矩阵的合同与相似及其等价条件汇总

PAGE\*MERGEFORMAT#PAGE\*MERGEFORMAT#矩阵的相似与合同及其等价条件研究（数学与统计学院09级数学与应用数学一班）指导老师：王晶晶引言矩阵的相似与合同及其等价三者在线性代数中是很重要的概念，在线性代数的学习中，矩阵的相似与合同作为研究工具，得到广泛的应用wo],起着非常重要的作用，能够把要处理的问题简单化⑼，本文对矩阵的等价，合同，相似进行了简单的介绍并对其判别 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 给了具体的例子进行解释说明，对矩阵的应用学习有一定的帮助.1矩阵的等价与相似及其合同的基本概念1・1矩阵等价的定义⑴定义1.1如果矩阵A可以有矩阵B经过有限次初等变换得到，称A与B是等价的.由于要与矩阵的相似，合同进行比较，上述概念可以约束条件得到：定义1.2如果n阶矩阵A可以由n阶矩阵B进过有限次初等变换得到，则称A与B是等价的.根据初等变换和初等矩阵的关系以及可逆矩阵的充分必要条件，可以用数学语言描述：定义1.3设矩阵A,B为n阶矩阵，如果存在n阶可逆矩阵P和Q,使得PAQ二B,则称矩阵A与B等价，记作AsB.1.2矩阵相似的定义⑵定义1.4设矩阵A，B为n阶矩阵，如果存在一个是n阶可逆矩阵P,使得P-1AP=B,则称矩阵A与矩阵B相似，记作A〜B.n阶矩阵的相似关系，具有下列性质⑶：性质1.1反身性，即任一n阶矩阵A与自身相似.性质1.2对称性，即如果A〜B，则B〜A.性质1.3传递性，如果A〜B，B〜C，则A〜C.性质1.4P-i（kA+kA）P=kP-iAP+kAP.（kk是任意常数）1122122k2性质1.5P-i(AA)P二(P-iAP)(P-iAP).1212性质1.6若矩阵A与矩阵B相似，则Am与Bm相似.(m为正整数) 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 存在一个可逆矩阵P，使得P-1AP=B，那么6-1AP^=Bm=P-1AmP，故可以得到Am与相Bm相似.性质1.7如果矩阵A、B都是满秩，则A〜B，那么B-1〜A-1.证明存在一个可逆矩阵P，使得P-1AP二B，那么=B-1=P-1A-1P故可以得到B-1〜A-1.性质1.8如果矩阵A〜B，那么|A=|B|.证明存在一个可逆矩阵P，使得P-1AP=B，又因为P-1AP=|B|,P-1P=1，故可以得到|A|=|B|.性质1.9相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆•并且当它们都可逆时候，它们的=P-1A-1P，从而B-1和A-1逆矩阵也相似.证明设B=P-1AP，若矩阵B可逆,也相似.若B不可逆，则P-1AP不可逆，即A也不可逆.性质1.10相似矩阵有相同的特征值.证明设B=P-1AP，|XE-B|=|P-1九EP-P-1AP=P-1(XE-A)p|=卜E—A|故矩阵A的特征值与矩阵B有相同的特征值.性质1.11相似矩阵有相同的迹.证明可以设矩阵A与矩阵B相似，那么存在一个可逆矩阵P，使得P-1AP=B,t(B)=t6-1AP)rr=t6-1PA)r=t(a)r，求分别求矩阵A、B的特征多项式，特征值秩,迹，行列式，矩阵A与B是否相似,它们之间有什么关系?解从已知可知|A|=Rank(A)=2,t(A)=5r对于A的特征多项式|XE-A=九-200九一3=(九一2)(九-3)故A的特征值为2和3.