数学分析讲义（安阳师范学院）教案19_2

第十九章 含参量积分 §2 含参量反常积分 授课章节：ch19----§2含参量反常积分（P）． 教学目的：1）理解含参量（反常）积分的概念． 2）会用含参量反常积分的连续性、可微性与可积性定理解决问题． 教学重点：含参量反常积分的连续性、可微性与可积性定理． 教学难点：含参量反常积分可微性与可积性定理． 教学方法：讲练结合． 教学程序：1．引导． 2．定理19.7-19.12． 3．例题及部分习题练习． 4．作业．P189习题：1(1,2) ，2，4（2）． 一、 一致收敛性及其判别法 注：1)如同反常积分与数项级数的关系那样，含参量反常积分与函数项级数在所研究的问题与论证方法上也极为相似。 　　☆ 首先引入含参量反常积分的一致收敛概念及柯西准则。 注：1) 注意一致收敛的整体性. 2）注意大 的公共性. 　　定理19.7（一致收敛的柯西准则）　含参量反常积分(1)在 上一致收敛的充要条件是：对任给正数 ，总存在某一实数 ，使得当 时，对一切 ，都有 　　　　　　　　 　 　　　　　　 　　（3） 　　例1　证明含参量反常积分 　　　　　　　　　 （4） 在 上一致收敛 ，但在 内不一致收敛。 　　证：1）(只需证明 ，使得当 时，对一切 有 即可.) ①对任意 作变量代换 ，可得 （5） ②由于 收敛，故对任给正数 ，总存在正数 ，使当 ，就有 ③因为 所以 ,取 ,则当 时, 由上式,对一切 有 又由（5）可得 所以(4)在 上一致收敛。 　　2）现在证明(4)在 内不一致收敛。（由一致收敛定义，只要证明：存在某一正数 ，使对任何实数 ，总相应地存在某个 及某个 ，使得 ） ①由于非正常积分 收敛(在本节例6中我们将求出这个积分的值），所以 ，即 ，当 时有 ②对任 总存在某个 ，(不妨取 )，使得 所以有： 即 （6） ③现令 ，由(5)及不等式(6)的左端就有 即： 所以(4)在 内不一致收敛． ▌ ☆ 关于含参量反常积分一致收敛性与函数项级数一致收敛之间的联系有下述定理． 定理19．8 含参量反常积分(1)在 上一致收敛的充要条件是：对任一趋于 的递增数列 (其中 )，函数项级数 （7） 在 上一致收敛． 证： [必要性]由(1)在 上一致收敛，故对任给 >0，必存在M>c，使当 时，对一切 EMBED Equation.3 ，总有 （8） 又由 ，所以对正数M，存在正整数N，只要当m>n>N时，就有 ．由(8)对一切 EMBED Equation.3 ，就有 又∵ ∴ 这就证明了级数(7)在 上一致收敛． （不要求，略，但可以看懂） 用反证法．假若(1)在 上不一致收敛，则存在某个正数 ，使得对于任何实数M>c，存在相应的 和 .使得 现取 ，则存在 及 ，使得 一般地，取 ，则有 及 ，使得 （9） 由上述所得到的数列 是递增数列，且 ．现在考察级数 由(9)式知存在正数 ，对任何正整数N，只要n>N，就有某个 ，使得 这与级数(7)在 上一致收敛的假设矛盾．故含参量反常积分(1)在 上一致收敛. ▌ 注：1) 只要反常积分 收敛到 (未必一致收敛) ,就有 . 2)定理中的函数项级数 将与反常积分(1)一致收敛到同一函数 . ☆☆ 下面列出含参量反常积分的一致收敛性判别法．由于它们的证明与函数项级数相应的判别法相仿，故从略． 判别法1：（魏尔斯特拉斯M判别法） 设有函数 ，使得 若 收敛，则 在 上一致收敛． 判别法2：（狄利克雷判别法） 设 对一切实数N>c，含参量正常积分 对参量 在 上一致有界，即存在正数M，对一切N>c及一切 EMBED Equation.3 ，都有 对每一个 EMBED Equation.3 ，函数 关于y是单调递减且当 时，对参量 一致地收敛于0， 则含参量反常积分 在 上一致收敛． 判别法3：（阿贝耳判别法） 设 EMBED Equation.3 在 上一致收敛； 对每一个 ，函数 为 的单调函数，且对参量 ， 在 上一致有界，则含参量反常积分 在 上一致收敛。 例2 证明含参量反常积分 （10） 在 上一致收敛。 证：由于对任何实数 有 及反常积分 收敛（ 上册 三年级上册必备古诗语文八年级上册教案下载人教社三年级上册数学 pdf四年级上册口算下载三年级数学教材上册pdf P166例4），故由魏尔斯特拉斯M判别法，含参量反常积分（10）在 上一致收敛. ▌ 例3 证明含参量反常积分 （11） 在 上一致收敛。 证: ①由于反常积分 收敛（当然，对于参量 ，它在 上一致收敛）. ②函数 对每个 EMBED Equation.3 单调，且对任何 都有 故由阿贝耳判别法即得含参量反常积分（11）在 上一致收敛. ▌ 例4 证明：若 在 上连续，又 在 上收敛，但在 处发散，则 在 上不一致收敛. 