高一数学知识点汇总讲解大全

高中数学知识点汇总（高一）1高中数学知识点汇总（高一）2一、集合和命题4二、不等式6三、函数的基本性质12四、幂函数、指数函数和对数函数12（一）幂函数13（二）指数&指数函数14（三）反函数的概念及其性质15（四）对数&对数函数17五、三角比24六、三角函数一、集合和命题一、集合：（1）集合的元素的性质：确定性、互异性和无序性；（2）元素与集合的关系：①EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3属于集合；②EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3不属于集合．（3）常用的数集：EMBEDEquation.3自然数集；正整数集；整数集；EMBEDEquation.3有理数集；EMBEDEquation.3实数集；EMBEDEquation.DSMT4空集；复数集；；；．（4）集合的表示方法：集合；例如：①列举法：；②描述法：．（5）集合之间的关系：①EMBEDEquation.3集合是集合的子集；特别地，；．②或EMBEDEquation.3集合与集合相等；③EMBEDEquation.3集合是集合的真子集．例：；．④空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．（6）集合的运算：①交集：EMBEDEquation.3集合与集合的交集；②并集：EMBEDEquation.3集合与集合的并集；③补集：设为全集，集合是的子集，则由中所有不属于的元素组成的集合，叫做集合在全集中的补集，记作．④得摩根定律：；（7）集合的子集个数：若集合有个元素，那么该集合有个子集；个真子集；个非空子集；个非空真子集．二、四种命题的形式：（1）命题：能判断真假的语句．（2）四种命题：如果用和分别表示原命题的条件和结论，用和分别表示和的否定，那么四种命题形式就是： 命题 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 表示形式 若，则 若，则； 若，则； 若，则． 逆命题关系 原命题逆命题 逆否命题否命题 否命题关系 原命题否命题 逆否命题逆命题 逆否命题关系 原命题逆否命题 逆命题否命题 同真同假关系 （3）充分条件，必要条件，充要条件：①若，那么叫做的充分条件，叫做的必要条件；②若且，即，那么既是的充分条件，又是的必要条件，也就是说，是的充分必要条件，简称充要条件．③欲证明条件是结论的充分必要条件，可分两步来证：第一步：证明充分性：条件结论；第二步：证明必要性：结论条件．（4）子集与推出关系：设、是非空集合，，，则与等价．结论：小范围大范围；例如：小明是上海人小明是中国人．小范围是大范围的充分非必要条件；大范围是小范围的必要非充分条件．二、不等式一、不等式的性质： 不等式的性质 1、；2、；3、；4、；5、；6、；7、；8、．二、一元一次不等式： 一元一次不等式 解集 三、一元二次不等式： 的根的判别式 ， EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3 四、含有绝对值不等式的性质：（1）；（2）．五、分式不等式：（1）；（2）．六、含绝对值的不等式： 七、指数不等式：（1）；（2）．八、对数不等式：（1）；（2）．九、不等式的证明：（1）常用的基本不等式：①，当且仅当时取“”号；②，当且仅当时取“”号；补充公式：．③，当且仅当时取“”号；④，当且仅当时取“”号；⑤为大于1的自然数，，当且仅当时取“”号；（2）证明不等式的常用方法：①比较法；②分析法；③综合法．三、函数的基本性质一、函数的概念：（1）若自变量因变量，则就是的函数，记作；的取值范围EMBEDEquation.3函数的定义域；的取值范围函数的值域．求定义域一般需要注意：①，；②，；③，；④，；⑤，且．（2）判断是否函数图像的方法：任取平行于轴的直线，与图像最多只有一个公共点；（3）判断两个函数是否同一个函数的方法：①定义域是否相同；②对应法则是否相同．二、函数的基本性质：（1）奇偶性： 函数 前提条件 “定义域关于0对称”成立 ①“定义域关于0对称”；②“”；③“”①不成立或者 成立 成立 奇偶性 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇偶函数图像性质 关于轴对称 关于对称 注意：定义域包括0的奇函数必过原点．（2）单调性和最值： 前提条件 ，，任取 单调增函数 或 单调减函数 或 最小值 任取 最大值 注意：①复合函数的单调性： 函数 单调性 外函数 内函数 复合函数 ②如果函数在某个区间上是增（减）函数，那么函数在区间上是单调函数，区间叫做函数的单调区间．（3）零点：若，且，则叫做函数的零点．零点定理：EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3；特别地，当是单调函数，且，则该函数在区间上有且仅有一个零点，即存在唯一，使得．（4）平移的规律：“左加右减，下加上减”． 函数 向左平移 向右平移 向上平移 向下平移 备注 （5）对称性：①轴对称的两个函数： 函数 对称轴 轴 轴 函数 ②中心对称的两个函数： 函数 对称中心 函数 ③轴对称的函数： 函数 对称轴 轴 条件 注意：EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4关于对称；EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4关于对称；EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4关于对称，即是偶函数．