河南省南阳市2019届高三上学期期末质量评估数学（理）试题（解析版）

河南省南阳市2019届高三上学期期末质量评估数学（理） 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知i为虚数单位，，其中x，，则　　A. B. C.2 D.4【答案】A【解析】解：，其中x，，，，，解得．则．故选：A．利用复数的相等、模的计算公式即可得出．本题考查了复数的相等、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.设集合，，若，则　　A. B.0， C.0， D.0，1，【答案】B【解析】解：，从而，0，，故选：B．根据集合，，若，则，，从而求得．此题是个基础题考查集合的交集和并集及其运算，注意集合元素的互异性，以及对数恒等式和真数是正数等基础知识的应用．3.把四个不同的小球放入三个分别标有号的盒子中，不允许有空盒子的放法有　　A.12种 B.24种 C.36种 D.48种【答案】C【解析】解：根据题意，四个不同的小球放入三个分别标有号的盒子中，且没有空盒，三个盒子中有1个中放2个球，剩下的2个盒子中各放1个，则分2步进行分析：、先将四个不同的小球分成3组，有种分组方法；、将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，有种放法；则不允许有空盒子的放法种；故选：C．根据题意，分2步进行分析：、先将四个不同的小球分成3组，、将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，注意要先分组，再进行排列．4.已知双曲线C：的一条渐近线方程为，则C的离心率为　　A. B.或 C.2 D.【答案】D【解析】解：双曲线的方程为，双曲线的渐近线方程为，结合题意一条渐近线方程为，得b：：1，设，，则该双曲线的离心率是，故选：D．由题意设出双曲线的方程，得到它的一条渐近线方程即，由此可得b：：1，结合双曲线的平方关系可得c与a的比值，求出该双曲线的离心率．本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．5.数列首项，对于任意m，，有，则前5项和　　A.121 B.25 C.31 D.35【答案】D【解析】解：数列首项，对于任意m，，有，，是首项为1，公差为3的等差数列，前5项和．故选：D．推导出是首项为1，公差为3的等差数列，由此能求出前5项和．本题考查等差数列的前5项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．6.如图程序框图的算法思路是来源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”执行该程序框图时，若输入a、b的分别为16、18，输出的结果为a，则二项式的展开式中常数项是　　A. B.52 C. D.【答案】D【解析】解：由程序框图可知：当，时，不满足，则b变为，由，则a变为，由，则a变为，由，则a变为，由，则a变为，由，则a变为，由，则a变为，由，则a变为，由，则输出的．则二项式，它的展开式的通项公式为，，1，，令，可得展开式中常数项是，故选：D．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况可得a，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．本题考查算法和程序框图，考查二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．7.已知x，y满足，若存在x，y使得成立，则a的取值范围是　　A. B. C. D.【答案】B【解析】解：令，画出x，y满足，的可行域，由可行域知：目标函数过点A时取最大值，由，可得，，可得时，z的最小值为：2．所以要使恒成立，只需使目标函数的最小值小于等于a即可，所以a的取值范围为．故答案为：．故选：B．画出x，y满足的平面区域，求出可行域各角点的坐标，然后利用角点法，求出目标函数的最大值和最小值，即可得到a的取值范围．本题考查的知识点是简单线性规划，其中画出约束条件的平面区域，利用图象分析目标函数的取值是解答本题的关键8.设函数是定义在R上的周期为2的函数，且对任意的实数x，恒有，当时，，若在上有且仅有三个零点，则a的取值范围为　　A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了零点个数的判断，，考查了函数的周期性、奇偶性、函数的零点与方程根的关系，作出的函数图象是解题关键．根据函数的周期和奇偶性作出和在上的图象，根据交点个数列出不等式解出a．【解答】解：，，是偶函数，根据函数的周期和奇偶性作出的图象如图所示：在上有且仅有三个零点，和的图象在上只有三个交点，，解得．故选C．9.函数在内的值域为，则的取值范围是　　A. B. C. D.【答案】D【解析】解：函数，当时，，，画出图形如图所示；则，解得，的取值范围是故选：D．根据余弦函数的图象与性质，结合题意得出，从而求出的取值范围．本题考查了余弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题．10.