2019年微分几何课后习题答案第四版梅向明黄敬之编1

微分几何主要习题解答§1曲面的概念cosv,u,bv}求正螺面={u的坐标曲线.1.rvsin解u-曲线为={u,u,bv}=｛0,0，bv｝＋u{,,0}，vcosvcossinvvsinr000000cosv,,bv}={为圆柱螺线．为曲线的直母线；v-曲线为uurvsin00２．证明双曲抛物面＝｛a（u+v）,b（u-v）,2uv｝的坐标曲线就是它的直r母线。证u-曲线为={a（u+）,b（u-）,2u}={a,b,0}+u{a,b,2}vvvvvvr000000 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示过点{a,b,0}以{a,b,2}为方向向量的直线;vvv000uuuu}+v{a,-b,2,0｝=｛a）+v,b（,-v）,2bv｝v-曲线为=｛a（uur000000uu}为方向向量的直线。{a,-b,2,b表示过点(a,0)以u000?????上任意点的切平面和法线方程。3．求球面=r}sinsin{acos,sina,acos???????????，=解=rr}cos,?acos,?asincossincos,acossin}0,a{?asin{???????sin?sinacoszy?acosx?acos?????cossin0??asinasincosa?任意点的切平面方程为????sin0cos?aacoscos?????-a=0；cos+zsin+ycossin即xcos?????sincosy?asinx?acosacosz???法线方程为。?????sincossincoscos22yx??1在任意点的切平面方程，．求椭圆柱面并证明沿每一条直母线，此422ab曲面只有一个切平面。22yx??1??,z=t,的参数方程为解椭圆柱面x=cos,y=asin22ab13微分几何主要习题解答????,。所以切平面方程为：},0,0,0}1r?r?{?asin{,bcos?t??z?ty?bx?acossin????0?bcos?asin0－，即xbcosab=0+yasin100??的每一数值的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而此方程与t无关，对于对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。3a?r?{u,v,}的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常．证明曲面5uv数。33yaauvx????z?3}??{0,1,?r?{1,0,}r。，。切平面方程为：证vu322uvauvuv2a3与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,)。于是，四面体的体积为：uv39a133是常数。av|?3|u|3|V?6|uv|2§２曲面的第一基本形式1.求双曲抛物面＝｛a（u+v）,b（u-v）,2uv｝的第一基本形式.r???2222解,4?bv2u},E?r??a{r?{a,b,2v},r?a,?b,uuv???222222,u?b?uv,Gr4?rF??r?aa?b??4vvu∴错误！未找到引用源。=2222222222。2dv)?b4?(a?bu?4uv)dudv(a?b??4v)du(?acosv,u,bv}２．求正螺面={u的第一基本形式，并证明坐标曲线互rvsin相垂直。?????2F?r?}r?0sin?uv,ucosv,b0?r{cosv,sinv,},r?{，，，解1r?E?vuvuu?2222222，∵Ｆ＝０，∴错误！未找到引用源。=，∴dvbduu?()?b?G?r?uv14微分几何主要习题解答坐标曲线互相垂直。222的曲面上，错误！未找到引用源。=３．在第一基本形式为udv?dusinh的曲线的弧长。求方程为u=v22222得由条件有du=dv，将其代入,沿曲线u=v解dsudv?duds?sinh222222的到在曲线=u=v上，从，ds=coshvdv,vvvdvsinhcoshds?duudv?21v2?。弧长为||sinhv?sinh|vcoshvdv|?12v12222，求4错误！未找到引用源。=．设曲面的第一基本形式为dv?a(udu)?–v=0的交角。它上面两条曲线u+v=0,u由于曲面上曲线的交角是曲线的内蕴量，即等距不变量，而求等距不变分析量只须知道曲面的第一基本形式，不需知道曲线的方程。22，，解由曲面的第一基本形式知曲面的第一类基本量，aG?u?0?F1?Ev，0,交点处的第一类基本量为v的交点为u=0,=v=0与u–v=0u曲线+1?E2u=的方向为δu+v=0的方向为du=-dv,u–，v=0。曲线aG?0F?v?，则有δv,设两曲线的夹角为2??a1?Gdv?Eduuu?=。cos?2a?12222??vGEu?Gdv?Edu.,y=的交角．