④中心对称的函数： 函数 对称中心 条件 注意：EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4关于点对称；EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4关于点对称；EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4关于点对称；EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4关于点对称，即是奇函数．（6）凹凸性：设函数，如果对任意，且，都有，则称函数在上是凹函数；例如：．进一步，如果对任意，都有，则称函数在上是凹函数；该不等式也称琴生不等式或詹森不等式；设函数，如果对任意，且，都有，则称函数在上是凸函数．例如：．进一步，如果对任意，都有，则称函数在上是凸函数；该不等式也称琴生不等式或詹森不等式．（7）翻折： 函数 翻折后 翻折过程 将在轴右边的图像不变，并将其翻折到轴左边，并覆盖． 将在轴上边的图像不变，并将其翻折到轴下边，并覆盖． 第一步：将在轴右边的图像不变，并将其翻折到左边，并覆盖；第二步：将轴上边的图像不变，并将其翻折到轴下边，并覆盖． 将在轴上边的图像保持不变，并将轴下边的图像翻折到轴上边，不覆盖．（8）周期性：若，，，恒有，则称为这个函数的周期．注意：若是的周期，那么也是这个函数的周期；周期函数的周期有无穷多个，但不一定有最小正周期．①，EMBEDEquation.DSMT4是周期函数，且其中一个周期；（阴影部分下略）②，EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4；③，EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4；④或，EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4；⑤或，EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4；⑥或，EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4；⑦关于直线，，都对称EMBEDEquation.DSMT4；⑧关于两点，，都成中心对称EMBEDEquation.DSMT4；⑨关于点，成中心对称，且关于直线，对称EMBEDEquation.DSMT4；⑩若（为常数，），则是以为周期的周期函数；若（为常数，为正偶数），则是以为周期的周期函数．三、V函数： 定义 形如的函数，称作V函数． 分类 图像 定义域 值域 对称轴 开口 向上 向下 顶点 单调性 在上单调递减；在上单调递增． 在上单调递增；在上单调递减． 注意 当时，该函数为偶函数四、分式函数： 定义 形如的函数，称作分式函数． 分类 （耐克函数） 图像 定义域 值域 渐近线 ， 单调性 在，上单调递增；在，上单调递减． 在，上单调递增；五、曼哈顿距离：在平面上，，，则称为的曼哈顿距离．六、某类带有绝对值的函数：1、对于函数，在时取最小值；2、对于函数，，在时取最小值；3、对于函数，，在时取最小值；4、对于函数，，在时取最小值；5、推广到，，在时取最小值；，，在时取最小值．思考：对于函数，在_________时取最小值．四、幂函数、指数函数和对数函数（一）幂函数（1）幂函数的定义：形如的函数称作幂函数，定义域因而异．（2）当时，幂函数在区间上的图像分三类，如图所示．（3）作幂函数的草图，可分两步：①根据的大小，作出该函数在区间上的图像；②根据该函数的定义域及其奇偶性，补全该函数在上的图像．（4）判断幂函数的的大小比较：方法一：与直线的交点越靠上，越大；方法二：与直线的交点越靠下，越大（5）关于形如的变形幂函数的作图：①作渐近线（用虚线）：、；②选取特殊点：任取该函数图像上一点，建议取；③画出大致图像：结合渐近线和特殊点，判断图像的方位（右上左下、左上右下）．（二）指数&指数函数1、指数运算法则：①；②；③；④，其中．2、指数函数图像及其性质： / 图像 定义域 值域 奇偶性 非奇非偶函数 渐近线 轴 单调性 在上单调递增； 在上单调递减； 性质 ①指数函数的函数值恒大于零；②指数函数的图像经过点； ③当时，；当时，． ③当时，；当时，．3、判断指数函数中参数的大小：方法一：与直线的交点越靠上，越大；方法二：与直线的交点越靠下，越大．（三）反函数的概念及其性质1、反函数的概念：对于函数，设它的定义域为，值域为，如果对于中任意一个值，在中总有唯一确定的值与它对应，且满足，这样得到的关于的函数叫做的反函数，记作．在习惯上，自变量常用表示，而函数用表示，所以把它改写为．2、求反函数的步骤：（“解”“换”“求”）①将看作方程，解出；②将、互换，得到；③标出反函数的定义域（原函数的值域）．3、反函数的条件：定义域与值域中的元素一一对应．4、反函数的性质：①原函数过点，则反函数过点；②原函数与反函数关于对称，且单调性相同；③奇函数的反函数必为奇函数．5、原函数与反函数的关系： / 函数 定义域 值域 （四）对数&对数函数1、指数与对数的关系： 底数 指数 幂 对数 真数2、对数的运算法则：①，，；②常用对数，自然对数；③，，；④，，，，．3、对数函数图像及其性质： / 图像 定义域 值域 奇偶性 非奇非偶函数 渐近线 轴 单调性 在上单调递增； 在上单调递减； 性质 ①对数函数的图像在轴的右方；②对数函数的图像经过点； ③当时，；当时，． ③当时，；当时，．4、判断对数函数中参数的大小：方法一：与直线的交点越靠右，越大；方法二：与直线的交点越靠左，越大．五、三角比1、角的定义：（1）终边相同的角：①与表示终边相同的角度；②终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；③与表示终边共线的角（同向或反向）．（2）特殊位置的角的集合的表示： 位置 角的集合 在轴正半轴上 在轴负半轴上 在轴上 在轴正半轴上 在轴负半轴上 在轴上 在坐标轴上 在第一象限内 在第二象限内 在第三象限内 在第四象限内 （3）弧度制与角度制互化：①；②；③．（4）扇形有关公式：①；②弧长公式：；③扇形面积公式：（想象三角形面积公式）．