在区间上随机取两个数x，y，则的概率是　　A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由题意把两个数为x，y看作点，则，它所 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示的平面区域是边长为4的正方形，面积为；转化为，如图所示；且满足的区域面积是：，则的概率为：．故选：C．由题意把两个数为x，y看作点，作出表示的平面区域，把转化为，求出满足的区域面积，计算所求的概率值．本题考查了几何概型的计算问题，熟练掌握几何概率模型的特征是解题的关键．11.已知三棱锥的底面为正三角形，顶点在底面上的射影为底面的中心，M，N分别是棱SC，BC的中点，且，若侧棱，则三棱锥的外接球的表面积是　　A. B. C. D.【答案】C【解析】解：，N分别为棱SC，BC的中点，三棱锥为正棱锥，对棱互相垂直，又，而，平面SAC，平面SAC以SA，SB，SC为从同一定点S出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，，．故选：C．由题意推出平面SAC，即平面SAC，，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的表面积积．本题考查了三棱锥的外接球的体积，考查空间想象能力三棱锥扩展为正方体，它的对角线长就是外接球的直径，是解决本题的关键．12.已知函数，a，若不等式对所有的，都成立，则a的取值范围是　　A. B. C. D.【答案】B【解析】解：若不等式对所有的，都成立，即对所有的，都成立，即对所有的，都成立，即对都成立，即对都成立，即a大于等于在区间上的最大值，令，则，当时，0'/>，单调递增，所以，的最大值为，即，所以a的取值范围为．故选：B．问题转化为对都成立，令，求出的导数，通过讨论函数的单调性，求出的最大值，从而求出a的范围即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设函数，则______．【答案】3【解析】解：函数，则．故答案为：3．利用分段函数直接求解函数值即可．本题考查函数值的求法，分段函数的应用，考查计算能力．14.已知，若向量与共线，则在方向上的投影为______．【答案】【解析】解：，与共线，，即．，在方向上的投影为．故答案为：．根据向量共线求出，计算，代入投影公式即可．本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．15.等比数列的前n项和记为，若，则______．【答案】【解析】解：由等比数列的前n项求和公式可知：，，，成等比数列，当时，有  因为，所以，即得  由得，故答案为：．考查等比数列前n项求和的性质公式．本题考查等比数列前n项和性质，和运算能力，属于中档题目．16.抛物线的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为______．【答案】【解析】解：设，，连接AF、BF，由抛物线定义，得，，在梯形ABPQ中，．由余弦定理得，，配方得，，又，得到．，即的最大值为．故答案为：．设，，连接AF、由抛物线定义得，由余弦定理可得，进而根据基本不等式，求得的取值范围，从而得到本题答案．本题在抛物线中，利用定义和余弦定理求的最大值，着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知三角形ABC中，角A，B，C成等差数列，且为角A的内角平分线，．求三角形内角C的大小；求面积的S．【答案】解：角A，B，C成等差数列，，，，，，，，，，．由值，，由正弦定理得，得，同理得，面积的．【解析】根据角A，B，C成等差数列，可得，利用三角形内角和定理带入化简可得C的大小；根据C的大小和，可得A，B的大小利用正弦定理即可求解．本题考查了正弦定理、三角恒等变形，属于中档题．18.某学校用简单随机抽样方法抽取了100名同学，对其日均课外阅读时间单位：分钟进行调查，结果如下： t 男同学人数 7 11 15 12 2 1 女同学人数 8 9 17 13 3 2若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”．将频率视为概率，估计该校4000名学生中“读书迷”有多少人？从已抽取的8名“读书迷”中随机抽取4位同学参加读书日宣传活动．求抽取的4位同学中既有男同学又有女同学的概率；记抽取的“读书迷”中男生人数为X，求X的分布列和数学期望．【答案】解：设该校4000名学生中“读书迷”有x人，则，解得，所以该校4000名学生中“读书迷”约有320人；抽取的4名同学既有男同学，又有女同学的概率为：；可取为0，1，2，3；则，，，；的分布列为： X 0 1 2 3 P 数学期望为．【解析】设该校4000名学生中“读书迷”有x人，根据比例关系列出方程求出x的值即可；利用对立事件的概率计算抽取的4名同学既有男同学，又有女同学的概率；根据题意得出X的可能取值，计算对应的概率，写出分布列，计算数学期望值．本题考查了古典概型的概率计算问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题．19.