第八节 抛物线
1.抛物线
的焦点坐标是( )
A.
B.
C.(0,1)
D.(1,0)
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
:C
2.已知曲线C:
点A(0,-2)及点B(3,a),从点A观察点B,要使其不被曲线C挡住,则实数a的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
答案:D
3.如图,过抛物线
的焦点F的直线l交抛物线于点A、B,交其准线于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为( )
A.
B.
C.
D.
答案:B
4.已知抛物线C:
的焦点为F,过点K(-1,0)的直线l与C相交于A
(1)
证明
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:点F在直线BD上;
(2)设
求△BDK的内切圆M的方程.
解:设
的方程为
.
(1)证明:将x=my-1代入
并整理得
从而
. ①
直线BD的方程为
即
.
令y=0,得
.
所以点F(1,0)在直线BD上.
(2)由①知,
.
因为
故
解得
.
所以l的方程为3x+4y+3=0,3x-4y+3=0.
又由①知
故直线BD的斜率
因而直线BD的方程为
.
因为KF为
的平分线,故可设圆心M(t,0)(-1
0)与抛物线C:
相交于A
A.
B.
C.
D.
答案:D
解析:如图,由图可知,BN=BF,AM=AF,又|AF|=2|BF|.
∴
即B是AC中点.
∴
与
联立可得
.
∴
选D.
5.设斜率为2的直线l过抛物线
的焦点F,且和y轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( )
A.
B.
C.
D.
答案:B
解析:抛物线
的焦点F的坐标为
则直线l的方程为
它与y轴的交点为
所以△OAF的面积为
|
|
|
|=4,解得
.所以抛物线方程为
,故选B.
6.过抛物线
的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点,若线段AB的长为8,则p= .
答案:2
解析:由题意可知过焦点的直线方程为
与抛物线方程联立得
由|AB|
.
题组三 直线与抛物线的相交问题
7.已知过抛物线
的焦点F的直线交该抛物线于A
答案:2
解析:因为|AF|=2,所以
.
所以
.所以
.又F(1,0),
所以|BF|=|AF|=2.
8.已知以F为焦点的抛物线
上的两点A
=3
,则弦AB的中点到准线的距离为 .
答案:
解析:设
则
EMBED Equation.DSMT4
∵
=3
,∴
∵
∴
.又
∴
.
∴
.
故AB中点到准线的距离为
3+2)
.
9.已知抛物线C的顶点为原点,焦点在x轴上,直线y=x与抛物线C交于A,B两点,若P(2,2)为AB的中点,则抛物线C的方程为 .
答案:
解析:设抛物线方程为
与y=x联立方程组,消去y,得
.设A、B两点的坐标为
由题意可得
故所求抛物线C的方程为
.
10.过抛物线
的焦点F作倾斜角为30
的直线,与抛物线分别交于A、B两点(A在y轴左侧),则
.
答案:
11.已知m是非零实数,抛物线C:
2px(p>0)的焦点F在直线l:x-my-
上,
(1)若m=2,求抛物线C的方程;
(2)设直线l与抛物线C交于A,B两点,过A,B分别作抛物线C的准线的垂线,垂足为
△
△
的重心分别为G,H,求证:对任意非零实数m,抛物线C的准线与x轴的交点在以线段GH为直径的圆外.
(1)解:因为焦点
在直线l上,得
.
又m=2,故p=4.
所以抛物线C的方程为
.
(2)证明:因为抛物线C的焦点F在直线l上,
所以
.
所以抛物线C的方程为
.
设
由
消去x得
由于
故
且有
.
设
分别为线段
的中点,
由于
可知
所以
.
.
所以GH的中点
.
设R是以线段GH为直径的圆的半径.
则
|GH|
.
设抛物线的准线与x轴交点为
则|MN|
.
故N在以线段GH为直径的圆外.
12.已知抛物线C:
p>0)过点A(1,-2).
(1)求抛物线C的方程,并求其准线方程;
(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l,使得直线l与抛物线C有公共点,且直线OA与l的距离等于
?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
解:(1)将(1,-2)代入
得
所以p=2.
故所求的抛物线C的方程为
其准线方程为x=-1.
(2)假设存在符合题意的直线l,其方程为y=-2x+t.
由
得
.
因为直线l与抛物线C有公共点,
所以
解得
.
另一方面,由直线OA与l的距离
可得
解得
.
因为
所以t=-1舍去.
所以,符合题意的直线l存在,其方程为2x+y-1=0.
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