（5）集合中常见角的合并：（6）三角比公式及其在各象限的正负情况：以角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴建立直角坐标系，在的终边上任取一个异于原点的点，点到原点的距离记为，则（7）特殊角的三角比： 角度制 弧度制 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 无 0 无 0（8）一些重要的结论：（注意，如果没有特别指明，的取值范围是）①角和角的终边： 角和角的终边 关于轴对称 关于轴对称 关于原点对称 ②的终边与的终边的关系．的终边在第一象限EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4；的终边在第二象限EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4；的终边在第三象限EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4；的终边在第四象限EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4．③与的大小关系：EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4的终边在直线右边（）；EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4的终边在直线左边（）；EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4的终边在直线上（）．④与的大小关系：EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4的终边在或；EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4的终边在或；EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4，EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4的终边在．2、三角比公式：（1）诱导公式：（诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限）第一组诱导公式：第二组诱导公式：第三组诱导公式：（周期性）（奇偶性）（中心对称性）第四组诱导公式：第五组诱导公式：第六组诱导公式：（轴对称）（互余性）（2）同角三角比的关系：倒数关系：商数关系：平方关系：（3）两角和差的正弦公式：；两角和差的余弦公式：；两角和差的正切公式：．（4）二倍角的正弦公式：；二倍角的余弦公式：；二倍角的正切公式：；降次公式：万能置换公式：；半角公式：；（5）辅助角公式：①版本一：，其中．②版本二：，其中．3、正余弦函数的五点法作图：以为例，令依次为，求出对应的与值，描点作图．4、正弦定理和余弦定理：（1）正弦定理：为外接圆半径；其中常见的结论有：①，，；②，，；③；④；；．（2）余弦定理：版本一：；版本二：；（3）任意三角形射影定理（第一余弦定理）：．5、与三角形有关的三角比：（1）三角形的面积：①；②；③，为的周长．（2）在中，①；②若是锐角三角形，则；③；；；④；；⑤；；；EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4；⑥；；⑦；．其中，第一组可以利用琴生不等式来证明；第二组可以结合第一组及基本不等式证明．（3）在中，角、、成等差数列EMBEDEquation.DSMT4．（4）的内切圆半径为．6、仰角、俯角、方位角：略7、和差化积与积化和差公式（理科）：（1）积化和差公式：；（2）和差化积公式：．六、三角函数1、正弦函数、余弦函数和正切函数的性质、图像： 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 周期性 最小正周期 最小正周期 最小正周期 单调性 ；．（） ；．（） （） 最值 当时，；当时，； 当时，；当时，； 无 图像 例1：求函数的周期、单调区间和最值．（当的系数为负数时，单调性相反）解析：周期，由函数的递增区间，可得，即，于是，函数的递增区间为．同理可得函数递减区间为．当，即时，函数取最大值5；当，即时，函数取最大值．例2：求函数的单调区间和最值．解析：由，可得．然后画出的终边图，然后就可以得出当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减．同时，当，即时，函数取最大值12；当，即时，函数取最小值；注意：当的系数为负数时，单调性的分析正好相反．2、函数&&，其中：（1）复合三角函数的基本性质： 三角函数 其中 其中 其中 振幅 无 基准线 定义域 值域 最小正周期 频率 相位 初相 （2）函数与函数的图像的关系如下：①相位变换：当时，；当时，；②周期变换：当时，；当时，；③振幅变换：当时，；当时，；④最值变换：当时，；当时，；注意：函数和函数的变换情况同上．3、三角函数的值域：（1）型：设，化为一次函数在闭区间上求最值．（2），型：引入辅助角，化为．（3）型：设，化为二次函数求解．（4）型：设，则，化为二次函数在闭区间上求最值．（5）型：设，化为，用“Nike函数”或“差函数”求解．（6）型：方法一：常数分离、分层求解；方法二：利用有界性，化为求解．（7）型：化为，合并，利用有界性，求解．（8），（不全为0）型：利用降次公式，可得，然后利用辅助角公式即可．4、三角函数的对称性： 对称中心 对称轴方程 ， ， ， ， EMBEDEquation.3 / EMBEDEquation.3 /备注：①和的对称中心在其函数图像上；②和的对称中心不一定在其函数图像上．（有可能在渐近线上）例3：求函数的对称轴方程和对称中心．解析：由函数的对称轴方程，，可得，解得，．所以，函数的对称轴方程为，．由函数的中心对称点，，可得，解得，．所以，函数的对称中心为，．