《线性代数》期末辅导答疑 试卷命题分布单选（20）、填空（20）、计算（45）、证明（15） 主要考察知识点行列式矩阵及其运算向量组的线性相关性线性方程组相似矩阵行列式的概念第一部分行列式主要
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二阶行列式：三阶行列式:(2)对角线法则注意红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号．说明对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．由个数构成的，记作阶行列式其中p1，p2，…pn为自然数1,2,…,n的一个排列，t为这个排列的逆序数行列式的性质与计算性质1行列式与它的转置行列式相等.性质2互换行列式的两行（列），行列式变号.推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零.推论行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面.性质4行列式如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零.性质6把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式的值不变.定义在阶行列式中，把元素所在的第行和第列划去后，留下来的阶行列式叫做元素的余子式，记作.定理2行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即推论行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.即或4. 克莱姆法则如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零，即那么，方程组(1)有唯一解定理3如果线性方程组(1)的系数行列式，则(1)一定有解，且解是唯一的.定理3′如果线性方程组（1）无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.对于齐次线性方程组(2)一定是它的解，这个解叫做齐次线性方程组（2）的零解.如果一组不全为零的数是（2）的解，则它叫做齐次线性方程组(2)的非零解.定理4如果线性方程组（2）的系数行列式，则齐次线性方程组（2）没有非零解.定理4′如果线性方程组（2）有非零解，则系数行列式必为零. 第二部分矩阵叫做m行n列矩阵（简称m×n矩阵），记为．其中叫做矩阵A的第i行第j列元素．当m=n时，矩阵A称为n阶矩阵或n阶方阵．n阶矩阵与n阶行列式是两个截然不同的概念．只有一行的矩阵称为行矩阵或行向量;只有一列的矩阵称为列矩阵或列向量．行数、列数均相等的矩阵称为同型矩阵．矩阵的运算1.矩阵相加2.数乘矩阵3.矩阵相乘特别注意矩阵乘法的下列特性(1)矩阵乘法无交换律，即AB≠BA；特别地，EA=AE=A，即单位矩阵在矩阵乘法中相当于数1在数的乘法中的作用，注意这里的两个单位矩阵可能不同阶。(2)若AB=O，绝不能认为必然有A=O或B=O．(3)矩阵乘法无消去律，即若AB=AC，绝不能认为必然有B=C．4.矩阵A的行列式，记作|A|或detA．特别注意｜A±B｜≠｜A｜±｜B｜A≠｜A｜|AT|=|A|，|A|=|A||AB|=|A||B|=|B||A|5.矩阵的转置矩阵转置的运算律（设运算均可行）(AT)T=A;(A+B)T=AT+BT(AB)T=BTAT;(kA)T=kAT满足条件AT=A的矩阵A称为对称矩阵（其元素以主对角线为对称轴对应相等）．满足条件AT=-A的矩阵A称为反对称矩阵．6．逆矩阵定义:设A为n阶方阵，若存在同阶方阵B，使得AB=BA=E，则称矩阵A可逆，称B为A的逆矩阵，记为A－1=B．若A是可逆的，则它的逆矩阵A－1存在且唯一．方阵A可逆的充分必要条件是|A|≠0．运算律:设A、B均是同阶可逆矩阵，则(A－1)－1=A；(AB)－1=B－1A－1AT也可逆，且(AT)－1=(A－1)T７．伴随矩阵由此可见，A*可逆的充要条件是A可逆．８．矩阵的秩（2)矩阵的秩设在矩阵中有一个不等于0的r阶子式D,且所有r+1阶子式(如果有的话)都等于0,则称D为矩阵A的最高阶非零子式,数r称为矩阵A的秩,记作R(A).9.矩阵的初等变换(1)交换矩阵的两行或两列;(2)用一个非零数k乘以矩阵的某一行或某一列;(3)把矩阵某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.10.初等方阵单位矩阵施行一次初等变换而得到的矩阵称为初等方阵.11.等价矩阵矩阵A经过初等变换而得到矩阵B,称矩阵A与矩阵B等价,记作A~B.重要结论典型例题解第三部分向量组的线性相关性 维向量及其运算2.线性组合与线性
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示(1)线性相关、线性无关:设为s个维向量,若存在s个不全为零的数,使，则称线性相关．若由可推出全为零，则称线性无关.3线性相关性的概念及结论(3)线性无关，而线性相关，则可由唯一线性表示．(2)维向量组线性相关的充要条件是其中有一个向量可以由其余向量线性表示；含有零向量的向量组一定线性相关．(4n维向量组线性相关的充要条件是齐次线性方程组有非零解．其中.特别地时,线性相关的充要条件是．例设向量组线性无关，则向量组也线性无关．令则有由向量组线性无关得，由第四部分线性方程组1．基本概念称为n个未知量m个方程的线性方程组，不全为0时，称(1)为非齐次线性方程组；则（1）可写成矩阵形式 （3）或（4）齐次线性方程组可表示为或．注齐次线性方程组总有解；2．解的性质性质1若是的解则也是的解；性质2若是的解则也是的解；性质3的解的任一线性组合，还是的解；性质4若为的解，则为其导出组的解；性质5若为的解为其导出组的解，则为的解．求非齐次方程组的通解方法(1) 对增广矩阵作初等行变换，化为阶梯形矩阵；(2) 求出导出组的一个基础解系；(3) 求的一个特解（为简便，可令自由变量全为0）；(4)写出通解；其中为任意常数3．基本方法例解:施行初等行变换对增广矩阵B第五部分相似矩阵1．正交向量组与正交矩阵n阶实矩阵A为正交矩阵的充分必要条件是A的行（列）向量都是两两正交的单位向量。2．矩阵的特征值和特征向量（1）特征值与特征向量的概念设A是n阶方阵，如果数和n维非零列向量x使关系式成立，则称是方阵A的一个特征值，非零列向量x是A的对应于特征值的特征向量.这是个未知数个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充要条件是其系数行列式是以为未知数的n次方程，称为方阵A的特征方程，是的次多项式，记作,称为方阵A的特征多项式，易见A的特征值就是特征方程的根.设n阶矩阵A=（aij）的特征值为则有以下结论：（２）特征值和特征向量的求法(3)无关组的正交化方法:(4)实对称矩阵的对角化方法:求出矩阵A的所有特征值λ1,…,λn及对应的n个线性无关的特征向量p1,…,pn,令P=(p1,…,pn),Λ=diag(λ1,…,λn),则P-1AP=Λ.
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