《解析几何简明教程》(吴光磊 田畴 著)课后习题答案 高等教育出版社

1第一章空间直角坐标，平面和直线1．在给定坐标系中画出下列各点：341510421421，，，，，，，，，，，。2．自点M321，，和Ncba,,分别引各坐标平面和坐标轴的垂线，求各垂足的坐标。解：点M321，，在平面XOY，XOZ，YOZ上的垂足分别为：320301021，，，，，，，，在X，Y，Z轴上的垂足分别为：300020001，，，，，，，，点Ncba,,在平面XOY，XOZ，YOZ上的垂足分别为：cb，ca，，ba,,0,00,,在X，Y，Z轴上的垂足分别为：，c，，，b，，，a，0000003.给定点M3,2,1和Ncba,,，求它们分别对于坐标平面、坐标轴和原点的对称点的坐标。解：关于XOY对称关于XOZ对称关于YOZ对称关于原点对称M（1，-2，3）（1，-2，-3）（1，2，3）（-1，-2，3）（-1，2，-3）N（a,b,c）（a,b,-c）（a,-b,c）（-a,b,c）（-a,-b,-c）关于X轴对称关于Y轴对称关于Z轴对称M（1，-2，3）（1，2，-3）（-1，-2，-3）（-1，2，3）N（a,b,c）（a,-b,-c）（-a,b,-c）（-a,-b,c）4．求点M（4，-3，5）到原点、各坐标轴和各坐标平面的距离。解：点M到原点的距离：255)3(4222OM点M在XOY，XOZ，YOZ上的垂足分别为A（4，-3，0），B（4，0，5），C（O，-3，5），则距离为：52500MA，30)3(02MB，40042MC，点M在X，Y，Z轴上的垂足分别为)0,0,4(A，B（0，-3，0），C（0，0，5）则距离为：345)3(22AM，1454B22M，543C22M5．求点（1，2，-2）和（-1，0，-2）之间的距离。解：所求距离为：3121)(1d2226．求下列方向余弦：（1，2，-2），（2，0，0），（0，2，-2），（-1，-2，-5）。解：（1，2，-2）的方向余弦为：)2,2,1(31，即：（323231，，） 2（2，0，0）的方向余弦为：)00,2(21，，即：（001，，）（0，2，-2）的方向余弦为：)220(221，，，即：（)22220，，（-1，-2，-5）的方向余弦为：)521(301，，，即：（)63015303030，，7．求从点（1，2，-2）到点（-1，0，-1）的方向的方向数和方向余弦。解：从点（1，2，-2）到点（-1，0，-1）的方向的方向数为（-1-1，0-2，-1+2），即（-2，-2，1）；方向余弦为（)31,32,32。8．求下列方向的方向角：（0,0,-1）,()4,1,2(),0,21,23。解：（0，0，-1）的方向余弦为：0，0，-1，则方向角为：,2,2（)0,21,23的方向余弦为：0,21,23，则方向角为：2,3,6（-2，-1，-4）的方向余弦为：21214,2121,21212，则方向角为：21214arccos,2121arccos,21212arccos9．求下列各对方向之间的夹角：1）（1，0，1）和（0，0，1）；2）（-1，-2，3）和（2，0，1）；3）（01，-4，-5）和（2，3，4）。解：1）方向余弦为（22,0,22）和（0，0，1），则：2212200022cos而),0(故42）方向余弦为（14142,714,1414）和（55,0,552），则：7070arccos707055141430)714(5521414cos3）方向余弦为（425,424,421）和（294,293,292），则：   ??????????，????????！?www.khdaw.comkhdaw.comkhdaw.com?????www.hackshp.cn?????：www.hackshp.cn??????????，??????！www.hackshp.cn3609121817arccos609121817294425293424293241cos10.证明：顶点是A（2，4，3），B（4，1，9），C（10，-1，6）的三角形是直角三形角形。求出各边的长和各内角的大小。证明：7,27,7)6,1,10(),9,1,4(),3,4,2(BCACABCBA即：222ACBCABRtABC是又：BCAB2,4BCA故各边长为：;27,7ACBCAB各内角为：2,4BCA11．在给定的坐标系中画出下列平面：1）;0632zyx2);0122zyx3);023y4);0234zx5).043zyx12.