由“股弦和”与“勾２”可以求股，所以问题又归结为求“勾２”与“股弦和”．这很简单，因为股弦和＝大，勾２＝弦２－股２＝中２－小２，所以股＝（股弦和）２－勾２２×股弦和＝大２－（中２－小２）２×大，高２＝小２－股２＝小２－大２＋小２－中２２×（）大２．从而得到“三斜求积”公式．你能用正弦定理和余弦定理证明“三斜求积”公式或海伦公式吗？２８　　　数学科学是一个不可分割的有机整体，它的生命力正在于各部分之间的联系．———希尔伯特大千世界蕴含着无数的自然规律，从细胞分裂到放射性物质的衰变，从树木的生成模式到葵花种子、鹦鹉螺壳花纹的排列……它们各有其消长的方式和特点．　　　在日常生活中，我们经常会遇到存款利息、购房贷款、资产折旧等实际计算问题．描述、解决上述问题，就要用到本章我们将要学习的数列的有关知识．在本章中，我们主要研究两种特殊的数列———等差数列和等比数列．●等差数列和等比数列各有什么特点？●如何运用等差数列和等比数列解决有关的实际问题？１２．１数列的概念和简单表示２９　　　考察下面的问题：图１２１１某剧场有３０排座位，第一排有２０个座位，从第二排起，后一排都比前一排多２个座位（图１２１１），那么各排的座位数依次为２０，２２，２４，２６，２８，…．①人们在１７４０年发现了一颗彗星，并推算出这颗彗星每隔８３年出现一次，那么从发现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为１７４０，１８２３，１９０６，１９８９，２０７２，…．②某种细胞，如果每个细胞每分钟分裂为２个，那么每过１分钟，１个细胞分裂的个数依次为１，２，４，８，１６，…．③“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完．如果将“一尺之棰”视为１份，那么每日剩下的部分依次为１，１２，１４，１８，１１６，…．④图１２１２某种树木第１年长出幼枝，第２年幼枝长成粗干，第３年粗干可生出幼枝（图１２１２），那么按照这个规律，各年树木的枝干数依次为１，１，２，３，５，８，…．⑤从１９８４年到２００４年，我国共参加了６次奥运会，各次参赛获得的金牌总数依次为１５，５，１６，１６，２８，３２．⑥●这些问题有什么共同的特点？像这样按照一定次序排列的一列数称为数列（ｓｅｑｕｅｎｃｅｏｆｎｕｍｂｅｒ），数列中的每个数都叫做这个数列的项（ｔｅｒｍ）．数列的一般形式可以写成ａ１，ａ２，ａ３，…，ａｎ，…，简记为｛ａｎ｝，其中ａ１称为数列｛ａｎ｝的第１项（或称为首项），ａ２称为第２项，…，ａｎ称为第ｎ项．必修系列数学５３０　　　项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．在数列｛ａｎ｝中，对于每一个正整数ｎ（或ｎ∈｛１，２，…，ｋ｝），都有一个数ａｎ与之对应，因此，数列可以看成以正整数集Ｎ（或它的有限子集｛１，２，…，ｋ｝）为定义域的函数ａｎ＝ｆ（ｎ），当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值．反过来，对于函数ｙ＝ｆ（ｘ），如果ｆ（ｉ）（ｉ＝１，２，３，…）有意义，那么我们可以得到一个数列ｆ（１），ｆ（２），ｆ（３），…，ｆ（ｎ），…．例１　已知数列的第ｎ项ａｎ为２ｎ－１，写出这个数列的首项、第２项和第３项．解　首项为ａ１＝２×１－１＝１；第２项为ａ２＝２×２－１＝３；第３项为ａ３＝２×３－１＝５在例１中，第ｎ项ａｎ可用一个公式２ｎ－１来表示．一般地，如果数列｛ａｎ｝的第ｎ项与序号ｎ之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式（ｔｈｅｆｏｒｍｕｌａｏｆｇｅｎｅｒａｌｔｅｒｍ）．数列可以用通项公式来描述，也可以通过列表或图象来表示．例２　已知数列｛ａｎ｝的通项公式，写出这个数列的前５项，并作出它的图象：（１）ａｎ＝ｎｎ＋１；　　　　　（２）ａｎ＝（－１）ｎ２ｎ．解　我们用列表法分别给出这两个数列的前５项．ｎ１２３４５ａｎ＝ｎｎ＋１１２２３３４４５５６ａｎ＝（－１）ｎ２ｎ－１２１４－１８１１６－１３２　　它们的图象如图１２１３所示．图１２１３数　列第１２章３１　　　犈犡犆犈犔已知数列的通项公式，我们可以在Ｅｘｃｅｌ中方便地作出这个数列的图象，进而观察它的变化趋势．例如，在单元格Ａ１，Ａ２内分别输入１，２，选中这两个单元格后向下拖曳填充柄，生成序号１，２，３，…．在Ｂ１内输入“＝Ａ１／（Ａ１＋１）”，双击Ｂ１的填充柄，就得到与序号相对应的项．选中Ａ，Ｂ两列，插入“图表”，选择“ＸＹ散点图”，可得数列ａｎ＝ｎｎ＋１的图象（图１２１４）．图１２１４犆犃犔犆犝犔犃犜犗犚　　用计算器计算数列连续各项的方法：（１）项数赋初值．如ｘ＝１，按键顺序１ＳＨＩＦＴＳＴＯＸ．（２