求曲面z=axy上坐标曲线x=x5y00为表示的向量曲={x,y,axy},坐标线x=x解曲面的向量表示为r0?yr,的向量表示为={x；，ax}坐标曲线y,y,ax={xy}，其切向量=={0，1rr0000y??yyryy，则的夹角为与}，设两曲线x=x,ax}，其切向量y=={1，0，a0x0000??r?r2yaxyx00??有cos=??|r||r|22221?ax1?ayyx006.求u-曲线和v-曲线的正交轨线的方程.解对于u-曲线dv=0,设其正交轨线的方向为δu:δv,则有15微分几何主要习题解答Eduδu+F(duδv+dvδu)+Gdvδv=0,将dv=0代入并消去du得u-曲线的正交轨线的微分方程为Eδu+Fδv=0.同理可得v-曲线的正交轨线的微分方程为Fδu+Gδv=0.22＝０，确定两Pdu,dv的二次方程+2Qdudv+R7.在曲面上一点,含dvdu个切方向（du：dv）和（δu：δv），证明这两个方向垂直的充要条件是ER-2FQ+GP=0.du?2)(+假定dvP0，则所给二次方程可写成为证明因为du,dv不同时为零，dv???Q2dudududuuuuR?……错误！未找到+2Q=,设其二根,则=，+R=0,???dvPdvdvdvvvvP??duduuu引用源。又根据二方向垂直的条件知E+F(+)+G=0……错误！??dvdvvv未找到引用源。将错误！未找到引用源。代入错误！未找到引用源。则得ER-2FQ+GP=0.22.E=G8.证明曲面的坐标曲线的二等分角线的微分方程为dvdu??、证用分别用δ、d表示沿u－曲线，v－曲线及其二等分角线的微分符号，??????０．沿二等分角轨u＝０，０，δv＝０，沿v－曲线即沿u－曲线δuv线方向为du:dv,根据题设条件,又交角公式得222??2????)Fdu?Fdv(Edu?)Gdv()(FduGdvv(EduFdvv?vu)???，即。22?22??GEvdsudsEG222222FFFFdvdu得坐标曲线EG-=G(EG-，消去EG-)>0,展开并化简得E(EG-而)22dvdu.的二等分角线的微分方程为E=G错误！未找到引9．设曲面的第一基本形式为u=avu2222，求曲面上三条曲线用源。=dv?(u?a)duV=1v,v=1相交所成的三角形的面积。u=a?vo三曲线在平面上的图形（如图）所示。曲解线围城的三角形的面积是u=-av16微分几何主要习题解答11a02222????dv??ua?audududvS=uu0a??aa1aau2222???dvaudu?=2=2du?a1?)u(au00a3222a22222=|)]?aaln(?[(uu?a?)?uuu?a?20a322?2=。)]?aln([1?23?????=的面积。10．求球面r}sin,,acosa{acossinsin???????????=解=，rr},acos0},acosasinsincos{?a,sin{?asincoscos,??????22222?r=E=球面的面积为：=.,F==0,G=rracosar????????222422????????????acosd|?2?2a?daacossind4.S=222??????0222??2},11.证明螺面={ucosv,usinv,u+v}和旋转曲面={tcos,tsin1t?rr?2??.(t>1,0<=arctgu+v,t=<2)之间可建立等距映射1u??=arctgu根据等距对应的充分条件,要证以上两曲面可建立等距映射分析21?u可在一个曲面譬如在旋转曲面上作一参数变换使两曲面在对应点+v,t=,.,然后证明在新的参数下,两曲面具有相同的第一基本形式有相同的参数222dvduu,+1)未找到引用源。=2+2dudv+(螺面的第一基本形式为证明错误！2t22???tdt(d1)=旋转曲面的第一基本形式为错误！未找到引用源。,在旋转21?t17微分几何主要习题解答?2:曲面上作一参数变换则其第一基本形式为,=arctgu+v,t=1u?2211uu?222)1(u?)(du?dv(1?)du?2221u?uu1?21?u12222222错+1)===2+2dudv+(dv1)?1)du2?dudv?(u?du?(dvudu22u?u1.误！未找到引用源。?2.=arctgu+v,t=所以螺面和旋转曲面之间可建立等距映射1u?3曲面的第二基本形式§.,第二基本形式1.计算悬链面={coshucosv,coshusinv,u}的第一基本形式r??={-coshusinv,coshucosv,0}={sinhucosv,sinhusinv,1},解rrvu??={-sinhusinv,sinhucosv,0},={coshucosv,coshusinv,0},rruvuu?????2222u.u,=cosh=cosh={-coshucosv,-coshusinv,0},=0,rr?rF?rrG?E?vuvvvu2222dvdu.所以错误！未找到引用源。=cosh+coshuu??rr?1?vu}sinvusinv,sinhcoshucosv,?coshu{?,==n2coshu2F?EGucoshcoshu1???=1.,M=0,N=L=221?sinh1?sinh22dvdu。+所以错误！未找到引用源。