PAGE南昌二中2020学年度上学期期中考试高一数学试卷选择题（每小题5分，共60分．）1.若集合M＝{x|}，N＝{y|y＝x2，}，则( )A．M∩N＝ B．M⊆NC．N⊆MD．M＝N2.已知集合A＝{}，B＝{|}，则( )A．A∩B＝{x|x<0} B．A∪B＝RC．A∪B＝{x|x>1}D．A∩B＝3.若全集U＝R，集合A＝{|}，集合B＝{|}，则A∩(∁UB)＝( )A．B．(0，1)C．(0，1]D．(1，＋∞)4.已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1，x＜1,x2＋ax，x≥1，))若f(f(0))＝4a，则实数a等于( )A.eq\f(1,2)B.eq\f(4,5)C．9D．25.已知函数的定义域，则函数的定义域是（ ）A.B.C.D6.已知函数(其中欧拉常数)，则( )A．是奇函数，且在R上是减函数B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是增函数D．是偶函数，且在R上是减函数7.方程的解的个数是 A.3个B.2个C.1`个D.0个8.方程根所在的区间是（ ）9.函数y＝eq\f(x－5,x－a－2)在(－1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是( )A．a＝－3B．a＜3C．a≤－3D．a≥－310.函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是（）A．B．C．D．11.已知定义在R上的偶函数，且x≥0时，方程恰好有4个实数根，则实数的取值范围是( )A．B．C．D．12.已知是定义在R上的奇函数，对任意两个不相等的正数都有，记：，则（）二、填空题（每小题5分，共20分．）13.函数的图象恒过的定点是.14.幂函数在上为单调递增的，则___________．15.若函数是定义在上的偶函数，且在区间上是单调减函数.如果实数满足时，那么的取值范围是.函数的值域是.三、解答题（共70分）17.(本小题共10分)已知A={x|0
0且） 在上为增函数，求实数a的取值范围.21..(本小题共12分)如果函数在其定义域D内,存在实数使得成立，则称函数为“可拆分函数”.（1）判断函数是否为“可拆分函数”？(需说明理由)（2）设函数为“可拆分函数”，求实数的取值范围。22.(本小题共12分)已知函数f（x）=x|2a-x|+2x，a∈R．（1）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若存在实数a∈[-2，2]，使得关于x的方程有三个不相等的实数根，求实数t范围．南昌二中2020学年度上学期期中考试高一数学试卷参考
答案
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1.若集合M＝{x|}，N＝{y|y＝x2，}，则( )A．M∩N＝ B．M⊆NC．N⊆MD．M＝N【答案】C【解析】M＝{x|}＝[－1，1]，N＝{y|y＝x2，}＝[0，1]，所以N⊆M，故选C.2.已知集合A＝{}，B＝{|}，则( )A．A∩B＝{x|x<0} B．A∪B＝RC．A∪B＝{x|x>1}D．A∩B＝【答案】 A【解析】 由3x<1，知x<0，∴B＝{x|x<0}．∴A∩B＝{x|x<0}．故选A.3.已知全集U＝R，集合A＝{|}，集合B＝{|}，那么A∩(∁UB)＝( )A．B．(0，1)C．(0，1]D．(1，＋∞)【答案】B【解析】由题知，A＝{x|}＝{x|x>0}＝(0，＋∞)，B＝{y|y＝eq\r(x)＋1}＝{y|y≥1}＝[1，＋∞)，所以A∩(∁UB)＝(0，＋∞)∩(－∞，1)＝(0，1)．4.已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1，x＜1,x2＋ax，x≥1，))若f(f(0))＝4a，则实数a等于( )A.eq\f(1,2)B.eq\f(4,5)C．9D．2【答案】D【解析】f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1，x＜1,x2＋ax，x≥1。))∵0＜1，∴f(0)＝20＋1＝2。∵f(0)＝2≥1，∴f(f(0))＝22＋2a＝4a，∴a＝2。5.已知函数的定义域，则函数的定义域是（ ）A.B.C.D6.已知函数(其中欧拉常数)，则( )A．是奇函数，且在R上是减函数B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是增函数D．是偶函数，且在R上是减函数【答案】A【解析】略。7.方程的解的个数是 A.3个B.2个C.1`个D.0个【答案】B【解析】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，指数函数的图象和性质，其中准确画出图象，是解答本题的关键．判断图象交点的个数，然后结合方程的根与函数图象交点个数相同，即可得到答案．如图所示：易判断其交点个数为2个．则方程的解的个数也为2个故选B．8.方程根所在的区间是（ ）9.函数y＝eq\f(x－5,x－a－2)在(－1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是( )A．a＝－3B．a＜3C．a≤－3D．a≥－3【答案】C【解析】y＝eq\f(x－5,x－a－2)＝，由函数在(－1，＋∞)上单调递增，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－3＜0,a＋2≤－1，))解得a≤－3，故选C。