5、反正弦、反余弦、反正切函数的性质和图像： 定义域 值域 奇偶性 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在上是增函数 在上是减函数 在上是增函数 对称中心 点 点 点 图像 重要结论：（1）先反三角函数后三角函数：①；②．（2）先三角函数后反三角函数：①EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4；②EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4；③EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4．（3）反三角函数对称中心特征方程式：①EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4；②EMBEDEquation.DSMT4；③EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4．6、解三角方程公式：．PAGE_1234568401.unknown_1234568657.unknown_1234568785.unknown_1234568849.unknown_1234568881.unknown_1234568913.unknown_1234568929.unknown_1234568945.unknown_1234568953.unknown_1234568957.unknown_1234568961.unknown_1234568963.unknown_1234568964.unknown_1234568965.unknown_1234568962.unknown_1234568959.unknown_1234568960.unknown_1234568958.unknown_1234568955.unknown_1234568956.unknown_1234568954.unknown_1234568949.unknown_1234568951.unknown_1234568952.unknown_1234568950.unknown_1234568947.unknown_1234568948.unknown_1234568946.unknown_1234568937.unknown_1234568941.unknown_1234568943.unknown_1234568944.unknown_1234568942.unknown_1234568939.unknown_1234568940.unknown_1234568938.unknown_1234568933.unknown_1234568935.unknown_1234568936.unknown_1234568934.unknown_1234568931.unknown_1234568932.unknown_1234568930.unknown_1234568921.unknown_1234568925.unknown_1234568927.unknown_1234568928.unknown_1234568926.unknown_1234568923.unknown_1234568924.unknown_1234568922.unknown_1234568917.unknown_1234568919.unknown_1234568920.unknown_1234568918.unknown_1234568915.unknown_1234568916.unknown_1234568914.unknown_1234568897.unknown_1234568905.unknown_1234568909.unknown_1234568911.unknown_1234568912.unknown_1234568910.unknown_1234568907.unknown_1234568908.unknown_1234568906.unknown_1234568901.unknown_1234568903.unknown_1234568904.unknown_1234568902.unknown_1234568899.unknown_1234568900.unknown_1234568898.unknown_1234568889.unknown_1234568893.unknown_1234568895.unknown_1234568896.unknown_1234568894.unknown_1234568891.unknown_1234568892.unknown_1234568890.unknown_1234568885.unknown_1234568887.unknown_1234568888.unknown_1234568886.unknown_1234568883.unknown_1234568884.unknown_1234568882.unknown_1234568865.unknown_1234568873.unknown_1234568877.unknown_1234568879.unknown_1234568880.unknown_1234568878.unknown_1234568875.unknown_1234568876.unknown_1234568874.unknown_1234568869.unknown_1234568871.unknown_1234568872.unknown_1234568870.unknown_1234568867.unknown_1234568868.unknown_1234568866.unknown_1234568857.unknown_1234568861.unknown_1234568863.unknown_1234568864.unknown_1234568862.unknown_1234568859.unknown_1234568860.unknown_1234568858.unknown