二次型

二次型第6章二次型在解析几何中,为了研究二次曲线(1)的几何性质,可以选择适当的坐标变换,将方程(1)化为不含混合项的标准型(2)在二次曲面的研究中,也有类似的问题.(1)的左边是一个二次齐次多项式.从代数的观点看,将(1)化为标准型(2)的过程,就是通过变量的线性代换化简一个二次齐次多项式,使之只含平方项.这样的问题,不仅在几何中出现,在数学的其它分支以及物理、力学和网络计算中也常遇到.我们将这类问题一般化,讨论n个变量的二次齐次多项式的化简问题.定义6.1n元变量x1,x2,,xn的二次齐次多项式叫做数域F上的n元...

第6章二次型在解析几何中,为了研究二次曲线(1)的几何性质,可以选择适当的坐标变换,将方程(1)化为不含混合项的标准型(2)在二次曲面的研究中,也有类似的问题.(1)的左边是一个二次齐次多项式.从代数的观点看,将(1)化为标准型(2)的过程,就是通过变量的线性代换化简一个二次齐次多项式,使之只含平方项.这样的问题,不仅在几何中出现,在数学的其它分支以及物理、力学和网络计算中也常遇到.我们将这类问题一般化,讨论n个变量的二次齐次多项式的化简问题.定义6.1n元变量x1,x2,,xn的二次齐次多项式叫做数域F上的n元二次型（简称二次型）.其中系数是数域F中的数，实数域上的二次型简称实二次型.6.1二次型的定义和矩阵表示合同矩阵如果令aji=aij(1i0(i=1,,p+q),p+qn成立，则p和q是由A唯一确定的。证由秩(A)=秩(CTAC)=p+q,知p+q=r由A唯一确。设实二次型f=xTAx经坐标变换x=By和x=Cz(1)(B,C都可逆)分别化为标准形(bi,ci>0,i=1,,r)f=b1y12++bpyp2bp+1yP+12-bryr2(2)f=c1z12++ctzt2ct+1zt+12crzr2(3)用反证法：假设p>t，此时由(1),(2)可得f=b1y12++btyt2+bt+1yt+12++bpyp2bp+1yp+12bryr2=c1z12++ctzt2ct+1zt+12cpzp2cp+1zp+12crzr2(4)由(1)z=C1x=(C1B)y=Dy（其中D=C1B），即为了从(4)式中找到矛盾，令z1=z2==zt=0,yp+1==yn=0，代入(5)(5)得到y1,y2,,yn的方程组(6)齐次线性方程组(6)有n个未知量，但方程个数为t+(np)=n(pt)0(7)将(6)的非零解代入(5)式得到z1,…,zt,…,zn的一组值（其中z1=z2==zt=0），将它们再代入(4)式，又得f=ct+1zt+12cpzp2crzr20(8)(7),(8)二式显然是矛盾的，故假设的p>k不能成立，必有pk,同理可证tp，得p=t。故p和q=rp是由A唯一确定的。定义6.3二次型xTAx的标准形中，正平方项的个数p和负平方项的个数q=rp分别叫做二次型或A的正、负惯性指数。称pq=2pr为符号差。秩(A)=r也叫二次型的秩。推论设A为n阶实对称矩阵，正、负惯性指数分别为p和q，则A≃diag(1,,1,1,,1,0,,0)其中1有p个,1有q个,0有n(p+q)个。或者说：对于二次型xTAx存在坐标变换x=Cy，使得xTAx=y12++yp2yp+12-yr2(r=p+q)上式右端称为xTAx的规范形。证由定理6.3知，存在C1,使C1TAC1=diag(d1,,dp,dp+1,,dp+q,0,,0)其中di>0(i=1,,p+q)。取可逆阵则则CTAC=diag(1,,1,1,,1,0,,0)若n阶实对称矩阵A与B合同，也称对应的二次型xTAx和xTBx合同。注意：一个实对称矩阵A的合同规范形是唯一的。