万变不离其宗高中数学课本典型试题改编系列之必修4（解析版）

1/14万变不离其宗———2016版高中数学课本典型试 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 改编系列之必修41.原题（必修4第十页A组第五题）改编1下列说法中正确的是()A．第一象限角一定不是负角B．－831°是第四象限角[来源:学.科.网Z.X.X.K]C．钝角一定是第二象限角D．终边与始边均相同的角一定相等【答案】C.【解析】－330°＝－360°＋30°，所以－330°是第一象限角，所以A错误；－831°＝(－3)×360°＋249°，所以－831°是第三象限角，所以B错误；0°角，360°角终边与始边均相同，但它们不相等，所以D错误．改编2已知θ为第二象限角，那么3是（）A.第一或第二象限角B.第一或四象限角C.第二或四象限角D.第一、二或第四象限角【答案】D.【答案】C.【解析】22,(),,(),2422kkkZkkkZ当2,()knnZ时，2在第一象限；当21,()knnZ时，2在第三象限；而coscoscos0222，2在第三象限；答案：C.2.原题（必修4第十页B组第二题）改编时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为()A.143πB．－143πC.718πD．－718π2/14【答案】B.【解析】显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了两周又一周的13，用弧度制 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示就是－4π－13×2π＝－143π.故选B.3.原题（必修4第十九页例6）改编（1）已知sin13，且为第二象限角，求tan；（2）已知sin=m(0,1)mm，求tan.【解析】（1）1sin3，且为第二象限角，2cos1sin=223.sin2tancos4（2）sin(0,1)mmm，为象限角.当为第一或第四象限角时，2cos1sin=21m，2tan1mm；当为第二或第三象限角时，2cos1m，2tan1mm，综上，tan的值为21mm或21mm.4.原题（必修4第十九页例7）改编若sincos1,sincos1,abab则的值是（）A.0B.1C.-1D.2[来源:学*科*网Z*X*X*K]【答案】B.5.原题（必修4第二十二页习题1.2B组第二题）改编化简1sin21sin21sin21sin2xxxx为（）A.2tanxC.2tanxB.2tanxD.不能确定【答案】C.3/14【解析】:C.原式=2tan2,4432tan2,44xxkkxxkk6.原题（必修4第二十二页B组第三题）改编已知tan2，计算：（1）2sincossin2cos；（2）22sinsincos2cos【解析】：（1）原式2tan13tan24；（2）原式2222sinsincos2cossincos22tantan24tan157.原题（必修4第二十三页探究）改编1化简12sin(2)cos(2)得()A.sin2cos2B.cos2sin2C.sin2cos2D.±cos2sin2【答案】C.【答案】B.【解析】(2001)sin(2001)cos(2001)4sin()cos()fababsincos45ab,sincos1ab,(2010)sin(2010)cos(2010)4sincos4143fabab8.原题（必修4第二十七页例4）改编已知角x终边上的一点P（-4，3），则cossin29cossin22xxxx的值为.4/14【解析】cossinsinsin2tan9sincoscossin22xxxxxxxxx，根据三角 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 的定义，可知33tan,=-tan44yxxx所以原式9.原题（必修4第四十一页练习题6）改编函数12logcos34xy的单调递增区间为.【解析】1122logcoslogcos3434xxy，∴所求的递增区间就是使cos34xy的值为正值的递减区间，由22,342xkkkz得：3366,.44kxkkz∴所求的递增区间为336,644kkkz答案：336,644kkkz10.原题（必修4第五十三页例1）改编设ω>0，函数y＝sinωx＋π3的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是()A.23B.43C.32D．3【答案】C.11.原题（必修4第五十六页练习题3）改编sin24yx的振幅为______，频率和初相分别为______，______.