求下列平面的方程：1）过点（0，-1，4），法向的方向数为（2，-1，0）；解：1）设所求方程为：02Dyx，又点（0，-1，4）在平面上0)1(02D1D012yx：所求平面方程为2）过点（-1，-5，4），平行于平面;0523yx解：2）设平面方程为：023Dyx，则：0)5(2)1(3D7D0723yx：所求平面方程为3）过点（1，3，5），（-1，-2，3），（2，0，-3）；解：设平面方程为：0(DCzByAx，则由题可得：11183435351135183534032032053CBA，DDCDBDADCADCBADCBA则令   ??????????，????????！?www.khdaw.comkhdaw.comkhdaw.com?????www.hackshp.cn?????：www.hackshp.cn??????????，??????！www.hackshp.cn4035111834zyx：所求平面方程为4）过点（3，-1，4）和（1，0，-3），垂直于平面;0152zyx解：设平面方程为：0DCzByAx，则由题可得：61316305203043DBA，CCDCBCACBADCADCBA则令063zyx：所求平面方程为5）过点（0，-1，3）和Y轴；解：设平面方程为：0CzAx，则：6）过点（-2，-1，3）和（0，-1，2），平行于Z轴。解：设平面方程为：0DByAx，则由题可得：010002y：ADBDBDBA所求平面方程为13．将11题中的平面方程化为法式方程：解：1）法式方程为：07143141414143714zyx2）法式方程为：01414141437141414zyx3）法式方程为：032y4）法式方程为：0525354zx5）法式方程为：013262262626263zyx14．在给定的直角坐标系中画出下列直线：1）141211xyx；2）231201zyx；3）212312zyx；4）.0134,0132zyxyx15．求下列直线的方程：000030x：ACCA所求平面方程为而   ??????????，????????！?www.khdaw.comkhdaw.comkhdaw.com?????www.hackshp.cn?????：www.hackshp.cn??????????，??????！www.hackshp.cn51）过点（-2，3，5），方向数为（-1，3，4）；解：直线方程为：453312zyx2）过点（0，3，1）和（-1，2，7）；解：直线的方向数为：（-1，-1，6），则直线方程为：671211zyx3）过点（-1，2，9），垂直于平面3x+2y-z+5=0;解：由题可知直线的方向数为：（3，2，-1），则直线方程为：192231zyx4）过点（2，4，-1），与三个坐标轴成等角。解：由于直线与三个坐标轴成等角，则（1，1，1）为其一个方向数，则：直线方程为：111411zyx16．给定直线321121:zyxl，求1）过l平行于Z轴的平面；解：由题可设平面方程为：0DByAx，则：1212002DB：，AADABDBABA则令012yx：所求平面方程为2）l在XY平面上的投影。解：由01121zyx得直线l在XY平面上的投影为：0012zyx17．求下列直线在各坐标平面上的投影；并画图：1）112311zyx解：由02311zyx得直线在XOY平面上的投影为：012zyx由01111yzx得直线在XOZ平面上的投影为：02yzx由01123xzy得直线在YOZ平面上的投影为：052xzy   ??????????，????????！?www.khdaw.comkhdaw.comkhdaw.com?????www.hackshp.cn?????：www.hackshp.cn??????????，??????！www.hackshp.cn62）221101zyx；解：由01101zyx得直线在XOY平面上的投影为：01zx由02201yzx得直线在XOZ平面上的投影为：022yx由02211xzy得直线在YOZ平面上的投影为：042xzy3）032013zxzyx解：由032013zxzyx得直线的点向方程为：27112zyx0112zyx由得直线在XOY平面上的投影为：02zyx由02712yzx得直线在YOZ平面上的投影为：032yzx由0271xzy得直线在YOZ平面上的投影为：072xzy4）0201zx解：直线的点向方程为：02101zyx0101zyx由得直线在XOY平面上的投影为：01zx由00201yzx得直线在YOZ平面上的投影为：)2,0,1(   ??????????，????????！?www.khdaw.comkhdaw.comkhdaw.com?????www.hackshp.cn?????：www.hackshp.cn??????????，??????！www.hackshp.cn7由0021xzy得直线在YOZ平面上的投影为：02xz18．