第二章时间序列分析的基本概念本章引入一些基本概念，如随机过程、自相关和偏自相关函数。随之讨论平稳时间序列的一些概念，以及时间序列均值、方差、自相关函数和偏自相关函数的估计，最后介绍线性差分方差。差分方程在线性时间序列的模型刻画中起着重要作用。Contests第五节差分运算及滞后算子第四节线性差分方程第三节平稳时间序列的特征描述第二节平稳时间序列第一节随机过程第一节随机过程一、随机过程和时间序列二、时间序列的分布三、时间序列的特征统计量一、随机过程的概念引：时间序列不是无源之水。它是由相应随机过程产生的。只有从随机过程的高度认识了它的一般规律。对时间序列的研究才会有指导意义。对时间序列的认识才会更深刻。事物变化的过程可以分成两类。一类是确定型过程，一类是非确定型过程。确定型过程即可以用关于时间t的函数描述的过程。例如，真空中的自由落体运动过程，行星的运动过程等。非确定型过程即不能用一个（或几个）关于时间t的确定性函数描述的过程。换句话说，对同一事物的变化过程独立、重复地进行多次观测而得到的结果是不相同的。例如：对河流水位的测量。其中每一时刻的水位值都是一个随机变量，如果以一年的水位纪录作为实验结果，便得到一个水位关于时间的函数xt。这个水位函数是预先不可确知的。只有通过测量才能得到。而在每年中同一时刻的水位纪录是不相同的。随机过程：由随机变量组成的一个有序序列称为随机过程，记为{x(s,t),sS,tT}。其中S表示样本空间，T表示序数集。对于每一个t,tT,x(·,t)是样本空间S中的一个随机变量。对于每一个s,sS,x(s,·)是随机过程在序数集T中的一次实现。随机过程简记为{xt}或xt。随机过程也常简称为过程。连续型随机过程：若T为一区间，则｛Xt｝为一连续型随机过程。离散型随机过程：若T为离散集合，如T＝（0，1，2，……）或T＝（……，-2，-1，0，1，2，……），则｛Xt｝为离散型随机过程。例如：某河流一年各时刻的水位值，{x1,x2,…,xT-1,xT,}，可以看作一个随机过程。每一年的水位纪录则是一个时间序列，{x11,x21,…,xT-11,xT1}。而在每年中同一时刻（如t=2时）的水位纪录是不相同的。{x21,x22,…,x2n,}构成了x2取值的样本空间。t时间序列：随机过程的一次实现称为时间序列，也用{xt}或xt表示。时间序列中的元素称为观测值。{xt}既表示随机过程，也表示时间序列。xt既表示随机过程的元素随即变量，也表示时间序列的元素观测值。在不致引起混淆的情况下，为方便，xt也直接表示随机过程和时间序列。随机过程与时间序列的关系图示例2：一天24小时从大桥通过的汽车数。例如：要记录某市日电力消耗量，则每日的电力消耗量就是一个随机变量，于是得到一个日电力消耗量关于天数t的函数。而这些以年为单位的函数族构成了一个随机过程{xt},t=1,2,…365。因为时间以天为单位，是离散的，所以这个随机过程是离散型随机过程。而一年的日电力消耗量的实际观测值序列就是一个时间序列。在经济分析中常用的时间序列数据都是经济变量随机序列的一个实现。二、时间序列的分布及其特征1、时间序列的概率分布一个时间序列是一个无限维随机向量，它的概率分布可以用它的有限维分布族来描述。一个时间序列所有有限维分布函数的全体，称为该序列的有限维分布函数族。例如：设｛Xt｝为一随机过程，对每一t∈T（），Xt的分布函数为即：当任意给定t1，t2∈T时，随机变量Xt1、Xt2的联合分布函数为：一般地，对于任意m∈N，t1，t2，……tm∈T，随机变量Xt1……Xtm的联合分布函数为：如果时间序列的所有有限维分布都是正态分布，则称该时间序列为正态序列，又称高斯序列。如果我们能确定出时间序列的概率分布，我们就可以对时间序列构造模型，并描述时间序列的全部随机特征。但由于确定时间序列的分布函数一般不可能，人们更加注意使用时间序列的各种特征统计量的描述，如均值函数、协方差函数、自相关函数、偏自相关函数等，这些特征统计量往往能代表随机变量的主要特征。三、时间序列的特征统计量1.均值函数即为时间序列{Xt}的均值函数。被{Xt}的一维分布族所决定。当t取遍所有时刻时，我们就得到一个均值函数序列，它反映的是时间序列{Xt}每时每刻的平均水平。2.方差函数当t取遍所有时刻时，我们就得到一个均值函数序列DXt，它反映序列值围绕其均值做随机波动时平均的波动程度。3.自协方差函数时间序列的自协方差函数是随机变量间协方差的推广，自协方差函数具有对称性，即：4.自相关函数且有：自相关函数描述了时间序列的{Xt}自身的相关结构。自相关函数也具有对称性，且有：第二节平稳时间序列一、两种不同的平稳性定义二、平稳序列的自协方差和自相关函数一、两种不同的平稳性定义1、严平稳过程设｛xt｝为一时间序列，m,τ为任意整数，若对于时间t的任意m个值t1m，，则的长滞后标准差近似为：在Eviews软件中观察时间序列的自相关图和偏自相关图命令方式：（1）在命令行输入命令：Identx(x为序列名称)；（2）然后在出现的对话框中输入滞后时期数。（可取默认数）菜单方式：（1）双击序列图标。