_1234568853.unknown_1234568855.unknown_1234568856.unknown_1234568854.unknown_1234568851.unknown_1234568852.unknown_1234568850.unknown_1234568817.unknown_1234568833.unknown_1234568841.unknown_1234568845.unknown_1234568847.unknown_1234568848.unknown_1234568846.unknown_1234568843.unknown_1234568844.unknown_1234568842.unknown_1234568837.unknown_1234568839.unknown_1234568840.unknown_1234568838.unknown_1234568835.unknown_1234568836.unknown_1234568834.unknown_1234568825.unknown_1234568829.unknown_1234568831.unknown_1234568832.unknown_1234568830.unknown_1234568827.unknown_1234568828.unknown_1234568826.unknown_1234568821.unknown_1234568823.unknown_1234568824.unknown_1234568822.unknown_1234568819.unknown_1234568820.unknown_1234568818.unknown_1234568801.unknown_1234568809.unknown_1234568813.unknown_1234568815.unknown_1234568816.unknown_1234568814.unknown_1234568811.unknown_1234568812.unknown_1234568810.unknown_1234568805.unknown_1234568807.unknown_1234568808.unknown_1234568806.unknown_1234568803.unknown_1234568804.unknown_1234568802.unknown_1234568793.unknown_1234568797.unknown_1234568799.unknown_1234568800.unknown_1234568798.unknown_1234568795.unknown_1234568796.unknown_1234568794.unknown_1234568789.unknown_1234568791.unknown_1234568792.unknown_1234568790.unknown_1234568787.unknown_1234568788.unknown_1234568786.unknown_1234568721.unknown_1234568753.unknown_1234568769.unknown_1234568777.unknown_1234568781.unknown_1234568783.unknown_1234568784.unknown_1234568782.unknown_1234568779.unknown_1234568780.unknown_1234568778.unknown_1234568773.unknown_1234568775.unknown_1234568776.unknown_1234568774.unknown_1234568771.unknown_1234568772.unknown_1234568770.unknown_1234568761.unknown_1234568765.unknown_1234568767.unknown_1234568768.unknown_1234568766.unknown_1234568763.unknown_1234568764.unknown_1234568762.unknown_1234568757.unknown_1234568759.unknown_1234568760.unknown_1234568758.unknown_1234568755.unknown_1234568756.unknown_1234568754.unknown_1234568737.unknown_1234568745.unknown_1234568749.unknown_1234568751.unknown_1234568752.unknown_1234568750.unknown_1234568747.unknown_1234568748.unknown_1234568746.unknown_1234568741.unknown_1234568743.unknown_1234568744.unknown_1234568742.unknown_1234568739.unknown_1234568740.unknown_1234568738.unknown_1234568729.unknown_1234568733.unknown_1234568735.unknown_1234568736.unknown_1234568734.unknown_1234568731.unknown_1234568732.unknown_1234568730.unknown_1234568725.unknown_1234568727.unknown_1234568728.unknown_1234568726.unknown_1234568723.unknown_1234568724.unknown_1234568722.unknown_1234568689.un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