微分几何练习题库及资料

微分几何练习题库及答案精选资料《微积分几何》复习题本科第一部分：练习题库及答案一、填空题（每题后边附有要点词；难易度；答题时长）第一章1．已知a(1,1,1),b(1,0,1)，则这两个向量的夹角的余弦cos=632．已知a(0,1,1),b(1,0,1)，求这两个向量的向量积ab(-1,-1,-1)．3．过点P(1,1,1)且与向量a(1,0,1)垂直的平面方程为X-Z=04．求两平面1:xyz0与2:xy2z1的交线的对称式方程为x1yz13125．计算lim[(3t21)it3jk]13i8jk．t26．设f(t)(sint)itj，g(t)(t21)ietj，求lim(f(t)g(t))0．t07．已知r(u,v)(uv,uv,uv)，此中ut2，vsint，则dr(2tcost,2tcost,2vtucost)t2，则dr(,)dt8．已知t，(asincos2atcossin,asinsin2atcoscos,acos)dt469．已知r(t)dt(1,2,3)，r(t)dt(2,1,2)，求2446ar(t)dtbar(t)dt(3,9,5)，此中a(2,1,1)，b(1,1,0)2210．已知r(t)a（a为常向量），求r(t)tac11．已知r(t)ta，（a为常向量），求r(t)1t2ac2412．已知f(t)(2t)j(logt)k，g(t)(sint)i(cost)j，t0，则0第二章d(fg)dt26cos4．13．曲线r(t)(2t,t3,et)在任意点的切向量为(2,3t2,et)14．曲线r(t)(acosht,asinht,at)在t0点的切向量为(0,a,a)15．曲线r(t)(acost,asint,bt)在t0点的切向量为(0,a,b)仅供学习与交流，若有侵权请联系网站删除感谢2精选资料xey1z116．设有曲线C:xtt2，当t1ee,ye,zt时的切线方程为12ee17．设有曲线xetcost,yetsint,zet，当t0时的切线方程为x1yz1第三章18．设rr(u,v)为曲面的参数 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示，假如rurv0，则称参数曲面是正则的；假如r:Gr(G)是一一的，则称参数曲面是简单的．19．假如u曲线族和v曲线族到处不相切，则称相应的坐标网为正规坐标网．(坐标网;易;3分钟)20．平面r(u,v)(u,v,0)的第一基本形式为du2dv2，面积元为dudv21．悬链面r(u,v)(coshucosv,coshusinv,u)的第一类基本量是Ecosh2u,F0,Gcosh2u22．曲面zaxy上坐标曲线xx0，yy0的交角的余弦值是a2x0y0(1a2x02)(1a2y02)23．正螺面r(u,v)(ucosv,usinv,bv)的第一基本形式是du2(u2b2)dv2．24．双曲抛物面r(u,v)(a(uv),b(uv),2uv)的第一基本形式是(a2b24v2)du22(a2b24uv)dudv(a2b24u2)dv225．正螺面r(u,v)(ucosv,usinv,bv)的均匀曲率为0．（正螺面、第一基本量、第二基本量；中；3分钟）26．方向(d)du:dv是渐近方向的充要条件是n(d)0或Ldu22MdudvNdv2027．两个方向(d)du:dv和(δ)δu:δv共轭的充要条件是II(dr,δr)0或LduδuM(duδvdvδu)Ndvδv028．函数是主曲率的充要条件是ELFMFMG0N．方向(d)du:dv是主方向的充要条件是EduFdvLduMdv029FduGdvMduNdv仅供学习与交流，若有侵权请联系网站删除感谢3精选资料30．依据罗德里格定理，假如方向(d)(du:dv)是主方向，则dnndr，此中n是沿(d)方向的法曲率31．旋转极小曲面是平面或悬链面第四章32．