旋转曲面的参数方程(利用正交变换作旋转)

PAGE/NUMPAGES旋转曲面的参数方程---------利用正交变换作旋转众所周知，SKIPIF1<0坐标面上的曲线SKIPIF1<0绕SKIPIF1<0轴旋转而成的旋转曲面的方程为SKIPIF1<0（1）（见同济大学《高等 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 》（5版 上册 三年级上册必备古诗语文八年级上册教案下载人教社三年级上册数学 pdf四年级上册口算下载三年级数学教材上册pdf ），313页）。如果以上曲线的方程能写成显函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），则该旋转曲面的方程为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（2）这个方程的几何意义是：对曲线上的每一点SKIPIF1<0，这个方程给出圆心在SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0的一个垂直于SKIPIF1<0轴的圆。当SKIPIF1<0取遍SKIPIF1<0中的每一个值时，这些圆就构成一个旋转曲面。如果曲线的方程是显函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），我们也可以用参数方程来表示这个旋转面：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）（3）这个方程的几何意义是：对每一个SKIPIF1<0，参数方程给出一个半径为SKIPIF1<0的垂直于SKIPIF1<0轴的圆。当SKIPIF1<0取遍SKIPIF1<0中的每一个值时，这些圆就构成一个旋转曲面。如果曲线的方程能写成参数方程SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），则旋转曲面的参数方程为：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）（4）这个方程的几何意义是：对每一个SKIPIF1<0，参数方程给出一个半径为SKIPIF1<0的垂直于SKIPIF1<0轴的圆。当SKIPIF1<0取遍SKIPIF1<0中的每一个值时，这些圆就构成一个旋转曲面。推而广之，如果该曲线是空间曲线，其参数方程为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），则此曲线绕SKIPIF1<0轴旋转而成的旋转曲面的参数方程为：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）（5）这个方程的几何意义是：对每一个SKIPIF1<0，参数方程给出一个半径为SKIPIF1<0的垂直于SKIPIF1<0轴的圆。当SKIPIF1<0取遍SKIPIF1<0中的每一个值时，这些圆就构成一个旋转曲面。（见同济大学《高等数学》（5版上册），322页））。例1SKIPIF1<0坐标面上的圆SKIPIF1<0 （SKIPIF1<0）绕SKIPIF1<0轴旋转而成的旋转曲面为一圆环面。为了得到圆环面的参数方程，先将圆用参数方程表示为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），再用方程（4）得到圆环面的参数方程：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）如图1（取SKIPIF1<0）。图1圆环面绘制图1的Mathematica程序：a=1;b=3;xx[t_]:=0;yy[t_]:=b+aCos[t];zz[t_]:=aSin[t];r[t_]:=Abs[yy[t]];x[t_,theta_]:=r[t]Cos[theta];y[t_,theta_]:=r[t]Sin[theta];z[t_,theta_]:=zz[t];Quxian=ParametricPlot3D[{xx[t],yy[t],zz[t]},{t,0,2Pi},PlotStyle{Red,Thickness[0.02]}];Qumian=ParametricPlot3D[{x[t,theta],y[t,theta],z[t,theta]},{t,0,2Pi},{theta,0,2Pi},PlotPoints40];X=ParametricPlot3D[{x,0,0},{x,-5,5},PlotStyleAbsoluteThickness[3]];Y=ParametricPlot3D[{0,y,0},{y,-5,5},PlotStyleAbsoluteThickness[3]];Z=ParametricPlot3D[{0,0,z},{z,-2,2},PlotStyleAbsoluteThickness[3]];XYZ=Show[X,Y,Z];Show[Qumian,Quxian,XYZ,PlotRange{{-5,5},{-5,5},{-3,3}},BoxedFalse,AxesFalse,ViewPoint{5,4,3}]例2空间直线SKIPIF1<0 （SKIPIF1<0）绕SKIPIF1<0轴旋转而成的旋转曲面为一单叶双曲面。用方程（5）得到单叶双曲面的参数方程：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）（见同济大学《高等数学》（5版上册），322页））。如图2图2单叶双曲面绘制图2的Mathematica程序：xx[t_]:=1;yy[t_]:=t;zz[t_]:=2t;r[t_]:=Sqrt[xx[t]^2+yy[t]^2];x[t_,theta_]:=r[t]Cos[theta];y[t_,theta_]:=r[t]Sin[theta];z[t_,theta_]:=zz[t];Quxian=ParametricPlot3D[{xx[t],yy[t],zz[t]},{t,-1.2,1.2},PlotStyle{Red,Thickness[0.02]}];Qumian=ParametricPlot3D[{x[t,theta],y[t,theta],z[t,theta]},{t,-1,1},{theta,0,2Pi},PlotPoints40];X=ParametricPlot3D[{x,0,0},{x,-2,2},PlotStyleAbsoluteThickness[3]];Y=ParametricPlot3D[{0,y,0},{y,-2,2},PlotStyleAbsoluteThickness[3]];Z=ParametricPlot3D[{0,0,z},{z,-2,2},PlotStyleAbsoluteThickness[3]];XYZ=Show[X,Y,Z];Show[Qumian,Quxian,XYZ,PlotRange{{-2,2},{-2,2},{-3,3}},BoxedFalse,AxesFalse,ViewPoint{5,4,3}]从图2看出，用参数方程（5）绘制的曲面上的母线并不是原来那条直线（图中红色的直线）绕SKIPIF1<0轴旋转时留下的直线族。为了绘出以圆曲线在旋转时的曲线族为母线的曲面，我们必须利用旋转曲面的另一种参数方程。这要用到直角坐标系中的旋转变换。平面直角坐标系SKIPIF1<0中一个点SKIPIF1<0绕原点逆时针旋转角度SKIPIF1<0后的点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（6）如图3。