如图1，在矩形ABCD中，，，点E在线段DC上，且，现将沿AE折到的位置，连结，，如图2．若点P在线段BC上，且，证明：；记平面与平面的交线为若二面角为，求l与平面所成角的正弦值．【答案】证明：先在图1中连结DP，在中，由，，得，在中，由，，得，，则，，从而有，，即在图2中有，，平面，则；解：延长AE，BC交于点Q，连接，根据公理3得到直线即为l，再根据二面角定义得到．在平面内过点O作底面垂线，以O为原点，分别为OA，OP，及所作垂线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则，0，，0，，4，，1，，4，，，设平面的一个法向量为，由，取，得．与平面所成角的正弦值为．【解析】先在图1中连结DP，根据得到，从而有，，即在图2中有，，即可证明平面，从而得到；延长AE，BC交于点Q，连接，根据公理3得到直线即为l，在平面内过点O作底面垂线，以O为原点，分别为OA，OP，及所作垂线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解l与平面所成角的正弦值．本题考查空间中直线与直线的位置关系，考查线面垂直的求法，训练了利用空间向量求解线面角，是中档题．20.一张坐标纸上涂着圆E：及点，折叠此纸片，使P与圆周上某点重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与的交点为M．求M的轨迹C的方程；直线l：与C的两个不同交点为A，B，且l与以EP为直径的圆相切，若，求的面积的取值范围．【答案】解：折痕为的垂直平分线，则，由题意知圆E的半径为，，的轨迹是以E、P为焦点的椭圆，且，，，的轨迹C的方程为．与以EP为直径的圆相切，则O到l即直线AB的距离：，即，由，消去y，得，直线l与椭圆交于两个不同点，，，设，，则，，，又，，，，设，则，，，关于在单调递增，，的面积的取值范围是【解析】折痕为的垂直平分线，则，推导出E的轨迹是以E、P为焦点的椭圆，且，，由此能求出M的轨迹C的方程．与以EP为直径的圆相切，从而，由，得，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积、弦长公式、三角形面积公式，能求出的面积的取值范围．本题考查点的轨迹方程的求法，考查三角形面积的取值范围的求法，考查圆、椭圆、根的判别式、韦达定理、向量的数量积、弦长公式、三角形面积公式、换元法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．21.已知函数．求函数的极值；当时，过原点分别作曲线 与的切线，，若两切线的斜率互为倒数，求证：．【答案】解：若时，所以函数在单调递增，故无极大值和极小值若，由得，所以函数单调递增，，函数单调递减故函数有极大值，无极小值．证明：设切线的方程为，切点为，则，，所以，，则．由题意知，切线的斜率为，的方程为．设与曲线的切点为，则，所以，．又因为，消去和a后，整理得令，则，所以在上单调递减，在上单调递增．又为的一个零点，所以若，因为，，所以，因为所以，所以．若，因为在上单调递增，且，则，所以舍去．综上可知，．【解析】利用导数求函数的单调区间，从而求解函数的极值；设切线的方程为，从而由导数及斜率公式可求得切点为，；再设的方程，整理得，再令，求导确定函数的单调性，从而问题得证．本题考查利用导数讨论含参数函数的单调性、利用导数求曲线的切线问题，主要考查利用导函数研究曲线的切线及结合方程有解零点存在定理的应该用求参数的问题，得到不等式的证明；属于难题．22.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，直线l与曲线C交于A，B两点．求直线ll的普通方程和曲线C的直角坐标方程；已知点P的极坐标为，求的值．【答案】解：直线l的参数方程为为参数，的普通方程为：；又曲线C的极坐标方程为，即，曲线C的直角坐标方程为，即曲线C的直角坐标方程为：．解法一：在直线l上，直线l的参数方程为为参数，代入曲线C的直角坐标方程得，即，．解法二：联立，得，解得，，，，，．【解析】由直线l的参数方程能求出l的普通方程；由曲线C的极坐标方程转为，能求出曲线C的直角坐标方程．法一：在直线l上，直线l的参数方程为为参数，代入曲线C的直角坐标方程得，由此能求出出的值．法二：联立，得，求出，由此能求出出的值．本题考查直线的普通方程和曲线的直线坐标方程的求法，考查两段积的求法，考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．23.已知函数．求的解集；设函数，若对成立，求实数k的取值范围【答案】解：函数，，即，或或解不等式组得：；解不等式组得：无解；解不等式组得：；所以的解集为或；即的图象恒在，图象的上方，可以作出的图象，而，图象为恒过定点，且斜率k变化的一条直线，作出函数，的图象，如图所示；其中，可求：，；由图可知，要使得的图象恒在图象的上方，实数k的取值范围是．【解析】根据绝对值的定义，分段讨论去掉绝对值解不等式即可；恒成立化为的图象恒在图象的上方，作出、的图象，利用数形结合法求得实数k的取值范围．本题考查了含有绝对值的函数与不等式的应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是中档题．