高斯方程是rijkijkrkLijn，i,j1,2，魏因加尔吞方程为niLikgkjri，i,j1,2j,kij用gij表示为ij)1g22g12．33．g(gg12g11det(gij)34．测地曲率的几何意义是曲面S上的曲线(C)在P点的测地曲率的绝对值等于(C)在P点的切平面上的正投影曲线(C)的曲率35．,g,n之间的关系是2g2n2．36．假如曲面上存在直线，则此直线的测地曲率为0．37．测地线的方程为d2ukkduiduj0,k1,2ds2i,jijdsds38．高斯-波涅公式为Kdgdsk(i)2GGi1k39．假如G是由测地线构成，则高斯-波涅公式为Kd(i)2．Gi1二、单项选择题第一章40．已知a(1,0,1)，b(1,2,1)，则这两个向量的内积ab为（C）．（内积；易；2分钟）A2B1C0D141．求过点P(1,1,1)且与向量a(1,0,1)平行的直线的方程是（A）．（直线方程；易；2分钟）xzBx1yz1Ay123Cx1yz1Dxyz142．已知a(1,1,1),b(1,0,1),c(1,1,1)，则混杂积为（D）．（混杂积；较易；2分钟）仅供学习与交流，若有侵权请联系网站删除感谢4精选资料A2B1C1D243.已知r(t)(et,t,et)，则r(0)为（A）．（导数；易；2分钟）Ａ(１，０，１)Ｂ(-１，０，１)Ｃ(０，１，１)Ｄ(１，０，-１)44．已知r(t)r(t)，为常数，则r(t)为（C）．（导数；易；2分钟）ＡtaＢaＣetaＤea上述a为常向量．45.已知r(x,y)(x,y,xy)，求dr(1,2)为（D）．（微分；较易；2分钟）Ａ(dx,dy,dx2dy)Ｂ(dxdy,dxdy,0)第二章46．圆柱螺线r(cost,sint,t)的切线与z轴（C）.(螺线、切向量、夹角；较易、2分钟)Ａ平行Ｂ垂直Ｃ有固定夹角Ｄ有固定夹角4347．设有平面曲线C:rr(s)，s为自然参数，α,β是曲线的基本向量．以下表达错误的选项是（C）．ＡαＢαα为单位向量ＣαβＤβα48．直线的曲率为（B）．（曲率；易；2分钟）Ａ–１Ｂ０Ｃ１Ｄ２49．关于平面曲线的曲率C:rr(s)不正确的选项是（D）．（伏雷内公式；较易；2分钟）Ａ(s)α(s)Ｂ(s)(s)，为α(s)的旋转角Ｃ(s)αβＤ(s)|r(s)|50．关于平面曲线，“曲率恒等于０”是“曲线是直线”的（D）．（曲率；易；2分钟)Ａ充分不用要条件Ｂ必需不充分条件Ｃ既不充分也不用要条件Ｄ充要条件仅供学习与交流，若有侵权请联系网站删除感谢5精选资料51．以下论述不正确的选项是（D）．（基本向量；易；2分钟）Ａα,β,γ均为单位向量ＢαβＣβγＤα//β52．关于空间曲线Ｃ，“曲率为零”是“曲线是直线”的（D）．（曲率；易；2分钟)A充分不用要条件B必需不充分条件C既不充分也不用要条件D充要条件53．关于空间曲线C，“挠率为零”是“曲线是直线”的D（）．（挠率；易；2分钟)A充分不用要条件B必需不充分条件C既不充分也不用要条件D充要条件54．xa(tsint),ya(1cost),z4asint在点t的切线与z轴关系为（D）．22Ａ垂直Ｂ平行Ｃ成的角Ｄ成的角34第三章55．椭球面x2y2z21的参数表示为（C）．（参数表示；易；2分钟）a2b2c2A(x,y,z)(coscos,cossin,sin)B(x,y,z)(acoscos,bcossin,sin)C(x,y,z)(acoscos,bcossin,csin)D(x,y,z)(acoscos,bsincos,csin2)56．以下为单叶双曲面x2y2z21的参数表示的是（D）．（参数表示；易；2分钟）a2b2c2A(x,y,z)(acoshusinv,bcoshucosv,sinhu)B(x,y,z)(coshucosv,coshusinv,sinhu)C(x,y,z)(asinhucosv,bsinhusinv,ccoshu)D(x,y,z)(acoshucosv,bcoshusinv,csinhu)57．