【解析】21412.原题（必修4第五十八页例4）改编某正弦交流电的电压v（单位V）随时间t（单位：s）变化的函数关系是1202sin(100),[0,)6vtt.（1）求该正弦交流电电压v的周期、频率、振幅；5/14（2）当1600t，160时，求瞬时电压v；（3）将此电压v加在激发电压、熄灭电压均为84V的霓虹灯的两端，求在半个周期内霓虹灯管点亮的时间？（说明：加在霓虹灯管两端电压大于84V时灯管才发光.取21.4）【解析】（1）周期2110050T，频率150fT，振幅1202A.（2）1600t时，11202sin(100)1202sin006006v（V）；160t时，131202sin(100)1202sin12026062v（V）.（3）由1202sin(100)846t及21.4，得1sin(100)62t.结合正弦图象，取半个周期，有5100666t，解得11300100t.所以，半个周期内霓虹灯管点亮的时间为112100300300（s）.13.原题（必修4第六十页例2）改编在函数xysin、xysin、)322sin(xy、2tan(2)3yx中，最小正周期为的函数的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个14.原题（必修4第六十九页复习参考题A组第八题）改编已知1tantan，是关于x的方程2230xkxk的两个实根，且273，求2sincossin的值．6/14【解析】21tan31,2tankk，而273，则1tan2,tank得tan1，则222222sincossintantansincossin1cossin1tan.15.原题（必修4第七十一页复习参考题B组第六题）改编已知222121,yxyuxx则的值域为.【解析】221,xy22221costan12tancos2sinsin2sin1secsin12,1sin1xsecyusec可设其中sinu随的增大而增大.sin12,sin12uu又当时，当时，∴所求值域为（-1，2）.16.原题（必修4第九十二页习题2.2B组第四题）改编设向量,ab满足:||3a,||4b,0ab.以,,abab为边长构成三角形,则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为个.17.原题（必修4第一百零二页习题2.3B组第四题）改编1设Ox、Oy是平面内相交成060角的两条数轴，1e、2e分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量12OPxeye，则把有序数对(,)xy叫做向量OP在坐标系xOy下的坐标。假设1232OPee，（1）计算||OP的大小；（2）由平面向量基本定理，本题中向量坐标的规定是否合理？【解析】（1）||19OP；（2）对于任意向量12OPxeye，x，y都是唯一确定的，分解唯一，所以向量的坐标表示的规定合理.改编2给定两个长度为1的平面向量OA和OB,它们的夹角为90.点C在以O为圆心的圆弧AB上变动,7/14若OCxOAyOB,其中,xyR,则xy的范围是________.【解析】由222222OCxOAyOBOCxOAyOBxyOAOB,又1,0OCOAOBOAOB,∴2212xyxy,得12xy,而点C在以O为圆心的圆弧AB上变动,得,[0,1]xy,于是102xy.改编3如图，在平面直角坐标系xoy中，向量(11)OP，,将数轴Oy绕着O点顺时针旋转030到Oy,设12,ee分别是与Ox轴、Oy轴正方向同向的单位向量，若向量12OPee,求cosPOP的值.【解析】由已知，1.(,OPijijxyie是轴，轴正方向上的单位向量，且=）12()()OPOPijee1122iejeieje131+0++223+3=2∵2122,()3OPOPee∴33622coscos,423OPOPPOPOPOPOPOP18.原题（必修4第一百零五页例4）改编已知cos,sin,cos,sin,3axxbkabakb（k＞0）（1）求证：abab；（2）将ab与数量积表示为关于k的函数f（k）；（3）求f（k）的最小值及相应a，b夹角θ.【解析】（1）2222cos,sin,cos,sin0abababababababOyyPPx8/14（2）2233kabakbkabakb2111044kabfkkkkk故（3）111420k12fkkkkkk当时，取等号，此时，1cos2abab，又∵60o.19.原题（必修4第一百零六页练习2）改编1已知△ABC中，向量(,2),(3,2)ABxxACx，且∠BAC是锐角，则x的取值范围是.20.