将下列直线的方程化为点向式：（1）;0132,03zyxzyx解：由135488453013203zyx：zxzyzyxzyx直线点向方程为（2）;01,01zyx解：由01111110101zyx：zyxzyx直线点向方程为（3）;0134,023zyyx解：由4332134230124023zyx：xzxyzyyx直线点向方程为（4）;02,01zy解：由0011210201zzyx：zyzy直线点向方程为19．求下列各对直线之间的夹角：1）23011011211zyxzyx与；解：设直线间的夹角为θ，由于两直线的方向数为（1,-1,0）,(-1,0,2),则方向余弦为（0,22,22），（552,0,55）10105520022)55(22cos1010arccos2）31421241311zyxzyx与；解：设直线间的夹角为θ，两直线的方向数为（-1，1，2），（-2，4，-3），由于：（-1）×（-2）+1×4+2×（-3）=0   ??????????，????????！?www.khdaw.comkhdaw.comkhdaw.com?????www.hackshp.cn?????：www.hackshp.cn??????????，??????！www.hackshp.cn82两直线间的夹角.3）.023,013012,01zyyxxyxzyx与；解：设直线间的夹角为θ，由题可知两直线的方向数为（-3，1，2），（31131，，），则方向余弦为（142141143，，），（111113111，，），771542)111(142113141)111(143cos771542arccos20．求直线与平面的交点：1）023123121zyxzyx与；解：1125112011511251120115023123121，，zyxzyxzyx交点为2）平面与XZzyxzyx022,0132；解：350313503100220132，，zyxyzyxzyx交点为3）0623421122zyxzyx与；解：0142132而直线上一定点（-2，1，-2）也在平面上直线在平面上即：直线与平面有无数个交点。4）0723421122zyxzyx与.解：0142132但直线上一定点（-2，1，-2）不在平面上   ??????????，????????！?www.khdaw.comkhdaw.comkhdaw.com?????www.hackshp.cn?????：www.hackshp.cn??????????，??????！www.hackshp.cn9直线平行于平面即：直线与平面没有交点。21．求直线：)2(0,0:2122221111CCDzCyBxADzCyBxAl与Z轴相交的条件。解：令X=0，y=0，则：,002211DZCDZC即：2211CDZCDZ∴直线l与z轴相交的条件是：2211CDCD，即：2211CDCD22．证明：直线nzzmyylxxp000:落在平面0:DCzByAx上必须且只须.0,0000DCzByAxCnBmAl同时，写出p平行于π但不在π上的条件。证明：直线p与平面π的方向数分别为：（l,m,n）,（A,B,C）∵Al+Bm+Cn=0∴直线p平行于平面π。又：点（x0,y0,z0）在直线p上，且Ax0+By0+Cz0+D=0,即点（x0,y0,z0）也在平面π上∴直线p在平面π上。23．求经过直线0132309232zyxzyx和点（1,2,1）的平面方程。解：设平面方程为：0)1323()9232(zyxBzyxA，又：点（1,2,1）在平面上∴0)1132213()9122312(BA∴A=-B令B=-1，则A=1故：所求平面方程为：085zyx24．设平面π1与π2不平行，它们的方程分别为01111DzCyBxA，02222DzCyBxA。证明：过π1和π2的交线的所有平面的方程都可以表示成0)()(22221111DzCyBxADzCyBxA，其中λ和μ为不全为零的实数。证明：∵21,21L且008:2222111DzCyBxAzCyBxAL   ??????????，????????！?www.khdaw.comkhdaw.comkhdaw.com?????www.hackshp.cn?????：www.hackshp.cn??????????，??????！www.hackshp.cn10设0)()(22221111DzCyBxADzCyBxA其中022，由21知该方程是一个三元一次方程，即方程表示一个平面设Lzyx000,,，则：把点000,,zyx代入π中有：0)()(20202021010101DzCyBxAMDzCyBxA即：左边=右边∴L在π上。由,的任意性可知：所有过L的平面上方程都可以成：0)()(22221111DzCyBxADzCyBxA   ??????????