PAGEPAGE1/NUMPAGES2证明直线和圆相切的常见方法 证明直线和圆相切，一般有两种情况： 一、已知直线与圆的公共点时只需连接该公共点和圆心，证明该半径垂直于已知直线 例1 如图1，B、C是⊙O上的点，线段AB经过圆心O，连接AC、BC，过点C作CD⊥AB于D，∠ACD=2∠B．AC是⊙O的切线吗？为什么？ 解：AC是⊙O的切线． 理由：连接OC， 因为OC=OB， 所以∠OCB=∠B． 因为∠COD是△BOC的外角， 所以∠COD=∠OCB+∠B=2∠B． 因为∠ACD=2∠B， 所以∠ACD=∠COD． 因为CD⊥AB于D， 所以∠DCO+∠COD=90°． 所以∠DCO+∠ACD=90°． 即OC⊥AC． 因为C为⊙O上的点， 所以AC是⊙O的切线． 例2如图2，已知⊙Ｏ是△ABC的外接圆，AB是⊙Ｏ的直径，D是AB的延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．求证：DE是⊙O的切线． 证明：连接OC，则OA=OC， 所以∠CAO=∠ACO， 因为AC平分∠EAB， 所以∠EAC=∠CAO=∠ACＯ， 所以AE∥CO， 又AE⊥DE， 所以CO⊥DE， 所以DE是⊙O的切线． 二、直线与圆的公共点未知时须通过圆心作已知直线的垂直线段，证明此垂线段的长等于半径 例3 如图3，AO是△ABC的中线，⊙O与AB边相切于点D． （1）要使⊙O与AC边也相切，应增加条件_______________________．（任写一个） （2）增加条件后，请你证明⊙O与AC边相切． 解:（1）答案不唯一，可以是∠B=∠C，AB=AC，∠BAO=∠CAO，AO⊥BC等． （2）增加条件∠B=∠C后，⊙O与AC边相切． 证明:连接OD，作OE⊥AC，垂足为E． 因为⊙O与AB相切于点D， 所以∠BDO=∠CEO=90°． 因为AO是△ABC的中线，所以OB=OC． 又因为∠B=∠C， 所以△BDO≌△CEO，所以OE=OD． 因为OD是⊙O的半径， 所以OE是⊙O的半径． 所以⊙O与AC边相切．
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