证: 用反证法. ①假若积分在 上一致收敛，则对于任给 ，总存在M ，当 时对一切 EMBED Equation.3 恒有 ②由假设 在 上连续，所以 是 的连续函数. 在上面不等式中令 ，得到 而 是任给的，因此 在 处收敛，这与假设矛盾。所以积分 在 上不一致收敛. ▌ 二、 含参量反常积分的性质 定理 （连续性）设 在 上连续，若含参量反常积分 （12） 在 上一致收敛，则 在 上连续. 证: ①由定理 ，对任一递增且趋于 的数列 EMBED Equation.3 ，函数项级数 （13） 在 上一致收敛. ②又 在 上连续，故每个 都在 上连续。 ③由函数项级数连续性定理 (P40Th13.12) ，函数 在 上连续.▌ 结论1：该定理表明，在一致收敛的条件下，极限运算与积分运算可以交换： 即 （14） 定理 （可微性）设 与 在区域 上连续。若 在 上收敛， 在 上一致收敛，则 在 上可微，且 （15） 证: ①∵ 在 上收敛， ∴对任一递增且趋于 的数列 ，令 则有 EMBED Equation.3 (*) ②又 与 在区域 上连续,由定理19.3推得 ③由 在 上一致收敛及定理19.8，可得函数项级数 在 上一致收敛， ③由(*)式 ，根据函数项级数的逐项求导定理(P40Th13.14)即得 或写作 ▌ 结论2： 最后结果表明在定理条件下，求导运算和积分运算可以交换. 定理 （可积性）设 在 上连续，若 在 上一致收敛，则 在 上可积，且 （16） 证:①由定理19.9知道 在 上连续，从而 在 上可积. ②又由定理19.9的证明中可以看到，函数项级数（13）在 上一致收敛，且各项 在 上连续，因此根据函数项级数逐项求积定理(P40Th13.13)，并注意到(P175Th19.6关于积分顺序的可交换性定理),于是有 （17） 上式又可写作 即 ▌ ☆ 当定理19.11中 的取值范围为无限区间 时，则有如下的定理： 定理19.12 设 在 上连续.若 EMBED Equation.3 关于 在任何闭区间 上一致收敛， 关于 在任何区间 上一致收敛； 积分 （18） 中有一个收敛， 则（18）中另一个积分也收敛，且 （19） 证: ①不妨设（18）中第一个积分收敛，由此推得 也收敛. (上册P271性质3,绝对收敛比收敛). ②又当 时 EMBED Equation.3 ③由条件 及定理19.11，可推得 ∴ （20） 其中A 为任实数. ④由假设 收敛∴对于任给的 ，有 ，使当 时，有 (*1) ⑤选定 后，由 的一致收敛性，存在 ，使得当 时有 (*2) 将(*1) 和(*2)式应用到（20）式，得到 即 ，这就证明了（19）式. ▌ 例5 计算 解: 因为 ，所以 EMBED Equation.3 （21） 由于 及反常积分 收敛，根据魏尔斯特拉斯M判别法，含参量反常积分 在 上一致收敛.由于 在 上连续，根据定理19.11交换积分（21）的顺序，积分I的值不变.于是 ▌ 注：1) 事实上,由上册P188例15可知 ,所以 EMBED Equation.3 - EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 例6 计算 解 在上例中，令 ，则有 由阿贝耳判别法可得上述含参量反常积分在 上一致收敛.于是由定理19.9， 在 上连续，且 又由（22）式 □ 例7 计算 解 由于 对任一实数 成立及反常积分 收敛①，所以积分（23）在 上收敛. 考察含参量反常积分 由于 对一切 成立及反常积分 收敛，根据魏尔斯特拉斯M判别法，含参量积分（24）在 上一致收敛. 综合上述结果由定理19.10即得 于是有 从而 ，又由（23）式， ，所以 ，因此得到 □ 最后简略地提一下关于含参量无界函数非正常积分.设在区域R 上有定义.若对 的某些值， 为函数 的瑕点，则称 （25） 为含参量 的无界函数反常积分，或简称为含参量反常积分.若对每一个 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ，积分（25）都收敛，则其积分值是 在 上取值的函数.含参量反常积分（25）在 上一致收敛的定义是： 定义2对任给正数 ，总存在某正数 ，使得当 时，对一切 ，都有 则称含参量反常积分（25）在 上一致收敛. 　　