，????????！?www.khdaw.comkhdaw.comkhdaw.com?????www.hackshp.cn?????：www.hackshp.cn??????????，??????！www.hackshp.cn11第二章向量代数1．已知平行四边形ABCD的对角DACD，BC，ABbBDaAC和求,,。解：22baABbaBCbBDABBCaACABBC22baBCCBDAabABBACD故：)(21);(21),(21),(21baDAabCDbaBCbaAB2．已知平行四边形ABCD的边BC和CD的中点分别为K和L，且lALkAK,，求CDBC和。解：设bBC，aCD，则：klbklalabbka3234343221(21klCDklBC343232343．MBAM。证明：对任意一点O，OBOAOM21。证明：方法一：)(212121OBOAOAOBAOOAABAMOAOM)(21OBOAOM方法二：由已知可得A、M、B三点共线，且M为线段AB的中点。延长OM至N，使MON20，连OA、OB、AN、BN，易证四边形OANB为平行四边形。OBOAON而ONOM21)(21OBOAOM4．设M是三角形ABC的重心。证明：对任意一点O，OCOBOAOM31。证明：方法一：),,CMOCOMBMOBOMAMOAOM)(31)(31CMBMAMOCOBOAOM而：OMCMBMA即：OCMBMAM   ??????????，????????！?www.khdaw.comkhdaw.comkhdaw.com?????www.hackshp.cn?????：www.hackshp.cn??????????，??????！www.hackshp.cn12)(31OCOBOAOM方法二：设三角形ABC三点坐标分别为A（x1,y1,z1）,B（x2,y2,z2）,(x3,y3,z3)由重心坐标公式得：zzzzyyyxxxM3,3,3321321321∴)(31OCOBOAOM5．设M是平行四边形ABCD的对角线的交点。证明：对任意一点O，).(41ODOCOBOAOM证明：AMOAOM，BMOBOM，CMOCOM，DMODOD而：,OMDMCMBMA即：,ODMCMBMAM∴)(41ODOCOBOAOM6．设A，B，C，D是一个四面体的顶点，M，N分别是边AB，CD的中点。证明：)(21BCADMN。证明：取AC的中点O，则OM，ON分别为中位线，故有：BCMO21，ADON21∴)(21ADBCONMOMN即：)(21BCADMN7．设AD，BE，CF是三角形ABC的中线。1）用AB，AC表示AD，BE，CF；解：)(21ACABADABACACBABABCBABE21)(21)(21ACABCBACF21)(212）求CFBEAD。解：OACABABACACABCFBEAD2121)(218．设nppp,,21是以O为中心的圆周上的n等分点，证明：021nOPOPOP。证明：nppp,,21是n等份点∴相邻边的夹角相等。∴iiiOPOPOP11（其中2）又：)()()()()(2212422121nnnOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOP   ??????????，????????！?www.khdaw.comkhdaw.comkhdaw.com?????www.hackshp.cn?????：www.hackshp.cn??????????，??????！www.hackshp.cn13即：OOPOPOPn))(2(21而02OOPOPOPn)(219．设O是点A和B的联线以外的一点。证明：三点A，B，C共线必须且只须OBOAOC，其中1。证明：A，B，C三点共线OBOAOC，其中1。“”：CBA,,三点共线)(OAOBABACOAOC即：OBOAOAOBOAa)1(令1，则：OBOAOC（其中1）“”：OBOAOC)1(OAOBOAOC)1()1(即：ABABAC)1(CBA,,三点共线10．设O是不共线的三点A，B，C所在平面以外的一点，证明：四点A，B，C，D共面必须且只须OBOAOD，其中1V“”：DCBA,,,四点共面CAkBCkAD21即：akkOBkOAkakOAkOBkOCkOAOD)()1(21122211令2112,,1kkVkk，则：,OCvOBOAOD其中1v“”：OCvOBOAvOCvOBOAOD)1(ACvABOAOAOCvOAOBOA)()(ACvABOAOD即：ACvABAD∴A，B，C，D四点共面11．已知321,,rOCrOBrOA是以原点O为顶点的平行六面体的三条边，求此平行六面体过点O的对角线与平面ABC的交点的定位向量。解：设体对角线为OD，OD与平面ABC的交点为E，则：321rrrOD∴定位向量：)(3232321rrrODED12．