（见同济大学《线性代数》（5版），32页）图3平面直角坐标面上点的旋转同理，空间直角坐标系SKIPIF1<0中一个点SKIPIF1<0绕SKIPIF1<0轴旋转角度SKIPIF1<0（从SKIPIF1<0轴正向看去为逆时针方向）后的点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（7）因此利用正交变换（7），空间曲线SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）绕SKIPIF1<0轴旋转而成的旋转曲面的参数方程又可以写成：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）（8）例1中的圆环面的参数方程可以改写成：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）例2中的单叶双曲面的参数方程可以改写成：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）我们用这个参数方程来作图（图4）：图4单叶双曲面图4清楚地显示了那条红色的直线在绕SKIPIF1<0轴旋转时留下的直线族。绘制图4的Mathematica程序：r[t_]:={1,t,2t};A[theta_]:={{Cos[theta],-Sin[theta],0},{Sin[theta],Cos[theta],0},{0,0,1}};Quxian=ParametricPlot3D[r[t],{t,-1.2,1.2},PlotStyle{Red,AbsoluteThickness[3]}];Qumian=ParametricPlot3D[A[theta].r[t],{t,-1,1},{theta,0,2Pi},Mesh{10,20},PlotPoints40,AspectRatioAutomatic];X=ParametricPlot3D[{x,0,0},{x,-2,2},PlotStyleAbsoluteThickness[3]];Y=ParametricPlot3D[{0,y,0},{y,-2,2},PlotStyleAbsoluteThickness[3]];Z=ParametricPlot3D[{0,0,z},{z,-3,3},PlotStyleAbsoluteThickness[3]];XYZ=Show[X,Y,Z];Show[Qumian,Quxian,XYZ,PlotRange{{-2,2},{-2,2},{-3,3}},BoxedFalse,AxesFalse,ViewPoint{6,3,3}]同理，我们可以很方便地得到空间曲线绕SKIPIF1<0轴或SKIPIF1<0轴旋转而成的旋转曲面的参数方程。结论：设有空间曲线SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），则利用绕坐标轴旋转的变换，该曲线分别绕三个坐标轴旋转而成的旋转曲面的参数方程分别是：（1）绕SKIPIF1<0轴旋转：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）（8）（2）绕SKIPIF1<0轴旋转：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）（9）（3）绕SKIPIF1<0轴旋转：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）（10）例3求空间曲线SKIPIF1<0绕SKIPIF1<0轴旋转而成的旋转曲面的参数方程，并作图。解根据方程（9），旋转曲面的参数方程是：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）如图5。图5绕SKIPIF1<0轴旋转的曲面绘制图5的Mathematica程序：r[t_]:={t,t^2,t^3/3};A[theta_]:={{Cos[theta],0,-Sin[theta]},{0,1,0},{Sin[theta],0,Cos[theta]}};Quxian=ParametricPlot3D[r[t],{t,-1.1,1.1},PlotStyle{Red,AbsoluteThickness[3]}];Qumian=ParametricPlot3D[A[theta].r[t],{t,-1,1},{theta,0,2Pi},Mesh{10,20},PlotPoints40,AspectRatioAutomatic];X=ParametricPlot3D[{x,0,0},{x,-1,1},PlotStyleAbsoluteThickness[3]];Y=ParametricPlot3D[{0,y,0},{y,-0.5,1.5},PlotStyleAbsoluteThickness[3]];Z=ParametricPlot3D[{0,0,z},{z,-2,2},PlotStyleAbsoluteThickness[3]];XYZ=Show[X,Y,Z];Show[Qumian,Quxian,XYZ,PlotRange{{-2,2},{-0.5,1.5},{-1,1}},BoxedFalse,AxesFalse,ViewPoint{6,3,3}]例4求空间曲线SKIPIF1<0绕SKIPIF1<0轴旋转而成的旋转曲面的参数方程，并作图。解根据方程（10），旋转曲面的参数方程是：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）如图6：图6绕SKIPIF1<0轴旋转的曲面绘制图6的Mathematica程序：r[t_]:={t,t^2,(1+t^3)/3};A[theta_]:={{1,0,0},{0,Cos[theta],-Sin[theta]},{0,Sin[theta],Cos[theta]}};Quxian=ParametricPlot3D[r[t],{t,-1.2,1.2},PlotStyle{Red,AbsoluteThickness[3]}];Qumian=ParametricPlot3D[A[theta].r[t],{t,-1,1},{theta,0,2Pi},Mesh{10,20},PlotPoints40,AspectRatioAutomatic];X=ParametricPlot3D[{x,0,0},{x,-2,2},PlotStyleAbsoluteThickness[3]];Y=ParametricPlot3D[{0,y,0},{y,-1,1},PlotStyleAbsoluteThickness[3]];Z=ParametricPlot3D[{0,0,z},{z,-2,2},PlotStyleAbsoluteThickness[3]];XYZ=Show[X,Y,Z];Show[Qumian,Quxian,XYZ,PlotRange{{-1,1.4},{-1.5,1.5},{-1.2,1.2}},BoxedFalse,AxesFalse,ViewPoint{1,2,2}]徐小湛四川大学xuxzmail@163.com2010-09-06友情提示： 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 范本是经验性极强的领域，本范文无法思考和涵盖全面，供参考!最好找专业人士起草或审核后使用。