以下为双叶双曲面x2y2z21的参数表示的是（A）．（参数表示；易；2分钟）a2b2c2A(x,y,z)(asinhucosv,bsinhusinv,ccoshu)B(x,y,z)(acoshucosv,bsinhusinv,ccoshu)C(x,y,z)(acoshucosv,bcoshusinv,csinhu)D(x,y,z)(coshucosv,coshusinv,sinhu)仅供学习与交流，若有侵权请联系网站删除感谢6精选资料58．以下为椭圆抛物面x2y22z的参数表示的是（B）．（参数表示；易；2分钟）a2b2A(x,y,z)(ucosv,usinv,u2)B(x,y,z)(aucosv,businv,u2)22C(x,y,z)(aucoshv,businhv,u2)D(x,y,z)(acosv,bsinv,v)259．以下为双曲抛物面x2y22z的参数表示的是（C）．（参数表示；易；2分钟）a2b2A(x,y,z)(acoshu,bsinhu,u)B(x,y,z)(coshu,sinhu,u)C(x,y,z)(a(uv),b(uv),2uv)D(x,y,z)(au,bv,uv)60．曲面r(u,v)(2uv,u2v2,u3v3)在点M(3,5,7)的切平面方程为（B）．（切平面方程；易；2分钟）A21x3y5z200B18x3y4z410C7x5y6z180D18x5y3z16061．球面r(u,v)(Rcosucosv,Rcosusinv,Rsinu)的第一基本形式为（D）．（第一基本形式；中；2分钟）AR2(du2sin2udv2)BR2(du2cosh2udv2)CR2(du2sinh2udv2)DR2(du2cos2udv2)62．正圆柱面r(u,v)(Rcosv,Rsinv,u)的第一基本形式为（C）．（第一基本形式；中；2分钟）Adu2dv2Bdu2dv2Cdu2R2dv2Ddu2R2dv263．在第一基本形式为I(du,dv)du2sinh2udv2的曲面上，方程为uv(v1vv2)的曲线段的弧长为（B）．（弧长；中；2分钟）Acoshv2coshv1Bsinhv2sinhv1Ccoshv1coshv2Dsinhv1sinhv264．设M为R3中的2维C2正则曲面，则M的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是（B）．仅供学习与交流，若有侵权请联系网站删除感谢7精选资料AE0BF0CG0DM065．以下正确的选项是（D）．（魏因加尔吞变换；较易；2分钟）Adn(dr)Bdn(dru)Cdnu(drv)Ddn(dr)66．以下正确的选项是（C）．（魏因加尔吞变换；较易；2分钟）AI(dr,(δr))II(dr,δr)BI(dr,(δr))I((δr),dr)CI(dr,(δr))I((dr),δr)DI(dr,(δr))II((dr),δr)67．以下正确的选项是（A）．（魏因加尔吞变换；较易；2分钟）AI(dr,(δr))II(dr,δr)BI(dr,(δr))II((dr),δr)CI(dr,(δr))I((dr),δr)DII(dr,(δr))II((dr),δr)68．高斯曲率为常数的的曲面叫（C）．（高斯曲率；易；2分钟）A极小曲面B球面C常高斯曲率曲面D平面第四章B69．gijgji___________．（第一基本形式；易；2分钟）i,jA1B2C0D-1B70．gkjj______．（第一基本形式；易；2分钟）ljAgkjBgklCgkiDgijkA71．ij________．（克氏符号；较易；2分钟）A1gkl(gilgjlgij)B1gkl(gilgjlgij)2ujuiul2ujuiuliiC1gkl(gilgjlgij)D1gkl(gilgjlgij)2ujuiuli2ujuiuliA72．曲面上直线（假若有的话）的测地曲率等于_____．A0B1C2D3仅供学习与交流，若有侵权请联系网站删除感谢8精选资料B73．