对于矩阵B,|B|=Rank(B)=2,t(B)=5r矩阵B的特征多项式|B|=九-300九一2=(九-2)(九-3).故矩阵B的特征值是2和3.存在一个可逆矩阵P=使得P-1AP=B，从定义矩阵B与矩阵A相似.从结果看到相似矩阵有相同的特征多项式、相同的特征值、相等的行列式的值、相等的迹[2-4]-4、设实数域上的3级实对称矩阵A=-2，对角矩阵1丿0、0•求矩阵A、B的特征值，特征多项式并且矩阵A与矩阵B相似吗？如-4丿果相似求出可逆矩阵P.解由矩阵A的特征多项式为九-1242九—4242九一1九-1202九—4—2九+1042九一1九-124=2九-4200九一1=(九—5)2(1+4)故矩阵A的特征值为5和一4.容易知道矩阵B的特征多项式和矩阵A的相同,故矩阵B的特征值为5和-4.那么存在一个可逆矩阵P,P=151515—于52、31323丿验证得到P-1AP二B，那么矩阵A与矩阵B相似，它们有相同的特征值和特征多项式.1.3矩阵合同的定义⑵定义1.5设A，B为n阶矩阵，如果存在一个n阶可逆矩阵C，使得CTAC二B,则称A与B合同，记作A兰B.n阶矩阵的合同关系具有下列性质：⑴反身性：即任一n级矩阵与自身合同.⑵对称性：即如A与B合同，则B与A合同.⑶传递性：A与B合同，B与C合同，则A与C合同.⑷合同的两矩阵有相同的二次型 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 型.⑸任何一个实对称矩阵合同于一个对角矩阵.⑹两个实对称矩阵合同，它们的秩相等，而且正惯性指数相等.2.合同矩阵与相似矩阵的关系矩阵的相似与合同的相同点⑸.⑴从上面可以看到，相似关系满足反身性、对称性、传递性；合同关系也具有反身性、对称性、传递性.(2)相似、合同矩阵均有相同的秩.若矩阵A相似与矩阵B，则RankA）二RankB），若矩阵A合同于矩阵B，则RankA）二RankB）•可见，如果两个矩阵相似或合同，那么它们的秩相同.⑶相似与合同的矩阵要求是同型的方阵.若矩阵A于矩阵B相似，则要求A、B都是方阵；若A合同与B，则要求A、B都方阵•就是说相似与合同的矩阵要求是同型矩阵，而且都是方阵.矩阵的相似与合同的不同点⑸矩阵的相似与合同有一些不同之处，如A〜B，则|A|=B，A与B有相同的特征值•但若A=B，那么A与B的行列式的值不一定相等；A与B也不一定有相同的特征值.<454?455■<45不难验证:我们可以知道上面的矩阵等式满足矩阵的合同同时满足矩阵的相似，能够知道矩阵T为正交矩阵，故A〜B，矩阵A的行列式可以等于B的行列式，下面举出合同但是行列式不等的情况.—4、12丿经过验证可以知道|A=—1，|B=—4，然而CtAC=B，|A|丰|B，可以得到矩阵A合同于B，但是行列式可以不等.我们知道矩阵相似具有相同的特征值，这是因为相似矩阵有相同的特征多项式.我们设A〜B，则有可逆矩阵P，使得B=P-1AP，于是|九E—B|九E—P-1AP\=\P-1(九E)P—P-1AP=|P-1(九E—A)P|故特征值相同.然而对于矩阵A合同与矩阵B但是它们的特征值不一定相同:11「r10)仃1)12，B=0-，C=1—一21k4丿k01丿k2丿例3设A=不难验证CTAC二B,即A二B，33但是A的特征值为-和-，B的特征值为1和-24显然，矩阵的相似与矩阵的合同是不同的概念.2.3矩阵等价、合同与相似的联系［7］.结论2.1相似矩阵一定是等价矩阵，等价矩阵未必为相似矩阵.