两个n阶实对称矩阵A和B合同的充分必要条件是它们的正、负惯性指数分别相等，或正惯性指数与秩分别相等；全体n阶实对称矩阵按其合同规范形分类（不考虑+1，1,0的排列次序）可以划分为(n+1)(n+2)/2类。因为秩r=0时，有1类；r=1时，有2类；r=2时，有3类;，r=n时，有n+1类。共有1+2+3++(n+1)类。6.4正定二次型和正定矩阵在多元微积分中我们知道二元函数在点（0，0）是否有极大(小)值，就是看它在（0，0）的邻域内是否恒正(负)。一般n元二次型是否恒正(负)的问题，就是二次型的正定问题。定义6.4如果n元实二次型f(x1,x2,,xn)=xTAx，x=(x1,x2,,xn)0(xRn)，恒有xTAx>0，就称xTAx为正定二次型；称矩阵A为正定矩阵。(1)n元实二次型(标准形)f=(x1,x2,,xn)=d1x12+d2x22++dnxn2正定的充分必要条件是di>0(i=1,2,,n)。充分性是显然的，可用反证法证明必要性：设存在di0，取xi=1,xj=0(ji)，便有f(0,,0,1,0,,0)=di0。这与二次型正定相矛盾。由定义可得：(2)对二次型f=xTAx做坐标变换x=Cy（C为可逆矩阵），化为f=yT(CTAC)y，其正定性不变。这是因为：y00，相应的x0=Cy00（否则x0=0，则y0=C1x0=0)，于是由f=xTAx的正定性，即得f=y0T(CTAC)y0=x0TAx0>0，即y0T(CTAC)y0正定，反之亦然。所以，对二次型做坐标变换化为d1x12+d2x22++dnxn2，即A合同于对角矩阵CTAC=diag(d1,d2,,dn)时，由di>0（i=1,2,,n）即可判别A为正定矩阵。定理6.4对于n阶实对称矩阵A，下列命题等价：(1)xTAx是正定二次型（或A是正定矩阵）；(2)A的正惯性指数为n，即A≃I；(3)存在可逆矩阵P，使得A=PTP；(4)A的n个特征值1,2,,n都大于零。证(1)(2)即对正定二次型xTAx做坐标变换所化成的相合规范形必为xTAx==y12+y22++yn2，即p=n且A≃I。(2)(3)存在可逆阵C使得CTAC=I，得A=(CT)1C1,令P=C1，则PT=(CT)1,于是,A=PTP。(3)(4)设Ax=x(x0),得(PTPA)x=x,从而有xTPTPx=xTx,即(Px,Px)=(x,x)由P是可逆矩阵和x0,得Px0，特征值(4)(1)对于n元实二次型xTAx，存在正交变换x=Qy使得xTAx=1y12+2y22++nyn2。由1,,n都大于零，即得xTAx是正定二次型。(3)存在可逆矩阵P，使得A=PTP；(4)A的n个特征值1,2,,n都大于零。例１证明：若A是正定矩阵，则A1也是正定矩阵。证正定矩阵是满秩的实对称矩阵，所以，A可逆，且(A1)T=(AT)1=A1，即A1也是实对称矩阵。证A1正定:方法１：用定义。对二次型xTA1x做坐标变换x=Ay，得xTA1x=yTATA1Ay=yTAy由yTAy正定，可知xTA1x也正定，故A1是正定矩阵。方法２：由A≃I,即存在可逆阵C使得CTAC=I,两边求逆,得(C1)A1(C1)T=I,即DTA1D=I(其中D=C1)T,故A1≃I，因此A1是正定的。方法３：由A正定,则存在可逆阵P,使得A=PTP,于是A1=P1(P1)T=STS(其中S=(P1)T）,因此A1也正定。方法４：设Ax=x(x0)，得A1x=1x(x0)。由于A的n个特征值都大于零，所以A1的n个特征值1也都大于零。故A1正定。例２判断三元二次型的特征多项式为IA=(1)[(1)21/2]，特征值是否是正定二次型。解法１：二次型的对应矩阵都大于零，所以二次型正定。