当参数曲线构成正交网时，参数曲线u-曲线的测地曲率为_____．（刘维尔定理、测地曲率；中；4分钟）1lnE1lnEAEuBv22GC1lnG1lnEEvDu22GA74．假如测地线同时为渐进线，则它必为_____．（测地曲率、法曲率、曲率；中；2分钟）A直线B平面曲线C抛物线D圆柱螺线75．在伪球面(K1)上，任何测地三角形的内角之和____．（高斯-波涅定理；中；4分钟）A等于B小于C大于D不可以确立三、多项选择题第一章76.若ri(t)(xi(t),yi(t),zi(t)),i1,2,3为向量函数，则以下论述正确的选项是（AD）．（导数；易；4分钟）Ａr1(t)(x1(t),y1(t),z1(t))Ｂr1(t)(x1(t),y1(t),z1(t))(x1(t),y1(t),z1(t))(x1(t),y1(t),z1(t))Ｃ(r1(t),r2(t),r3(t))(r1(t),r2(t),r3(t))Ｄ(r1(t),r2(t),r3(t))(r1(t),r2(t),r3(t))(r1(t),r2(t),r3(t))(r1(t),r2(t),r3(t))Ｅ(r1(t),r2(t),r3(t))(r1(t),r2(t),r3(t))77．m,n为常向量，r(t)为向量函数，则下述正确的选项是（ABC）．（积分的性质；中；4分钟）bbbbＡmr(t)dtmr(t)dtＢmr(t)dtmr(t)dtaaaabbbbＣ(m,n,r(t))dt(mn)r(t)dtＤ(m,n,r(t))dt(mn)r(t)dtaaaabbＥ(m,n,r(t))dt(mn)r(t)dtaa仅供学习与交流，若有侵权请联系网站删除感谢9精选资料第二章78．以下曲线中为正则曲线的有（ACDE）。（曲线的看法；易；4分钟）Ａr(x)(x,x3)，x(,)Ｂr(x)(x2,x3)，x(,)Ｃr(x)(x2,x3)，x(0,)Ｄr(x)(cosx,x)，x(,)Ｅr(x)(x,x)，x(1,2)79．以下曲线中是正则曲线的有（ABCDE）。（曲线的看法；易；4分钟）Ａr(cost,sint,t)，t(,)Ｂr(sin3t,3t,0)，t(,)Ｃr(cost,cos2t,sint)，t(,)Ｄr(cost,1costsint,sint)，t(,)Ｅr(2sin2t,2sin2ttant,t)，t(,)80．以下式子正确的选项是（ABCE）．（伏雷内公式；中；4分钟）ＡγαβＢγαＣβkαγＤγβγ∥β．第三章81．曲面zx3y3在点M(1,2,9)的（AD）．（切平面、法线；中；4分钟）A切平面方程为3x12yz180B切平面方程为3x14yz80C法线方程为x1y3z93121D法线方程为x1y2z93121E法线方程为x1y2z9412182．正螺面r(ucosv,usinv,av)的（AC）．（切平面、法线；中；4分钟）A切平面方程为xasinvyacosvzuauv0仅供学习与交流，若有侵权请联系网站删除感谢10精选资料B切平面方程为xasinuyacosuzvauv0C切平面方程为xasinuyacosuzvauv0D法线方程为xucosvyusinvzavasinvacosvuE法线方程为xucosvyusinvzavasinuacosuv83．以下二次形式中，（ABD）不可以作为曲面的第一基本形式．（第一基本形式；易；4分钟）AI(du,dv)du24dudvdv2BI(du,dv)du24dudv4dv2CI(du,dv)du24dudv6dv2DI(du,dv)du24dudv2dv2I(du,dv)du24dudv5dv284．一般螺面r(u,v)(ucosv,usinv,f(u)av)的第一类基本量是（BCD）．（第一基本量；易；4分钟）AE1(f(u))2BE1(f(u))2CFaf(u)DGa2u2EGa2u285．以下曲面中，（BCD）是旋转常高斯曲率曲面．（常高斯曲率曲面；易；4分钟）A正螺面B平面C球面D圆柱面E悬链面第四章ABC86．