证明设n级矩阵A、B相似，从定义知道存在n阶矩阵P，使得P-1AP=B，从等价的定义A二B.[100「[121「反过来，对于矩阵A=k010丿，B=k010丿，A与B等价，但是A与B并不相似.结论2.2合同矩阵一定是等价矩阵，等价矩阵未必是合同矩阵.证明设n阶方阵A,B合同，由定义1.5有，存在n阶可逆矩阵P，使得PtAP=B，11若记P=Pt,Q=P，则有PAQ=B因此由定义1.3得到n阶方阵A,B等价.11反过来对于矩阵A=2)、］等价，但是A与B并不合同，即等价1丿矩阵未必合同.2.4矩阵合同与相似的关系⑺结论2.3如果M与N都是n级对称矩阵，且有相同的特征值，则M与N既合同又相似.证明设M、N的特征值均为九、九、九，因为M与N都是n级实对称矩阵,12n则一定存在n阶正交矩阵P，使得：P-1MP=九丿n同理，可以找到一个正交矩阵Q，使得:Q-1NQ=从上面两式有:P-1MP=Q-1NQ将上式两边分别左乘Q和又乘Q-1，得:N=QP-'1MPQ=6q-JiMOq-i)由于故PQT可逆，又由于: ppt 关于艾滋病ppt课件精益管理ppt下载地图下载ppt可编辑假如ppt教学课件下载triz基础知识ppt =E,QQt二E所以PQ-1是正交矩阵(PQ-1)(PQ-1)=PQ-1(Q-1)TPT=PQtQPt=E故M〜N,M仝N结论2.4若n阶矩阵A与B中只要有一个正交矩阵，则AB与BA相似且合同.证明不妨A是正交矩阵，则A可逆取，P=A,有P-1ABP=A-1ABA=（A-1A沧）=BA，则AB与BA相似,又A是正交阵，所以AB与BA既相似又合同.结论2.5若A〜B，且A=B，C〜D且C二D，则A0'B0'.°C丿、0D证明从已知，C〜B,C〜D，故存在可逆矩阵P,P使得12P-1AP=B11P-1CP=D22P2丿P-1(P-11P-1(AP-1{0(P-1AP1100、P-1CP丿22又因为A二B,C=D,,故存在可逆矩阵T,1使得TtAT=B,TtCT二D11220、T2丿0)然而(ATt100A0)(T1T2八0C人010t(TtAT11I0TtCT厂I0223相似矩阵的应用3.1相似矩阵的简单应用[8]在矩阵Am的求解过程中，很难得到它的值，然而可以找到与矩阵A相似的简单的矩阵，可把矩阵化简为对角矩阵，使得A=P-1BP，其中P为可逆矩阵，B对角矩阵，可知矩阵A与矩阵B相似，那么Am=（p-1Bp\=P-1BmP，从而可以使得不宜求的矩阵简单化。利用相似的关系把矩阵化简为对角矩阵,但并不是所有的矩阵都可以对角化.例1求Am（m是任一个正整数）：A=(1<-1解由已知矩阵A的特征多项式为卜E-A|卜E-A|二0(九一1)@-4)+2二九2-5九+6二0故有特征值为：九二2，或3.可以看到2阶矩阵A有两个不同的特征值，故可以对角化.当九二2时,[1-22-2丿x-2x=0，得到特征向量（2，1）.12当九二3时,-2'-1丿同理可以得到特征向量[21、[1-1、[20、k1b，求得T-1=k-12丿，T-1AT=k03丿存在T=艮卩Am=T-1Am=2m+1—3k2m—3m2(3m—2m)'2(3m—2m-1)丿3.1.1实对称矩阵一定相似于对角矩阵.2-2、5-4，求正交矩阵T，使得TTAT为对角矩阵.解计算可得|XE-A二（九一1）2（九一10），所以九二九二1,九二10.123当九=1时,得到特征向量a1二(—2,1,0》,a2当九=10时,得到特征向量a3(1\T=_1一1〔2，，丿将特征向量单位化，得01〔一2）一厉1击0v-45肩52(1令T=(0,0,0),则T为正交矩阵，且TTAT=123110丿即A正交相似与对角矩阵.3.1.2矩阵不可以化为对角矩阵的情况⑼.