设AL和BM是三角形ABC的中线，它们的交点是O，证明BMBOALOA32,32。   ??????????，????????！?www.khdaw.comkhdaw.comkhdaw.com?????www.hackshp.cn?????：www.hackshp.cn??????????，??????！www.hackshp.cn14证明：过L作LD=BM。AMMCDCMDLCBL2121ALOAALAOAMAMADAMALAO323223同理可得：BMBO3213．证明：三角形ABC的三条中线相交于一点。证明：方法一：设D，E，F分别为BC，AC，AB的中点，则：)(21OBOAOF又：)(22OBODOBBDOBBCOBOCBOAOOBOD2OFOC2而：OC，OF共点OFCO,,三点共线故：三角线ABC的三条中线相交于一点。方法二：设),,(),,(),,(332211yxCyxByxA则：)2,2(),2,2(),2,2(212132323131yyxxFyyxxDyyxxE)2,2(231231yyyxxxBE由12题结论可知：)323,323(32231231yyyxxxBEBO)32,32()3,3(32132133213321yyyxxxyyyyxxxxBOCBCO而：)22,22()2,2(321321321321yyyxxxyyyxxxCFCFCO32故：C，O，F三点共线∴三角形ABC的三条中线相交于一点。14．设a=(5,7,2),b=（3,0,4）,c=（-6，1，-1）求1）3a-2b+c；解：)3,22,3()1,1,6()42,0,32()23,73,53(23cba2）5a+6b+c.解：)33,36,37()1,1,6()46,0,36()25,75,55(65cba15．给定点A（1，2，4）和B（0，-1，7），求AB的坐标。ABOMDLCCDEFOBA   ??????????，????????！?www.khdaw.comkhdaw.comkhdaw.com?????www.hackshp.cn?????：www.hackshp.cn??????????，??????！www.hackshp.cn15解：)3,3,1(AB16．给定点A（2，0，-1）和向量AB（1，4，5），求B的坐标。解：B（3，4，4）17．判断下列各组的三个向量a，b，c是否共面？能否将c表成a，b的线性组合？若能表示则写出表示式。1）a=(5,2,1),b=(-1,4,2),c=(-1,-1,5);解：01010414100521142115cbacba,,不共面，c不能表示成ba,的线性组合。2）a=(6,4,2),b=(-9,6,3),c=(-3,6,3);解：033633631225436336332664396cbacba,,共面，设c=ba，则：3221664396baC32213)a=(1,2,-3),b=(-2,-4,6),c=(1,0,5);解：020121220563042121cbacba,,共面设c=ba，则方程无解04212C不能表示成A，B的线性组合。18．设点C分线段AB为5：2，A的坐标为（3，7，4），C的坐标为（8，2，3，），求B的坐标。解：)513,0,10(B   ??????????，????????！?www.khdaw.comkhdaw.comkhdaw.com?????www.hackshp.cn?????：www.hackshp.cn??????????，??????！www.hackshp.cn1619．已知三角形的三顶点为A（2，5，0），B（11，3，8）和C（5，11，12），求各边和各中线之长。解：)8,2,9(AB，AB边上的中线)8,7,23()(21CBCA)4,8,6(BC，BC边上的中线)10,2,6()(21ACAB)12,6,3(AC，AC边上的中线)2,5,215()(21BABC则：149829222AB，AB边上的中线长：246187)23(222292486222BC，BC边上的中线长：35210262222121263222AC，AC边上的中线长：234125)215(22220．求a·b，已知：1）3,,5,8baba；解：202158,cosbababa2）a=（3，5，6），b=（1，-2，3）。解：11362513ba21．已知a=（3，5，7），b=（0，4，3）c=（-1，2，-4），求yxyayx,,,和:1)x=3a+4b-c,y=2b+c;解：)2,10,1(2),37,29,10(43cbycbax242550354arccos,,105,2310,354yxyxyx2）x=4a+3b+2c,y=a+2b-c;解：)17,11,4(2),29,36,10(234cbaycbax952962929arccos,,426,2237,929yxyxyx22．