关于曲面上的正交坐标网，测地曲率g_____（设曲线的切方向与ru的夹角为）．AdEvcosGusinds2EG2GEBd1lnEcos1lnGsinds2Gv2EuCdgcosgsindsuv仅供学习与交流，若有侵权请联系网站删除感谢11精选资料ddsddsguusincosvvcossin87．曲面上的曲线是测地线的充分必需条件是ABCD（测地线的看法；中；4分钟）A满足方程d2ukkduiduj0的曲线ds2i,jijdsdsB满足g0的曲线除了曲率为零的点外，曲线的主法线重合于曲面的法线满足0的曲线满足n0的曲线四、表达题第三章88．曲面。[解]设G是初等地域，SR3，假如存在一个连续一一映照r:GR3使得r(G)S，则称S是一张曲面，而rr(x)叫S的参数表示．89．坐标曲线。【解】曲面S:rr(u,v),(u,v)G，r(u,v0)的像叫u曲线，r(u0,v)的像叫v曲线，u曲线和v曲线都叫坐标曲线．90．第一基本形式。【解】称二次型I(du,dv)Edu22FdudvGdv2（此中Eruru，Frurv，Grvrv）为曲面的第一基本形式．而E、F、G叫曲面的第一类基本量．91．内蕴量。【解】由曲面的第一类基本量所决定的量叫曲面的内蕴量．92．第二基本形式。【解】称二次型II(du,dv)Ldu22MdudvNdv2（此中Lruun，Mruvn，Nrvvn）为曲面的第二基本形式．而L，M，N为曲面的第二类基本量．93．【解】若在P点有LNM20，则称P点为曲面的椭圆点．94．法曲率。【解】给定曲面S上一点P处的一个切向量(d)du:dv，则P点沿方向(d)的法曲率定义为n(d)II(dr,dr)/I(dr,dr)．仅供学习与交流，若有侵权请联系网站删除感谢12精选资料95．主曲率。【解】使法曲率n(d)达到极值的方向叫曲面在该点的主方向，而主方向的法曲率叫该点的主曲率．96．高斯曲率。【解】曲面的两个主曲率之积K12叫曲面的高斯曲率．97．极小曲面。【解】均匀曲率H0的曲面叫极小曲面．五、计算题第二章98．求旋轮线xa(tsint),ya(1cost)的0t2一段的弧长．（弧长；中；5分钟）【解】旋轮线r(t)(a(tsint),a(1cost))的切向量为r(t)(aacost,asint)，则它的0t2一段的弧长为：22sr(t)dt2a1costdt8a．0099．求曲线xtsint,ytcost,ztet在原点的切向量、主法向量、副法向量．（基本向量；中；10分钟【解】由题意知r(t)(sinttcost,costtsint,ettet)，r(t)(2costtsint,2sinttcost,2ettet)，在原点时有r(0)(0,1,1),r(0)(2,0,2)。又αr,β(r,r)r(r,r)r，γrr，rrrrrr因此有α(0,2,2),β(6,6,6),γ(3,3,3)。22366333100．圆柱螺线为r(t)(acost,asint,bt)。（基本向量、曲率、挠率；中；15分钟）仅供学习与交流，若有侵权请联系网站删除感谢13精选资料①求基本向量α，β，γ；②求曲率和挠率；【解】①由题意有r(t)(asint,acost,b)，γ(t)(acost,asint,0)，又由公式αr,β(rr)r(rr)r,γrrrrαβ(γrrr有r1(asint,acost,b),a2b2cost,sint,0),1(bsint,bcost,a).a2b2rr(t)(r,r,r)有a，b。②由一般参数的曲率公式(t)3及挠率公式b2b2rrr2a2a2第三章101．求正螺面r(u,v)(ucosv,usinv,bv)的切平面和法线方程．（切平面、法线；中；5分钟）【解】ru(cosv,sinv,0)，rv(usinv,ucosv,b)，切平面方程为xucosvyusinvzbvcosvsinv00bsinvxbcosuyuzbuv0,usinvucosvb法线方程为xucosvyusinvzbv．