设矩阵B二(6—2-10一4614—2，可以得至【」卜E-B二0.得到特征值九=2，九=4（2重）.12当九=2时,得到特征向量0二11当九=4时,得到特征向量0二22(4]1、一1丿只有两个特征向量,故矩阵B不可以对角化.3.2矩阵合同的应用[10]矩阵的合同主要应用在二次型，二次型的标准型，求矩阵的合同标准型.下面介绍几种求实对称矩阵合同标准型的方法:3.2.1非退化线性替换例1用正交替换把实二次型f(X,x,X)二2X2+5X2+4XX—4xX—8xX化为"2312121323标准型.x1x2X3」1-—n503.2.2f（X1，X2,X3）二y12+y2+10y2利用配方法把二次型化成标准型.例2二次型f(%,x,x)=X2—2x2+2xX—2xX123231323,X,X)=(X2+X2+X2+2XX23--—2xX—2xX)—(X2+x2—2xX)—2x212312132313133二(%+X-X》-Cx-X2313y二x+1一令1y二2y二J3X—2X—2X3X32x3f(X1，X2,X3)二Vi-再-2再3.2.3通过矩阵成对的初等行、列变换法.例3用矩阵的成对初等行、列变换法把数域K上二次型化成标准形,•）=X2—2X2+2XX—2XX3231323（001，那么（A,E）.经过成对的初等行列变换得到:'10对角矩阵矩阵D二0-100、0，可逆矩阵C=2丿0121，令X=CY，g(x1，x2,x3)二y12-y2-2y2结论基于对矩阵相关知识概念的了解•本文对矩阵的等价、矩阵的相似、矩阵的合同的概念的把握，同时阐述了矩阵的等价、相似、合同的三者的关系•给予了矩阵的相似的应用，矩阵合同的应用.特别在线性代数中，运用矩阵的相似标准型和合同标准型把矩阵对角化使问题简单化•再者,对求解矩阵的合同标准型几种方法分别是非线性替换，配方法和成对的初等行列变换•通过一些实例使我们更清楚的了解矩阵的相似于合同及其等价三者的联系，对以后的学习提供的帮助和进一步了解.参考文献智婕.矩阵等价、相似、合同联系J].牡丹江师范学院报.2006,(3):6.张禾瑞.高等代数(第三版)[M].北京:高等教育出版社.1983:190-202.丘维声.高等代数(第二版).北京:高等教育出版社.2002:192-199.卢刚.线性代数[M].北京:高等教育出版社.2005:101-179.耿秀荣.概念辨析过程数学变式教学[D].山东师范大学数学系硕士学位论文.2001,32-42.王晓玲，候建文.矩阵三种关系间的联系J].山西农业大学学报.2004,(2):188-190.马蔚华.矩阵的相似与合同之等价条件的探究[J].湖南广播电视大学学报.2000,(4):70-71.李样明，金玲玲.关于矩阵合同关系的几个问题J]•广东教育学院学报.1995,(2):25-27.吴赣昌.线性代数[M].北京：中国人民大学出版社.1994:198-224.同济大学教研室.线性代数[M].北京:高等教育出版社.2003:215-243.致谢我所撰写的学位论文是在导师王晶晶认真指导下完成的•她严格地要求我，认真的的指导.老师渊博的知识认真的态度也使我受益匪浅，这对于我以后的工作学习都具有很好的示范作用我的论文的撰写和校对过程中，还得到了许多同学的帮助，同学和老师都给予我很大的帮助使我熟悉了撰写论文的一般格式和许多注意事项,对论文的写作又有了深刻的认识.最后感谢王老师的辛勤指导.