已知6,,2,3baba求，3a+2b与2a-5b的内积和夹角。解：3331411)52()23(22bobaabbaba   ??????????，????????！?www.khdaw.comkhdaw.comkhdaw.com?????www.hackshp.cn?????：www.hackshp.cn??????????，??????！www.hackshp.cn1736013652,3369723baba2236013633697333145223)52)(23(cosbabababa43故：两向量间的夹角为4323．证明下列各对向量互相垂直：1）（3,2,1）与（2,-3,0）；证明：0013223)0,3,2()1,2,3(∴向量（3，2，1）与（2，-3，0）互相垂直。2）a(b·c)-b(a·c)与c。证明：0))(()()()()(cacbcbcaccabcbaccabcba与向量)()(互相垂直。24．设OABC是一个四面体，,3,1,2AOCAOBOCOBOA,6BOCL是AB的中点，M是OMOL。ABC求的重心和OM，OL。解：332OLAOB，OBOA)21(32)(3232BACBOCBLCBOCCLOCCMOCOM)(31)(2132)(32OCOBOAOBOAOCOBOC321531)(912OCOBOAOM又：613)313131)(2121()21(OCOBOAOAOBOMABOAOMOL3215633arccos,3215633,cosOMOLOMOLOMOLOMOL故3215633arccos,,321531,3OMOLOMOL25．CD，CT和CH分别是三角形ABC的中线、分角线和高线，,,,cbCBaCA求D，T和H分AB的分比。   ??????????，????????！?www.khdaw.comkhdaw.comkhdaw.com?????www.hackshp.cn?????：www.hackshp.cn??????????，??????！www.hackshp.cn18解：∵CD为三角形的ABC的中线DBAD11DBAD，即：D分AB的比为1∵CT由三角形ABC的角平分线，由内角平分线定理得：baABT：babaTBATBCAC的中为分即,2cos222abbaAB：AB，CH，ABCCH由余弦定理得则的高线为三角形而：ABabbBHABabaAHabbaABHBAHHBBCAHACcoscoscos222222222coscos,coscos22223abbabaABH：abbabaHBAH的线为分即26．证明：三角形三条中线的长度的平方和等于三边的长度的平方和的43。证明：222222241cos41ACBCBBCABBCABCFBEADAABACABACCACBCcos41cos22=)coscoscos()(45222AABACCACBCBBCABACBCAB=2222222222(21)(45ACABBCACACBCABACBCAB)22BCAB=)(43222ACBCAB即证。27．证明：三角形的三条高线相交于一点。证明：已知,,BCAOACBO则：OACOBOBCOA,又：CBACACACACOACBACACOAABOC))((故：三角形的三条高线相交于一点。CDEFBA0ABC   ??????????，????????！?www.khdaw.comkhdaw.comkhdaw.com?????www.hackshp.cn?????：www.hackshp.cn??????????，??????！www.hackshp.cn1928．证明：0BDCAADBCCDAB证明：BDCABDABABACCDABBDCAADBCCDAB)()(=BDCABDABABBDACABACCDAB2=0)(222ABABABBDACCDAB0BDCAADBCCDAB29．求a×b和以a，b为边的平行四边形的面积：1）a=(2,3,1),b=(5,6,4);解：)3,3,6()4,6,5()1,3,2(ba63336222S2）a=(5,-2,1),b=(4,0,6);解：)8,26,12()6,0,4()1,2,5(ba221282612222S3）a=(-2,6,4),b=(3,-9,6,);解：)0,24,72()6,9,3()4,6,2(ba10240247222S30.给定a=(1,0,-1),b=(1,-2,0),c=(-1,2,1)，求1）abba,；解：)2,1,2(),2,1,2(abba2）)()3(cbacba；解：)0,4,1(),4,4,5(3cbacba)16,4,16()()3(cbacba3）cbacba,；解：)0,1,2(),2,1,2(cbba2,2cbacba   ??????????