bsinvbcosvu102．求球面r(,)(acoscos,acossin,asin)上任一点处的切平面与法线方程．【解】r(asincos,asinsin,acos)，r(acossin,acoscos,0)，e1e2e3rrasincosasinsinacosacossinacoscos0a2cos(coscos,cossin,sin)仅供学习与交流，若有侵权请联系网站删除感谢14精选资料球面上任意点的切平面方程为(xacoscos,yacossin,zasin)a2cos(coscos,cossin,sin)0,即coscosxcossinysinza0，法线方程为(xacoscos,yacossin,zasin)a2cos(coscos,cossin,sin),即xacoscosyacossinzasin．coscoscossinsin103．求旋转抛物面za(x2y2)的第一基本形式．（第一基本形式；中；5分钟）【解】参数表示为r(x,y)(x,y,a(x2y2))，rx(1,0,2ax)，ry(0,1,2ay)，Erxrx14a2x2，Frxry4a2xy，Gryry14a2y2，I(dx,dy)(14a2x2)dx28a2xydxdy(14a2y2)dy2．104．求正螺面r(u,v)(ucosv,usinv,bv)的第一基本形式．（第一基本形式；中；5分钟）【解】ru(cosv,sinv,0)，rv(usinv,ucosv,b)，Eruru1，Frurv0，Grvrvu2b2，I(du,dv)du2(u2b2)dv2．105．计算正螺面r(u,v)(ucosv,usinv,bv)的第一、第二基本量．（第一基本形式、第二基本形式；中；15分钟）【解】ru(cosv,sinv,0)，rv(usinv,ucosv,b)，ruu(0,0,0)，ruv(sinv,cosv,0)，rvv(ucosv,usinv,0)，仅供学习与交流，若有侵权请联系网站删除感谢15精选资料ijkrurvcosvsinv0(bsinv,bcosv,u)，usinvucosvbnrurv(bsinv,bcosv,u)，|rurv|b2u2Eruru1，Frurv0，Grvrvu2b2，Lruun0，Mruvnb，Nrvvn0．b2u2106．计算抛物面zx2y2的高斯曲率和均匀曲率．（高斯曲率、均匀曲率；中；15分钟）【解】设抛物面的参数表示为r(x,y)(x,y,x2y2)，则rx(1,0,2x)，ry(0,1,2y)，rxx(0,0,2)，rxyryx(0,0,0)，ryy(0，0，2)，ijkrxry102x(2x,2y,1)，012yrn|rxry(2x,2y,1)，ry|4x24y21xErxrx14x2，Frxry4xy，Gryry14y2，Lrxxn2，Mrxyn0，4x24y21Nryyn2，4x24y2140KLNM24x24y214，EGF2(122)(4xy)2(4x24y21)24x)(14yH1GL2FMEN4x24y223．2EGF2(4x24y21)2107．计算正螺面r(u,v)(ucosv,usinv,bv)的高斯曲率（高斯曲率；中；15分钟）【解】直接计算知仅供学习与交流，若有侵权请联系网站删除感谢16精选资料E1，F0，Gu2a2，L0，Ma，N0，u2a2KLNM2a2EGF2(u2a2)2．第四章108．求位于正螺面xucosv,yusinv,zav上的圆柱螺线xu0cosv,yu0sinv,zav（u0=常数）的测地曲率．（测地曲率、刘维尔定理；中；15分）【解】由于正螺面的第一基本形式为Ιdu2(u2a2)dv2，螺旋线是正螺面的v-曲线uu0，由2得d0．由正交网的坐标曲线的测地曲率得dsGuu0．gu02a22GE六、证明题第二章109．证明曲线r(etcost,etsint,0)的切向量与曲线的地点向量成定角．