,显然f(x1,x2,x3)0，等号成立当且仅当解法２：用配方法得从而判定f(x1,x2,x3)是正定的。例3判别三元二次型是否是正定二次型。f(1,1,0)=3+14=0解法1：观察故f不是正定的。解法2：二次型的对应矩阵IA=(1)(263)=0特征值的特征方程故f不是正定的。定理6.5若n元二次型xTAx正定，则(1)A的主对角元aii>0(i=1,2,…,n)；(2)A的行列式detA>0。证(1)因xTAx正定，取第i个分量xi=1,其余分量为0的向量，xi=(0,,0,1,0,,0)，则有xiTAxi=aiixi2=aii>0(i=1,,n)。(2)因A正定，存在可逆矩阵P，使得A=PTP，从而A=PTP=P2>0或根据正定矩阵A的特征值都大于零，得A=12n>0。A=0，B<0，C中c11<0根据定理，A,B,C都不是正定的。注意：D满足定理条件，却不是正定的。定理条件是矩阵正定的必要非充分条件。必要性：取xk=(x1,,xk)T0,x=(x1,,xk,0,,0)T,记为x=(xkT,0n-k)0,则有定理6.6n元二次型xTAx正定的充分必要条件为A的n个顺序主子式（左上角主子式）都大于零。证设A=(aij)nn,（k=1,2,,n）称为A的k阶顺序主子式xTAx=是正定的。由定理6.5得detAk>0(k=1,,n)。必要性得证。对一切xk0成立。故x1,,xk的k元二次型由于C12A=An-1b>0,An-1>0，即得b>0。取于是，对n1元二次型成立；对n元二次型，将A分块为其中=(a1n,a2n,,an-1,n)T根据定理6.4，只需证明A≃I*充分性：对n作数学归纳法。当n=1时，a11>0,xTAx=a11x12>0(x10)，故充分性成立。假设充分性根据归纳假设,An-1正定，故存在n1阶可逆矩阵G，使得再取例如，用定理6.6判别矩阵D的正定性，其中解所以，D不是正定的。故A≃I，A正定。例4证明：若A是n阶正定矩阵，则存在正定矩阵B，使得A=B2。证因为正定矩阵A是实对称矩阵，所以存在正交阵Q（QTQ=I），使得A=Q(diag(1,2,,n))QT其中i>0(i=1,2,,n)。利用diag(1,2,,n)=则A=B2。B的特征值都大于0，所以B正定。B通常记作6.5其他有定二次型定义6.5如果x=(x1,,xn)T0，恒有二次型(1)xTAx0,但至少存在一个x00，使得x0TAx0=0，则称xTAx为半正定二次型，A为半正定矩阵；(2)xTAx<0，则称xTAx为负定二次型，A为负定矩阵；(3)xTAx0，但至少存在一个x00，使得x0TAx0=0，则称xTAx为半负定二次型，A为半负定矩阵。正定、半正定、负定、半负定二次型统称为：有定二次型。不是有定的二次型，就称为不定二次型。例如，xTAx二次型经坐标变换,正(负)定性、半正(负)定性及不定性都不变。当di<0(i=1,2,,n)时，是负定的；当di0(i=1,2,,n),且至少有一个为0时是半正定；当di0(i=1,2,,n)且至少有一个为0时是半负定。若A为负定(半负定)矩阵，则(A)为正定(半正定)矩阵。定理6.7设A为n阶实对称矩阵，则下列命题，等价：(1)xTAx是负定二次型（或A是负定矩阵）；(2)A的负惯性指数为n，即A≃I；(3)存在可逆矩阵P，使得A=PTP；(4)A的n个特征值1,2,,n都小于零；(5)A的奇数阶顺序主子式都小于零，偶数阶顺序主子式都大于零。定理6.8设A为n阶实对称矩阵，则下列命题等价：(1)xTAx是半正定二次型（或A是半正定矩阵）；(2)A的正惯性指数为=r(A)=r(r

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