(2)View—>Correlogram，(3)在出现的对话框中输入滞后数。（可取默认数）例1：stpoor.wf1例2：nrnd.wfq如果一个时间序列为白噪声序列，那么近似地服从N(0,1/n)。于是根据正态分布的性质，对任一的95%的置信区间为：白噪声序列检验原理(非常重要！！！)假设条件原假设：延迟期数小于或等于期的序列值之间相互独立备择假设：延迟期数小于或等于期的序列值之间有相关性检验统计量Q统计量(Box-PierceQstatistic)LB统计量(Ljung–BoxQstatistic)其中，n为样本容量，m为滞后长度。判别原则拒绝原假设当检验统计量大于分位点，或该统计量的P值小于时，则可以以的置信水平拒绝原假设，认为该序列不是白噪声序列接受原假设当检验统计量小于分位点，或该统计量的P值大于时，则认为在的置信水平下无法拒绝原假设，即不能显著拒绝序列为白噪声序列的假定一般取0.05或者0.10其中：说明：1.m的选取要合适，既不能过大，也不能过小。2.若检验ARMA(p,q)模型的残差是否为白噪声，则Q统计量的自由度为m-p-q例：Eviews操作演示在Eviews显示的自相关图中，同时给出了Q统计量值和它的相伴概率（P值），若,则接受原假设，即可认为序列为白噪声序列；否则拒绝原假设。例1：美国标准普尔指数stpoorSample:1980M011996M02自相关图和偏自相关图白噪声检验结果由于P值显著大于显著性水平（0.05或0.10），所以该序列不能拒绝纯随机的原假设。例2:模拟生成序列wn自相关图和偏自相关图检验结果由于P值显著大于显著性水平，所以该序列不能拒绝纯随机（白噪声）的原假设。第四节线性差分方程引：线性差分方程在我们讨论的时间序列分析中占有重要作用，事实上，我们后面将要建立的时间序列模型就是线性差分方程，这些模型往往取决于差分方程根的性质。一、线性差分方程1.n阶非齐次线性差分方程2.n阶齐次线性差分方程（1），（2）式中，ai(t)、f(t)为t的已知函数，且an(t)、f(t)不同时为零，若ai(t)为常数，则上述两式即为常系数差分方程。二、关于线性差分方程基本定理定理1.若y1(t)，y2(t)，…ym(t)是n阶齐次线性差分方程（2）的m个特解，则如下的线性组合也是该差分方程的特解：y(t)=c1y1(t)+c2y2(t)+…+cmym(t)式中c1、c2…cm为任意常数。定理2.n阶线性齐次差分方程一定存在n个线性无关的特解，若y1(t)，y2(t)，…yn(t)为式（2）的n个线性无关的特解，则（2）式的通解为：yc(t)=c1y1(t)+c2y2(t)+…+cnyn(t)式中c1、c2…cn为n个任意常数。定理3.N阶非齐次线性差分方程（1）的通解等于它的一个特解与它对应的齐次方程（2）的通解之和。三、n阶常系数线性差分方程的解（一）n阶常系数线性差分方程的一般形式其中：a1,a2,…an为常数，且an不为零，f(t)为t的已知函数。（4）式为（3）式所对应的齐次方程。（二）齐次线性差分方程的通解设齐次方程（4）有特解：则：称为方程（4）的特征方程，此特征方程的解称为特征根。（1）若特征方程有一实特征根，其重数为m（m<=n）则：为齐次方程的m个线性无关解。（2）若特征方程有一对共轭复根（3）将所得的n个线性无关特解组合，即得齐次方程的通解：其中：c1,c2,…cn为n个任意常数。(二)非齐次方程的特解和通解非齐次方程的特解可以通过待定系数法求出。非齐次方程的通解等于它的一个特解加上它对应的齐次方程的通解。第五节差分运算及滞后算子一、差分运算二、滞后算子时间序列{xt}在t时刻的一阶差分定义为：{xt}在t时刻的二阶差分定义为：一般地，p阶差分定义分：一、差分运算二、季节差分设xt为含有周期为S的周期性波动序列，那么一阶季节差分（S步差分）被定义为：二阶季节差分被定义为：在Eviews软件中，通过函数D(x,n,s)来实现对时间序列的差分运算，其中：x:为时间序列的名称，n:为差分的阶数，s:为季节长度。如D(x)为一阶差分，D(x,2)为二阶差分，D(x,0,4)对周期长度为4的序列求一阶季节差分等等。在Eviews软件中，通过函数Dlog(x,n,s)来实现对时间序列的对数差分运算。差分运算举例，见Eviews操作。例1:stpoor.wf1例2：美国GNP数据usagnp.wf1时间序列的延迟运算例：时间序列的差分运算例：时间序列的季节差分三、时间序列滞后算子(lagsoperator)对于一般的时间序列模型，有必要使用分析差分方程的高级工具：滞后算子假定由序列生成新序列，其中t期的y值等于t-1期的x值：这被称作对运用滞后算子，该运算用符号B表示：类似的有：一般地，对任何整数k，有：滞后算子的性质：(1)滞后算子的零次方等于1(2)常数与滞后算子相乘等于常数(3)分配率。(4)结合率：(5)滞后算子的负整数次方意味着超前二、用延迟算子表示差分运算1.p阶差分2.k步差分TheEndofCH3!
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