高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)

高等数学求极限的常用 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 (附例题和详解) 高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 （i）若A?0，则有??0，使得当0?|x?x0|??时，f(x)?0； （ii）若有??0,使得当0?|x?x0|??时，f(x)?0,则A?0。 限是否存在在： （i）数列?xn?a的 （ii）limf(x)lim f(x)?A， x?? (iii) f(x)? (iv)单调有界准则 （v （vi）柯西收必要条件是： ???0,?1.2.洛必达（L’ x趋近告诉f（x）、g（x）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： ”“”时候直接用 0? (ii)“0??”“???”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通 ?项之后，就能变成(i)中的形式了。即f(x)g(x)?f(x)或f(x)g(x)?g(x)；g(x)f(x) f(x)?g(x)?111 g(x)f(x)f(x)g(x) (iii)“0”“1”“?”对于幂指 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 ,方法主要是取指数还取对数的方法，即这样就能把幂上的函数移下来了，变成“0??”型未定式。 f(x)g(x)?e g(x)lnf(x) 3.泰勒公式(含有e的时候，含有正余弦的加减的时候） x2xne?x e?1?x?????xn?1 ； 2!n!(n?1)! x3x5x2m?1cos?x2m?3m sinx?x?????(?1)?(?1)m?1x 3!5!(2m?1)!(2m?3)! 2mx2x4cos?x2m?2mx cos=1? ????(?1)?(?1)m?1x2!4!(2m)!(2m?2)!n x2x3xn?1n?1xn 4.5.6.1）设a?b?c?0， xn? （2）求 ?111? ?????n2(n?1)2 (2n)2??? 111111????2?2???2?，以及22 n(n?1)(2n)nnn 解：由0?1? 0?lim ?0可知，原式=0 n (3)求lim? ?1?11 ? ?????2?22 n?2n?n??n?1 111111111n ????1??????????nnnn?2n2?1n2?nn2?nn2?nn2?nn2?n 解：由,以及 7.数列极限中等比等差数列公式应用（等比数列的公比q绝对值要小于1）。例如： lim1?lim ?1得，原式=1 lim?1?2x?3x ???nxn?1 (|x|?1)。提示：先利用错位相减得方法对括号内的式子求和。 8.数列极限中各项的拆分相加（可以使用待定系数法来拆分化简数列）。例如： =1?????????lim?1?n?1)??1 lim??1?2?2?3???n(n?1)??lim?n?1)???223??? ?111??111? n??n?? 9.利用xx与xn?1极限相同求极限。例如： （1）已知 a1?2,an?1?2?1，且已知liman存在，求该极限值。 A=1+2 （2 xk?xk?1?2。所以， A2?A?2?0。 ? 10. （i11.n快于n！,n！快12.换元法。这是一种技巧，对一道题目而言，不一定就只需要换元，但是换元会夹杂其中。例如：求极限 arccosx? 。解：设t?arccosx??,则x?0时，t?0,且x?cos(t??)??sint。 22sin2x2x sin2x arccosx? arccosx? ?2sint2 111?。由于113．利用定积分求数列极限。例如：求极限lim?，所以??????? in?in?2n?n?n???n?11? ??????lim?n?n?lim?n?1n?2 ?111? ?121???1?1?ln2 ?? ?n?1x? 1???1?nn?? 14.利用导数的定义求“0”型未定式极限。一般都是x?0时候，分子上是“f(a?x)?f(a)”的形式，看见了这 种形式要注意记得利用导数的定义。（当题目中告诉你f（a）?m告诉函数在具体某一点的导数值时，基本上就是暗示一定要用导数定义） f(a)?0,f(a) ??1??fa??? ??n??? 存在，求lim? fa?n?????n 解：原式= limn?? 高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 （i）若A?0，则有??0，使得当0?|x?x0|??时，f(x)?0； （ii）若有??0,使得当0?|x?x0|??时，f(x)?0,则A?0。 限是否存在在： （i）数列?xn?a的 （ii）limf(x)lim f(x)?A， x?? (iii) f(x)? (iv)单调有界准则 （v （vi）柯西收必要条件是： ???0,?1.2.洛必达（L’ x趋近告诉f（x）、g（x）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： ”“”时候直接用 0? (ii)“0??”“???”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通 ?项之后，就能变成(i)中的形式了。即f(x)g(x)?f(x)或f(x)g(x)?g(x)；g(x)f(x) f(x)?g(x)?111 g(x)f(x)f(x)g(x) (iii)“0”“1”“?”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即这样就能把幂上的函数移下来了，变成“0??”型未定式。 f(x)g(x)?e g(x)lnf(x) 3.泰勒公式(含有e的时候，含有正余弦的加减的时候） x2xne?x e?1?x?????xn?1 ； 2!n!(n?1)! x3x5x2m?1cos?x2m?3m sinx?x?????(?1)?(?1)m?1x 3!5!(2m?1)!(2m?3)! 2mx2x4cos?x2m?2mx cos=1? ????(?1)?(?1)m?1x2!4!(2m)!(2m?2)!n x2x3xn?1n?1xn 4.5.6.1）设a?b?c?0， xn? （2）求 ?111? ?????n2(n?1)2 (2n)2??? 111111????2?2???2?，以及22 n(n?1)(2n)nnn 解：由0?1? 0?lim ?0可知，原式=0 n (3)求lim? ?1?11 ? ?????2?22 n?2n?n??n?1 111111111n ????1??????????nnnn?2n2?1n2?nn2?nn2?nn2?nn2?n 解：由,以及 7.数列极限中等比等差数列公式应用（等比数列的公比q绝对值要小于1）。例如： lim1?lim ?1得，原式=1 lim?1?2x?3x ???nxn?1 (|x|?1)。提示：先利用错位相减得方法对括号内的式子求和。 8.数列极限中各项的拆分相加（可以使用待定系数法来拆分化简数列）。例如： =1?????????lim?1?n?1)??1 lim??1?2?2?3???n(n?1)??lim?n?1)???223??? ?111??111? n??n?? 9.利用xx与xn?1极限相同求极限。例如： （1）已知 a1?2,an?1?2?1，且已知liman存在，求该极限值。 A=1+2 （2 xk?xk?1?2。所以， A2?A?2?0。 ? 10. （i11.n快于n！,n！快12.换元法。这是一种技巧，对一道题目而言，不一定就只需要换元，但是换元会夹杂其中。例如：求极限 arccosx? 。解：设t?arccosx??,则x?0时，t?0,且x?cos(t??)??sint。 22sin2x2x sin2x arccosx? arccosx? ?2sint2 111?。由于113．利用定积分求数列极限。例如：求极限lim?，所以??????? in?in?2n?n?n???n?11? ??????lim?n?n?lim?n?1n?2 ?111? ?121???1?1?ln2 ?? ?n?1x? 1???1?nn?? 14.利用导数的定义求“0”型未定式极限。一般都是x?0时候，分子上是“f(a?x)?f(a)”的形式，看见了这 种形式要注意记得利用导数的定义。（当题目中告诉你f（a）?m告诉函数在具体某一点的导数值时，基本上就是暗示一定要用导数定义） f(a)?0,f(a) ??1??fa??? ??n??? 存在，求lim? fa?n?????n 解：原式= limn??