，????????！?www.khdaw.comkhdaw.comkhdaw.com?????www.hackshp.cn?????：www.hackshp.cn??????????，??????！www.hackshp.cn204）)(,)(cbacba。解：)1,2,1()(),5,4,3()(cbacba31．证明下列等式：1）))(())((cbdadbcadcba；证明：])()[()]([)(dcbcdbadcbadcbadcba=)()()()()()(cbdadbcacbbadbca故：)()()()(cbdadbcadcba2）0)()()(bacacbcba。证明：)()()(,)()()(acbcabacbabcbaccbacbaabcbac)()()(0)()()(bacacbcba32．一个四面体的顶点为A（1，2，0），B（-1，3，4），C（-1，-2，-3）和D（0，-1，3），求它的面积。解：)3,3,1(),3,4,2(),4,1,2(ADACAB∴四面体的体积为：6595961)(61ADACABV33．证明：如果0accbba，那末a,b,c共面。证明：0accbba0)()(cacccbcba即：0)(cbacba,,共面34．下列等式是否正确？1）2aaa；解：等式错误。等式左边为向量，右边为实数，但向量与实数是无比较性的。2）2)(abbba；解：等式正确。3）babaa2)(；   ??????????，????????！?www.khdaw.comkhdaw.comkhdaw.com?????www.hackshp.cn?????：www.hackshp.cn??????????，??????！www.hackshp.cn21解：等式错误。等式左边表示向量baa的倍，而右边表示b的2a倍。4）222)(baba；解：等式错误。22222222)(cos)(baba），ba（baba的夹角与为5）)()(cbacba；解：等式错误。等式左边表示向量bac的倍，右边表示a的cb倍。6）)()(cbacba。解：等式错误。等式左边表示与cba,都垂直的向量，而左边表示与a，cb垂直的向量。35．下列推断是否正确？1）如果0,ccabc且，那么a=b；解：推断错误。若0c，但bc，则0cabc，但ba2）如果0,ccabc且，那么a=b；解：推断错误。由cacabcbc：cabc,sin,sin得，则只能推得caabcb,sin,sin，并不能得出ba。36．讨论x和y的关系，已知：1）x与x×y共线；解：①当yx,中有一个为0时，结论显然成立。②当yx,都不为0时，由yxx与共线可得：0)(yxx。即：0)()(yxxxyxyyxxx2yx与共线故：yx与共线或yx与中至少有一个为0。2）x，y，x×y共面。①当yx,中至少有一个为0时，结论显然成立。②当yx,都不为0时，由题可知：0)()(yxyx0yx   ??????????，????????！?www.khdaw.comkhdaw.comkhdaw.com?????www.hackshp.cn?????：www.hackshp.cn??????????，??????！www.hackshp.cn22故：yx与共线或yx与中至少有一个为0。37．设a和b都是非零向量，且,0ba为任意的数，并知b×x=a，xa求：x.解：axbabxbb)(而：xbbxbbbxbxbb22)()()(2222babbx：abxbb故38．设,0,0,0cbbacba并知,,cbxax求：x。解：cbxcabxa)(而：bxbabxaxbabxa2)()()()(bacabx：cabxba22)(故39．证明：a,b,c不共面必须且只须accbba,,不共面。证明：accbbacba,,,,不共面不共面：“”：0)()()(,,bacacbcbacba不共面)(])()[()()]()[(accbbabcbaaccbba=0)()()()()[(2cbabaccbaacbcba0)()]()[(accbba即：accbba,,不共面。“”：accbba,,不共面。0)()]()[(accbba而：2)[()()]()[(cbaaccbba0))(2cbacba：cba,,0即不共面。即证。40．设cxbxaxcba,,,0，求：x。   ??????????，????????！?www.khdaw.comkhdaw.comkhdaw.com?????www.hackshp.cn?????：www.hackshp.cn??????????，??????！www.hackshp.cn23解：设][1cacbbacbaxw，则：][1ccaccbcbacbacxcw=owcbacbacw0)[1故：cacbbacbax[141．