（切向量、夹角；较易；5分钟）【证】对曲线上任意一点，曲线的地点向量为r(etcost,etsint,0)，该点切线的切向量为：r(et(costsint),et(sintcost),0)，则有：cosrre2tet2，rr2et2故夹角为。由所取点的任意性可知，该曲线与曲线的切向量成定角．4110．证明：若r和r对全部t线性相关，则曲线是直线．（曲率；中；10分钟）【证明】若r和r对全部线性相关，则存在恒不一样时为0的f(t),g(t)使f(t)r(t)g(t)r(t)0。则r(t)r(t)0t。rr，故k(t)0t。于是该曲线是直线．又(t)3r仅供学习与交流，若有侵权请联系网站删除感谢17精选资料111．证明圆柱螺线xacost,yasint,zbt的主法线和z轴垂直订交．（主法线、夹角；中；10分钟）【证明】由题意有r(t)(asint,acost,b),r(t)(acost,asint,0)。由β(r,r)r(r,r)r知β(cost,sint,0)。另一方面z轴的方向向量为a(0,0,1)，而aβ0，故rrrβ，即主法线与z轴垂直．112．证明曲线xasin2t,yasintcost,zacost的全部法平面皆经过坐标原点．（法平面；较易；5分钟）【证明】由题意可得r(t)(asin2t,acos2t,asint)，则任意点的法平面为asin2t0(xasin2t0)acos2t0(yasint0cost0)asint0(zacost0)0将点（0,0,0）代入上述方程有左侧asin2t0(0asin2t0)acos2t0(0asint0cost0)asint0(0acost0)0右侧，故结论建立．113．证明曲线x1t,y12,z1为平面曲线，并建立曲线所在平面的方程。（挠率；中；101t1t1t分钟）【证明】设A1tB1C1D0，整理比较两边同次项可得1t1t21tAD0,2AC0,ABCD0，则有AD,B4D,C2D，即曲线为直线，且有x4y2z10．第三章114．求证正螺面上的坐标曲线（即u曲线族v曲线族）相互垂直．（坐标曲线、夹角；5分钟）【证明】设正螺面的参数表示是r(u,v)(ucosv,usinv,bv)，则ru(cosv,sinv,0)，rv(usinv,ucosv,b)，rurv(cosv,sinv,0)(usinv,ucosv,b)0，故正螺面上的坐标曲线相互垂直．仅供学习与交流，若有侵权请联系网站删除感谢18精选资料115．证明马鞍面zxy上全部点都是双曲点．（点的分类、第二基本量；中；15分钟）【证明】参数表示为r(x,y)(x,y,xy)，则rx(1,0,y)，ry(0,1,x)，rxx(0,0,0)，rxy(0,0,1)，ryy(0,0,0)，rxry(y,x,1)，nrxry(y,x,1)，|rxry|x2y21Lrxxn0，Mrxyn1，Nryyn0，x2y21LNM200x211x210，y2y21故马鞍面zxy上全部点都是双曲点．116．假如曲面上某点的第一与第二基本形式成比率，即II(du,dv)与方向没关，则称该点是曲面的脐I(du,dv)点；假如曲面上全部点都是脐点，则称曲面是全脐的．试证球面是全脐的．（脐点；难；15分钟）【证明】设球面的参数表示为r(u,v)(Rcosvcosu,Rcosvsinu,Rsinv)，则ru(Rcosvsinu,Rcosvcosu,0)，rv(Rsinvcosu,Rsinvsinu,Rcosv)，ruu(Rcosvcosu,Rcosvsinu,0)，ruvrvu(Rsinvsinu,Rsinvcosu,0)，rvv(Rcosvcosu,Rcosvsinu,Rsinv)，EruruR2cos2v，Frurv0，GrvrvR2，L(ru,rv,ruu)Rcos2v，M(ru,rv,ruv)0，EGF2EGF2N(ru,rv,rvv)R，EGF2(L,M,N)1(E,F,G)，故球面是全脐的．R仅供学习与交流，若有侵权请联系网站删除感谢19精选资料117．