原题（必修4第一百零八页习题2.4B组第四题）改编1如图，在圆C中，点,AB在圆上，ABAC的值（）（图1）(A)只与圆C的半径有关；(B)只与弦AB的长度有关9/14（C）既与圆C的半径有关，又与弦AB的长度有关（D）是与圆C的半径和弦AB的长度均无关的定值【解析】答案为B.改编2如图2，在半径为r的定圆C中，A为圆上的一个定点，B为圆上的一个动点，那么ACAB的值可由下列哪些量唯一确定。请写出所有满足题意的选项的序号_________________.①.r②.弦AB的长③.BAC④.BCA（图2）改编3如图2，在半径为r的定圆C中，A为圆上的一个定点，B为圆上的一个动点，ACAB的取值范围为_________________.【解析】当B点和A点重合时0AB，0ACAB；当AB为圆的直径时22rACAB，答案：22,0r改编4如图4，在半径为r的定圆C中，A为圆上的一个定点，B为圆上的一个动点，若ADACAB,且点D也圆C上，则ACAB_________________.（图4）【解析】根据向量加法的平行四边形法则，四边形ABCD为平行四边形，ABCrrRDABCrrR10/14而rABBCACCD，ABC为正三角形ACAB22r，答案：22r.改编5如图5，在半径为r的定圆C中，A为圆上的一个定点，B为圆上的一个动点，若CBACCBAC,则ACAB_________________.（图5）改编6如图，在半径为r的定圆C中，A为圆上的一个定点，B为圆上的一个动点。若点D也圆C上，且CDCBCA,,两两所成的角相等，则ACAB_________________.（图6）改编7如图，在半径为r的定圆C中，A为圆上的一个定点，B为圆上的一个动点。若点A、B、C不共线，且BCACtAB对,0t恒成立，则ACAB______________.[来源:Z+xx+k.Com]（图7）[来源:学科网]【解析】根据数乘向量与向量减法的意义，点D在射线AC上，ABCDrABCrrRDABCrrR11/14DBACtAB，由BCDB恒成立，则CBAC2rACAB答案：2r.21.原题（必修4第113页复习参考题B组第三题）改编已知对任意平面向量AB=(x,y),把向量a,b绕其起点沿顺时针方向旋转a角得到向量AP=（xcosa-ysina，xsina+ycosa），叫做把点B绕点A沿顺时针方向旋转a角得到点P。已知平面上的点A（1,2），点B（3,4），把点B绕点A沿逆时针方向旋转45°后得到点P，则向量BP的坐标为________．22.原题（必修4第一百二十页复习参考题B组第五题）改编在△ABC所在的平面内有一点P，满足PA→＋PB→＋PC→＝AB→，则△PBC与△ABC的面积之比是()A.13B.12C.23D.34[来源:学#科#网Z#X#X#K]【解析】由PA→＋PB→＋PC→＝AB→，得PA→＋PB→＋BA→＋PC→＝0，即PC→＝2AP→，所以点P是CA边上的三等分点，如图所示．故S△PBCS△ABC＝PCAC＝23.23.原题（必修4第一百二十页复习参考题B组第六题）改编如图，已知,,||2,||3,OAaOBbab任意点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，点C为线段AB中点，则MNOC____________.【解析】2OMOSOA,2ONOSOB2()MNONOMOBOA又12OCOAOB12/1422()()5MNOCOBOAOBOAOBOA故答案为5.24.原题（必修4第一百二十七页例2）改编已知431cos,,,tan,,,5232求cos.25.原题（必修4第137页A组第十题）已知：tan，tan是方程0382xx的两根，试求)tan(的值.改编已知：tan,tan是方程0382xx的两根，求2)cos()sin(3)(sin2的值.【解析】由题意有8tantan，3tantan，∴2)3(18tantan1tantan)tan(，∴2)cos()sin(3)(sin2)(cos)(sin)](cos)([sin2)cos()sin(3)(sin222225812223231)(tan2)tan(3)(tan32222.26.原题（必修4第一百三十九页例1）改编化简：21sin422cos4的结果是.【解析】2sin213/1427.原题（必修4第147页复习参考题B组第七题）改编如图，正方形ABCD的边长为1，P、Q分别为AB、DA上的点，当∠PCQ=045时，求△APQ的周长.ADQ14/1428.原题（必修4第一百四十七页复习参考题B组第六题）改编若函数2()3sin22cosfxxxm在区间[0,]2上的最小值为3，求常数m的值及此函数当[,]xaa(其中a可取任意实数)时的最大值.