10.函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知，使成立的满足，所以由得，即使成立的满足，选D.11.已知定义在R上的偶函数，且x≥0时，方程＝m恰好有4个实数根，则实数m的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由f(x)的图像关于y轴对称，结合x≥0时的解析式可知，f(x)在[0，1]上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，在x＝1时取得最大值2.又当x>1时，f(x)>，再结合对称性可以画出函数y＝f(x)与y＝m的图像如图所示．由图可知，当函数y＝f(x)与y＝m恰好有4个公共点时，.12.已知是定义在R上的奇函数，对任意两个不相等的正数都有，记，，则（）13.函数的图象恒过的定点是14.幂函数在上为单调递增的，则______．15.若函数是定义在上的偶函数，且在区间上是单调减函数.如果实数满足时，那么的取值范围是.【答案】【解析】所解不等式等价于：为偶函数为偶函数，且上单减∴函数的值域是；【答案】【解析】由令，得。18.化简与求值（1）（2）19.求下列函数的值域(1)；(2)；(3).【答案】（1）(－4，eq\f(4,3)]（2）(3).【解析】（1）f(x)＝2x＋2－3×4x＝－3×22x＋4×2x＝－3(2x－eq\f(2,3))2＋eq\f(4,3)，因为x∈(－∞，1)，所以2x∈(0，2)，所以当2x＝eq\f(2,3)，即x＝log2eq\f(2,3)时f(x)取得最大值eq\f(4,3)；当2x∈(0，eq\f(2,3))，即x∈(－∞，log2eq\f(2,3))时，f(x)>0；当2x∈(eq\f(2,3)，2)，即x∈(log2eq\f(2,3)，1)时，f(x)>f(1)＝－4，所以函数f(x)的值域为(－4，eq\f(4,3)]．（3）易知函数f(x)＝e|x|＋|x|为偶函数，当时，，易知函数f(x)在上单调递增，结合奇函数的性质得f(x)在上单调递减，，且当。所以，函数f(x)的值域。20.已知函数为偶函数，且.（1）求m的值，并确定的解析式；（2）若（a>0且） 在上为增函数，求实数a的取值范围.【答案】（1）m=1时，f（x）=x2（2）【解析】（1）∵函数为偶函数，且f（3）＜f（5）， ∴-m+3＞0，又m∈N，可得m=0,1或2； 当m=0时，f（x）=x3为奇函数，不满足题意； 当m=1时，f（x）=x2，满足题意； 当m=2时，f（x）=x为奇函数，不满足题意.∴m=1时，f（x）=x2； （2）∵y=loga[f（x）-ax] =loga（x2-ax），其中a＞0，且a≠1； ∴当0＜a＜1时，，函数在是减函数， 对应函数y在（-∞，0）上是增函数，不满足题意； 当a＞1时，，函数在上是增函数， 又x2-ax＞0，得x＞a，函数y在（a，+∞）上是增函数， ，解得； ∴函数y在区间[2，3]上为增函数时，实数a的取值范围是．21.如果函数在其定义域D内,存在实数使得成立，则称函数为“可拆分函数”.（1）判断函数是否为“可拆分函数”？(需说明理由)（2）设函数为“可拆分函数”，求实数的取值范围。【答案】（1）（2）解：（1）是“可拆分函数”，不是“可拆分函数”。理由如下：假设是“可分拆函数”，则存在x0，使得， 即，而此方程的判别式△=1-4=-3＜0，方程无实数解，所以，不是“可分拆函数”． 假设是“可分拆函数”，则存在x0，使得（明显不成立），不是“可分拆函数”。（2）因为函数为“可分拆函数”，所以存在实数x0，使得=+，=×且a＞0，所以，=，令，则t＞0，所以，a=，由t＞0得，即a的取值范围是．22.已知函数f（x）=x|2a-x|+2x，a∈R．（1）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若存在实数a∈[-2，2]，使得关于x的方程有三个不相等的实数根，求实数t范围．【答案】（1））（2）（1）f（x）=，当x≥2a时，f（x）的对称轴为：x=a-1；当x＜2a时，y=f（x）的对称轴为：x=a+1；∴当a-1≤2a≤a+1时，f（x）在R上是增函数，即-1≤a≤1时，函数f（x）在R上是增函数； 方程的解即为方程的解．①当-1≤a≤1时，函数f（x）在R上是增函数，∴关于x的方程不可能有三个不相等的实数根； ②当a＞1时，即2a＞a+1＞a-1，∴f（x）在（-∞，a+1）上单调增，在（a+1，2a）上单调减，在（2a，+∞）上单调增，∴当f（2a）＜tf（2a）＜f（a+1）时，关于x的方程有三个不相等的实数根；即4a＜t•4a＜（a+1）2，∵a＞1，∴．设，∵存在a∈[-2，2]，使得关于x的方程有三个不相等的实数根，∴1＜t＜h（a）max，又可证在（1，2]上单调增∴h（a）max=，∴③当a＜-1时，即2a＜a-1＜a+1，∴f（x）在（-∞，2a）上单调增，在（2a，a-1）上单调减，在（a-1，+∞）上单调增，∴当f（a-1）＜tf（2a）＜f（2a）时，关于x的方程f（x）=tf（2a）有三个不相等的实数根；即＜t•4a＜4a，∵a＜，∴，设，∵存在a∈[-2，2]，使得关于x的方程有三个不相等的实数根，∴1＜t＜g（a）max，又可证在[-2，-1）上单调减，∴g（a）max=，∴； 综上①②③：．
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