证明平面是全脐的．（脐点；易；5分钟）【证明】设平面的参数表示为r(x,y)(x,y,0)，则rx(1,0,0)，ry(0,1,0)，rxx(0,0,0)，rxy(0,0,0)，ryy(0,0,0)，Erxrx1，Frxry0，Gryry1，Lrxxn0，Mrxyn0，Nryyn0(L,M,N)0(E,F,G)，故平面是全脐的．118．设有曲面zf(x,y)，试证曲面的第二基本形式与函数f(x,y)的二阶微分成比率．（第二基本形式；较难；10分钟）【证明】设曲面zf(x,y)的参数表示为r(x,y)(x,y,f(x,y))，则rx(1,0,fx)，ry(0,1,fy)，rxx(0,0,fxx)，rxy(0,0,fxy)，ryy(0,0,fyy)，ijkrrxry10fx(fx,fy,1)，n01fy|rxry(fx,fy,1)ry|fx2fy2，x1Lrxxnfxx，Mrxynfxy，fy2fx2fy21fx21Nryynfyy，2fy2fx1II(dr,dr)fx1fy(fxxdx22fxydxdyfyydy2)．221119．证明曲面xyz3的全部点为抛物点．（点的分类、第二基本量；中；15分钟）【证明】记曲面的参数表示为r(x,y)(x,y,(xy)1/3)，则rx(1,0,31(xy)2/3)，ry(0,1,31(xy)2/3)，rxx(0,0,32(xy)rxy(0,0,92(xy)5/35/3)，)，ryy(0,0,92(xy)5/3)，仅供学习与交流，若有侵权请联系网站删除感谢20精选资料rxry(31(xy)2/3,13(xy)2/3,1)，nrxry，|rxry|Lrxxn(0,0,92(xy)5/3)n，Mrxyn(0,0,92(xy)5/3)n，Nryyn(0,0,92(xy)5/3)nLNM20，曲面xyz3的全部点为抛物点．120．求证正螺面r(u,v)(ucosv,usinv,av)是极小曲面．（均匀曲率；中；15分钟）【证明】ru(cosv,sinv,0)，rv(usinv,ucosv,a)，ruu(0,0,0)，ruv(sinv,cosv,0)，rvv(ucosv,usinv,0)，ijkrurvcosvsinv0(asinv,acosv,u)，usinvucosvarn|rurv(asinv,acosv,u)，urv|a2u2Eruru1，Frurv0，Grvrva2u2，Lruun0，Mruvna，Nrvvn0，a2u21EN2FMGL1020(a)(a2u2)01a2u20,故正螺面是极小曲面．HEGF221(a2u2)022121．证明极小曲面上的点都是双曲点或平点．（点的分类、均匀曲率；中；5分钟）【证明】H120，12，K202122当K0时，120，极小曲面的点都是平点；K0时，极小曲面的点都是双曲点．第四章仅供学习与交流，若有侵权请联系网站删除感谢21精选资料122．证明若曲面上有两族测地线交于定角，则曲面的高斯曲率为零．（高斯曲率；难；10分钟）【证明】在每族测地线中任取两条，围成曲面上的曲边四边形．依据已知条件，曲边四边形的外角和为2,由高斯-波涅公式有Kd22，GKd0．G若在曲面上的某点P0处，K0，不如设K(P0)0，则在P0点的周边K0，从而关于环绕P0点的充分小的曲边四边形有Kd0，G得出矛盾，因此K0，即曲面为可展曲面．123．求证半径为R的球面上测地三角之和为1),此中A()为测地三角形的面积．（高斯-波涅定R2A(理；难；【证明】由高斯-波涅公式有KdS()．G关于半径为R的球面有K12，因此R12S()A()，R此中A()为测地三角形的面积．124．若曲面S的高斯曲率到处小于零，则曲面S上不存在围成单连通地域的圆滑的闭测地线．【证明】设若存在所述闭测地线(C)，它所围成的曲面部分为G，则由高斯-波涅公式kKdgds(i)2．GGi1由于K0，则Kd0，又后两项均为0，得出矛盾．因此不存在所述测地线．G仅供学习与交流，若有侵权请联系网站删除感谢22