数列知识点和常用的解题
方法
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归纳一、等差数列的定义与性质0的二次函数）项，即：二、等比数列的定义与性质三、求数列通项公式的常用方法1、公式法2、；3、求差（商）法解：，，［练习］4、叠乘法解：5、等差型递推公式［练习］6、等比型递推公式［练习］7、倒数法，，，三、求数列前n项和的常用方法1、公式法：等差、等比前n项和公式2、裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。解：［练习］3、错位相减法：4、倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。［练习］例1设{an}是等差数列，若a2=3，a=13，则数列{an}前8项的和为（）A．128B．80C．64D．56（福建卷第3题）略解：∵a2+a=a+a=16，∴{an}前8项的和为64，故应选C．例2已知等比数列满足，则（）A．64 B．81 C．128 D．243（全国Ⅰ卷第7题）
答案
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：A．例3已知等差数列中，，，若，则数列的前5项和等于（）A．30 B．45 C．90 D．186（北京卷第7题）略解：∵a-a=3d=9，∴d=3，b=，b=a=30，的前5项和等于90，故答案是C．例4记等差数列的前项和为，若，则该数列的公差（）A．2B．3C．6D．7（广东卷第4题）略解：∵,故选B.例5在数列中，，，,其中为常数，则．（安徽卷第15题）答案：－1．例6在数列中，，，则（）A．B．C．D．（江西卷第5题）答案：A．例7设数列中，，则通项___________．（四川卷第16题）此题重点考查由数列的递推公式求数列的通项公式，抓住中系数相同是找到方法的突破口．略解：∵∴，，，，，，．将以上各式相加，得，故应填+1．例8若(x+)n的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中x4项的系数为()A．6 B．7 C．8 D．9(重庆卷第10题)答案：B．使用选择题、填空题形式考查的文科数列试题，充分考虑到文、理科考生在能力上的差异，侧重于基础知识和基本方法的考查，命题
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时以教材中学习的等差数列、等比数列的公式应用为主，如，例4以前的例题．例5考查考生对于等差数列作为自变量离散变化的一种特殊函数的理解；例6、例7考查由给出的一般数列的递推公式求出数列的通项公式的能力；例8则考查二项展开式系数、等差数列等概念的综合运用．重庆卷第1题，浙江卷第4题，陕西卷第4题，天津卷第4题，上海卷第14题，全国Ⅱ卷第19题等，都是关于数列的客观题，可供大家作为练习．例9已知｛an｝是正数组成的数列，a1=1，且点（）（nN*）在函数y=x2+1的图象上.(Ⅰ)求数列｛an｝的通项公式；(Ⅱ)若数列｛bn｝满足b1=1，bn+1=bn+，求证：bn·bn+2＜b2n+1.（福建卷第20题）略解：（Ⅰ）由已知，得an+1-an=1，又a1=1,所以数列｛an｝是以1为首项，公差为1的等差数列．故an=1+(n-1)×1=n.(Ⅱ)由（Ⅰ）知，an=n，从而bn+1-bn=2n，bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+（b2-b1）+b1=2n-1+2n-2+…+2+1=2n-1．∵.bn•bn+2-b=(2n-1)(2n+2-1)-(2n+1-1)2=-2n＜0,∴bn·bn+2＜b．对于第（Ⅱ）小题，我们也可以作如下的证明：∵b2=1,bn·bn+2-b=(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)-b=2n+1·bn+1-2n·bn+1-2n·2n+1＝2n（bn+1-2n+1）=2n（bn+2n-2n+1）=2n（bn-2n）=…=2n（b1-2）=-2n<0，∴bn-bn+2<b2n+1.例10在数列中，，．（Ⅰ）设．证明：数列是等差数列；（Ⅱ）求数列的前项和．（全国Ⅰ卷第19题）略解：（Ⅰ）====1，则为等差数列，，，．（Ⅱ），．两式相减，得=．对于例10第（Ⅰ）小题，基本的思路不外乎推出后项减前项差相等，即差是一个常数．可以用迭代法，但不可由b2-b1=1，b-b=1等有限个的验证归纳得到为等差数列的结论，犯“以偏盖全”的错误．第（Ⅱ）小题的“等比差数列”，在高考数列考题中出现的频率很高，求和中运用的“错项相减”的方法，在教材中求等比数列前n项和时给出，是“等比差数列”求和时最重要的方法．一般地，
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学习中最为重要的内容常常并不在结论本身，而在于获得这一结论的路径给予人们的有益启示．例9、例10是高考数学试卷中数列试题的一种常见的重要题型，类似的题目还有浙江卷第18题，江苏卷第19题，辽宁卷第20题等，其共同特征就是以等差数列或等比数列为依托构造新的数列．主要考查等差数列、等比数列等基本知识，考查转化与化归思想，考查推理与运算能力．考虑到文、理科考生在能力上的差异，与理科试卷侧重于理性思维，命题设计时以一般数列为主，以抽象思维和逻辑思维为主的特点不同；文科试卷则侧重于基础知识和基本方法的考查，以考查具体思维、演绎思维为主．例11等差数列的各项均为正数，，前项和为，为等比数列,，且．(Ⅰ)求与；(Ⅱ)求和：．（江西卷第19题）略解：(Ⅰ)设的公差为，的公比为，依题意有解之，得或(舍去，为什么？)故．（Ⅱ），∴．“裂项相消”是一些特殊数列求和时常用的方法．使用解答题形式考查数列的试题，其内容还往往是一般数列的内容，其方法是研究数列通项及前n项和的一般方法，并且往往不单一考查数列，而是与其他内容相综合，以体现出对解决综合问题的考查力度．数列综合题对能力有较高的要求，有一定的难度，对合理区分较高能力的考生起到重要的作用．例12设数列的前项和为，（Ⅰ）求；（Ⅱ）证明：是等比数列；（Ⅲ）求的通项公式．（四川卷第21题）略解：（Ⅰ）∵，所以．由知，得，①，，．（Ⅱ）由题设和①式知，，是首项为2，公比为2的等比数列．（Ⅲ）此题重点考查数列的递推公式，利用递推公式求数列的特定项，通项公式等．推移脚标，两式相减是解决含有的递推公式的重要手段，使其转化为不含的递推公式，从而有针对性地解决问题．在由递推公式求通项公式时，首项是否可以被吸收是易错点．同时，还应注意到题目设问的层层深入，前一问常为解决后一问的关键环节，为求解下一问指明方向．例13数列满足（I）求，并求数列的通项公式；（II）设，，，求使的所有k的值，并说明理由．（湖南卷第20题）略解：（I）一般地,当时，即所以数列是首项为0、公差为4的等差数列，因此当时，所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此故数列的通项公式为（II）由（I）知，=于是，.下面证明:当时，事实上,当时，即又所以当时，故满足的所有k的值为3,4,5.
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