1）已知用得到右旋角度绕将，rerere1,1,e，r和θ表出r1；解：由题可得：cinrcinrrrrrerrerrrrer2111111sincossin02）给定三点，POAPAPAO1,0,,,得到右旋角度绕将用1,OPOPOA表出和。解：过点P作一平面π，垂直于OA，交OA直线于O*，由于O，P，A不共线，则P与O*不重合。利用1）式有POOAOAPOPO*sincos**1由于*,*,)(*,**11OOOPPOOAOAOAOAOPOOPOOOOP，则：)*(sincos])([)1OOopOAOAOAOAOAOAOPOPOAOAOAOAOPOP（=OPOAOAOPOAOAOAOPsincos)cos1(2故：OPOAOAOPOAOAOAOPOPsincos)cos1(2142．将e1绕a=（1，1，1）右旋45℃得到1e，求1e。   ??????????，????????！?www.khdaw.comkhdaw.comkhdaw.com?????www.hackshp.cn?????：www.hackshp.cn??????????，??????！www.hackshp.cn24解：由第41题2）知：1121145sin45cos)45cos1(eaaeaaaee=)321,31,321(即：321,31,3211e43．将a=(1,1,1)绕e1右旋45℃得到a，求a。解：由第41题2）知：aeeaeeeaa11121145sin45cos)45cos1(=（1，0，2）即：)2,0,1(a44．求下列平面的方程：1）过点（-1,0,3），垂直于向量（1，2，-5）；解：设平面上任意一点),,(zyxp，则：0)3(52)1(zyx01652zy：x所求平面方程为2）过点（2,4,-3），平行于向量（0，2，4）和（-1，-2，1）；解：由题可得平面的法向量为：（0，2，4）×（-1，-2，1）=（10，-4，2）设平面上任意一点),,(zyxp，则：0)3(2)4(4)2(10zyx022410zyx：所求平面方程为3）过点（1,0,3），（2，-12），（4，-3，7）；解：设平面方程为：Ax+By+Cz+2=0，则01110073402203CBA：，DCDBDADCBADCBADCA则令故：所求平面方程为：01yx4）过直线1121zyx，平行于直线2112zyx；   ??????????，????????！?www.khdaw.comkhdaw.comkhdaw.com?????www.hackshp.cn?????：www.hackshp.cn??????????，??????！www.hackshp.cn25解：直线1121zyx与直线2112zyx的方向数为：（2，1，-1），（2，1，-2），则：a=（2，1，-1）×（2，1，-2）=（-1，2，0）∵平面过直线1121zyx∴点（1，0，0）在平面上∵a平面∴平面方程为：（x-1）×（-1）+2y=0即：x-2y-1=05）过直线.04,0122zzyxzyx在Y轴Z轴上有相同的非零截距。解：经过已知直线的方向为（1,310,32），且过点（)0,35,31，而平面经过另一直线且该直线方向为（0，-1，1），则：)32,32,37()1,1,0()1,310,32(设平面方程：0323237Dzyx将点)0,35,31(代入得：917D故：所求平面方程为：21x+6y+6z-17=045．求下列直线的方程：1）过点（1，0，-2），平行于向量（4，2，-3）；解：依题意可设直线方程为：324000zzyyxx将点（1，0，-2）代入得：2,0,1000zyx∴所求直线方程为：32241zyx2）过点（0，2，3），垂直于平面2x+3y=0；解：直线方向为：（2，3，0），则可设直线方程为：032000zzyyxx将点（0，2，3）代入解得：3,2,0000zyx∴所求直线方程为：03322zyx3）过点（2，-1，3），与直线22011zyx相交且垂直；解：设所求直线为：nzmylx312，则：020)1(nml①   ??????????，????????！?www.khdaw.comkhdaw.comkhdaw.com?????www.hackshp.cn?????：www.hackshp.cn??????????，??????！www.hackshp.cn26∵两直线相交023201111lnmnme②联立D②得：nlnm2,35令6,5,3lm：n则故：所求直线为：335162zyx4）过点（1，0，-2），与平面3x-y+2z+1=0平行，与直线12341zyx相交；解：设所直线的方向数为：),,(nml，则：0