df1:　若含参量反常积分(1)与函数� EMBED Equation.3 ���对任给的正数� EMBED Equation.3 ���，总存在某一实数� EMBED Equation.3 ���使得当� EMBED Equation.3 ���时，对一切� EMBED Equation.3 ���，都有 　　　　　　 　� EMBED Equation.3 ��� 即 � EMBED Equation.3 ��� 则称含参量反常积分(1)在� EMBED Equation.3 ���上一致收敛于� EMBED Equation.3 ���，或简单地说含参量积分(1)在� EMBED Equation.3 ���上一致收敛　 PAGE 1 _1160892649.unknown _1204564271.unknown _1204607001.unknown _1204612331.unknown _1204616501.unknown _1204618660.unknown _1204620780.unknown _1204620792.unknown _1204620804.unknown _1204620810.unknown _1204620787.unknown _1204620737.unknown _1204620775.unknown _1204620673.unknown _1204620570.unknown _1204617397.unknown _1204618474.unknown _1204616755.unknown _1204613033.unknown _1204616495.unknown _1204612840.unknown _1204611894.unknown _1204612063.unknown _1204612124.unknown _1204612011.unknown _1204611923.unknown _1204610422.unknown _1204610607.unknown _1204610994.unknown _1204608934.unknown _1204609294.unknown _1204609399.unknown _1204609128.unknown _1204607176.unknown _1204565073.unknown _1204606548.unknown _1204606861.unknown _1204606862.unknown _1204606650.unknown _1204565288.unknown _1204565712.unknown _1204565104.unknown _1204564708.unknown _1204565066.unknown _1204565069.unknown _1204564793.unknown _1204564488.unknown _1204564591.unknown _1204564477.unknown _1204352629.unknown _1204563776.unknown _1204564252.unknown _1204564264.unknown _1204564267.unknown _1204564256.unknown _1204564260.unknown _1204563838.unknown _1204564013.unknown _1204563805.unknown _1204563072.unknown _1204563617.unknown _1204563114.unknown _1204563253.unknown _1204352691.unknown _1204562962.unknown _1204352646.unknown _1163061185.unknown _1163061390.unknown _1163061471.unknown _1163061630.unknown _1163061741.unknown _1204351783.unknown _1163061550.unknown _1163061415.unknown _1163061426.unknown _1163061407.unknown _1163061299.unknown _1163061363.unknown _1163061207.unknown _1160893474.unknown _1163061014.unknown _1163061133.unknown _1163061155.unknown _1163061113.unknown _1160928275.unknown _1161705920.unknown _1161706427.unknown _1161707529.unknown _1163060955.unknown _1163060982.unknown _1161708019.unknown 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