=-22第一基本形式,第二基本形式计算抛物面在原点的.2.x?5x2?4xx2x?223115?22?2xx?x,x,xxr}?{曲面的向量表示为,解2111222???r?{1,0,5x?2x}?{1,0,0}r?{0,1,2x?2x}?{0,1,0}r?{0,0,5},,,xxx),002x0(0,1)21(112118微分几何主要习题解答??,,E=1,F=0,G=1,L=5,M=2,N=2,}r?{0,0,}r?{0,0,22xxxx21222222.错误！未找到引用源。==,错误！未找到引用源。dx5dx2?dx4?dxdxdx?211122EN-2FM+GL=0。证明对于正螺面={u,u,bv},-∞0,G>0,所以。若L=M=N所以24微分几何主要习题解答2则曲面上的点是双曲点。，曲面上的点是平点，若<0,=0MLN?.则渐近线构成正交网证明如果曲面的平均曲率为零,23..由上题曲面上的点都是双曲点或平点如果曲面的平均曲率为零,证法一：.必存在正交的渐近曲线网任一曲线为渐近曲线,若为平点,则任意方向为渐近方向,?2?1?=1,满足渐近方向由19题,若为双曲点,则曲面上存在渐近曲线网.??tg?2?????.即/4,=,/4,两渐近线的夹角为=-即渐近曲线网构成正交网22122渐近线方程为证法二：0Ldu??2Mdudv?Ndv0?2FM?NEH?0?LG???MuduNudududu22M2)????(LN?0?,?以，，所所以所以??LdvLvdvddvvv??ududuu?????]F(du)v?dv?u)?Gdvv?dvGv[E?F(?Eduu???vvdvdvMN2?Ev]?0dv[?F(?)?G=，所以渐近网为正交网。LL1????0(??)H?，所以证法三：，所以高斯曲率0?K?0M?212122?MLN?，所以曲面上的点是平点或双曲点。所以曲面上存在两族渐近线。取0M=0，曲面上的点是平点，若曲面上的两族渐近线为坐标网，则L=N=0，若，所以渐，所以F=0，则，所以MF=00LG?2FM?M?0NE?H?0?近网为正交网。222并令其绕轴旋转的圆环0,,在xoz平面上去圆周y=)?a(b?a(x?b)?z24.??????求圆环面上的椭圆,(b+acosasin)sin},面,参数方程为={(b+acos)cos,r点、双曲点、抛物点。22???a,L=a,M=0,N=cos解E=),(b+acos,F=0,G=)cos?a(b22???MM的符号>0,所以LN-(b+acos由于),b>a>0,b+acosLN-=acos?3?2????M>0,时,LN-和<<2cos与曲面上的点为椭的符号一致,当0≤<2225微分几何主要习题解答?3?即圆环-，曲面上的点为双曲点当<<,圆点，即圆环面外侧的点为椭圆点；?22?3?2?，为抛物点，即圆环面上、=0或面内侧的点为双曲点；当=时，LN-M22下两纬圆上的点为抛物点。222?的形式，则称这个曲25．若曲面的第一基本形式表示为)?(u,v)(I?dudv???上存在等温面的坐标曲线为等温网。试证：旋转曲面)}((t)sint,r?{g(t)cosf,g网。???的第一基本形式为证旋转曲面)})sint,fgr?{(t)cos(,g(t2'2'2'?f2'gfg?222????udt，做参数变换,则在新参数，v=)dI?g(t)(dt?2gg222下，为等温网。),?)](duI?gdv[t(u）（CC）是的一条曲率线，则（26．两个曲面、交于一条曲线（C），而且SSS112C）相交成固定角。也是的一条曲率线的充要条件为、沿着（SSS212??的法向量，则沿交分别为、C），、交于曲线（证两个曲面、SSnSSn211122??????即常数，这等价于d(·)=0,成固定角的充要条件为线（C），与·=nnnnnn222111?????共d与（C）的切向量=0,而（C）是的一条曲率线，因此d·d·+dnnnnnSr111221?????????=，所以·d·d=0，又d⊥线，则与正交，即d·=0，于是nnnnnnnnn221222121???）是的曲率线。的充要条件为d//d，即（Cd·=0Snnnr2122则它们之若两条渐近线都不是直线，处，证明在曲面(S)上的一个双曲点P27．?KK?，其中K是(S)在,另一条在点P的挠率是P中，一条在点P-的挠率是点的高斯曲率。????，且=II=0，P证曲面在双曲点P处，有两条渐近线过点，沿渐近线有n26微分几何主要习题解答??????2222???.则d=，即d或于是有,d?Kds??dnKI?d?2?III?HII?KIn???d222????K?()?。，所以有K????K(?,?)?ds28．证明如果曲面上没有抛物点，则它上面的点和球面上的点是一一对应的。内的点一一对应，D(u,v)与(u,v)(u,v)证设给出的曲面(S):=上的点?rrr??????????=所以(u,v),由于,其球面像上的点为=|rr?n|r?r)?k|n?|kn?n?(nnvuuvuvuv2?|?M|LN????2。，当曲面(S)上没有抛物点时，LN-M0,则nn?0vu2F?EG?说明球面像上的点(u,v)与区域D内的点一一对应，因此曲面(S)上的点与球面像n上的点一一对应。27