教材习题详解（Word版）chapter4

PAGE 72 习题4.1解答 1. 设总体 ， 为取自该总体的 样本 保单样本pdf木马病毒样本下载上虞风机样本下载直线导轨样本下载电脑病毒样本下载 ，求：（1）样本均值的数学期望和方差；（2）样本方差的数学期望；（3）样本均值的绝对值大于0.02的概率. 解：(1) = . (2) 由于样本方差是总体方差的无偏估计,故 (3) 由(1)(2)可知, 近似服从N(0,0.01), 因此 2. 设总体 , 假如要以0.9606的概率保证偏差 , 问当 = 0.25时, 样本容量应取多大? 解: 设样本容量为n, 则 , 从而 P( )=P( )= =0.9606 =0.9803, 查正态分布 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf , , 故n取106. 3. 从一个正态总体 中抽取容量为10的样本，且 ，求 . 解: 因为 , 故 = = =0.02 , 查正态分布表得, , 解得σ=5.43. 4. 设在总体 抽取一个容量为16的样本，这里 均未知，求 . 解: 因为 ,此处n=16, 所以 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 查自由度为15的 分布表得, ，所以 =0.95. 5. 设总体 ， 为取自该总体的样本，已知 ，求：常数a. 解: 因为 , n=10, σ=4, 所以 查自由度为9的 分布表得， 所以a=26.105. 6. 设总体 ， 为取自该总体的样本，求：（1） ；（2）当样本容量很大时， ；（3）当样本容量等于6时， . 解: (1) = =1－ , 易知 , 查自由度为1的 分布表, 得 =0.3174, 故 =0.6826. (2) 当样本容量很大时, 近似服从 , 所以 = =1- =1－0.1574=0.8426. (3) 因为,当样本容量等于6时, ，所以 = = =1－ 查自由度为5的t分布双侧分位数得, =0.1，故 =0.9. 7. 设 为取自总体 的样本，求 . 解：因为 ，所以 = = 查自由度为10的 分布表得， =0.1 8. 设 是取自总体 的样本， 为样本均值，又记 ， ， ， ，则服从分布 的随机变量 __（B）_____. 解：因为 ~N(0,1), ,又 与 独立, 故 = ~ . 9、若 ，则 服从什么分布？ 解： 设T= 其中X~N(0,1), Y~F(1,n),且X和Y独立, 易知 X2~ (1), Y~ (n), 且X2与Y独立, 从而 T2= ~F(1,n) 10. 设 为取自总体 的样本，求常数 使得 服从 分布，并求其自由度. 解: 因为E(X1+ X2)=EX, D(X1+ X2)=2DX=8, 所以 同理, EMBED Equation.3 且三者独立, 故 + + ~ (3), 比较系数可知, a= b= c= . 11. 设有 个正态总体 ，从第 个总体中抽取容量为 的样本 ，且各组样本间相互独立，记 ( )， ，求 的分布. 解：因为 = ， 且 ( =1,2,…,k) 相互独立,故 = EMBED Equation.3 ,而 , 故 ~ (n-k ). 12. 设随机变量 相互独立且都服从标准正态分布，而 和 分别是取自总体 的相互独立的简单随机样本，求统计量 的分布，并指明参数. 解: 因为 , 故 , 而 EMBED Equation.3 (9 )，又因为 与 独立，所以 . 13. 设 是取自正态总体 的样本，且 ， ， ，求证 . 解：易知 ~ ， ~ 且Y1与Y2独立，故Y1－Y2~ ，又 ~ (2 ) Y1－Y2与 独立， 从而 EMBED Equation.3 14. 设总体 ，从中取出样本 ，记 , 求证 . 证： 因为 ， ~ ，且 与 独立， 故 － EMBED Equation.3 ，又因为 ~ (n－1 )， 与 － 独立，故 = . 15. 设总体 ，而 为取自该总体的样本，则随机变量 服从___________分布，参数为_________. 解：因为 ，故 EMBED Equation.3 (1 )， , 而 独立，故 ~ (10)， EMBED Equation.3 (5)，所以 = ~F(10,5). 16. 设总体 ， 为取自该总体的样本，求 的分布. 解: 因为 , 且 故 EMBED Equation.3 ~F(5, n-5) 习题4.3解答 1、 总体 , 其中 是未知参数, 又 为取自该总体的样本, 为样本均值. 证明: 是参数 的无偏估计. 证明: 因为 = , 故 是参数 的无偏估计. 2、 设 是参数 的无偏估计量, , 证明: 不是 的无偏估计量. 证明：因为 是参数 的无偏估计量，所以 ， EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , 即 , 故 不是 的无偏估计量. 3. 设 是取自总体 的样本, 试证下列统计量都是总体均值 的无偏估计量, 并指出哪一个最有效? (1) (2) (3) 证明: 故 都为总体均值 的无偏估计量. 而 因为 , 故 最有效. 4. 设总体 , 现从该总体中抽取容量为10的样本, 样本值为: 0.5, 1.3, 0.6, 1.7, 2.2, 1.2, 0.8, 1.5, 2.0, 1.6 试对参数 进行点估计. 解: 因为 , 所以EX= , 故 =2× =2.68. 5. 从一批电子元件中抽取8个进行寿命测试, 得到如下数据(单位: 小时): 1050, 1100, 1130, 1040, 1250, 1300, 1200, 1080 试对这批元件的平均寿命以及寿命分布的标准差进行点估计. 解: 设这批元件的平均寿命为u, 寿命分布的标准差为 , , . 6、从均值为 , 方差为 的正态总体中分别抽取容量为 和 的两组独立样本, 分别为两组样本的样本均值. 试证: 对任何常数 , 都是 的无偏估计, 并确定 的值使 在此形式的估计量中最有效. 解：因为 所以，对任何常数 , 都是 的无偏估计. 令 f(a,b)= , 求f(a,b)在a+b=1下的条件极值,可知 当a= , b= 时, f(a,b)最小, 从而Y最有效. 习题4.4解答 1、 取自正态总体 , 容量为9的样本, 若得到样本均值为 =5, 则未知参数 的置信度为0.95的置信区间是________________. 解：因为 , 故参数 的置信度为0.95的置信区间是 ，查标准正态分布分布表可知 ， ={5－0.3×1.96, 5+0.3×1.96}={4.412, 5.588} 2. 已知某种材料的抗压强度 , 现随机地抽取10个试件进行抗压试验, 测得数据如下: 482, 493, 457, 471, 510, 446, 435, 418, 394, 469. (1) 求平均抗压强度 的点估计值; (2) 求平均抗压强度 的95%的置信区间; (3) 若已知 =30, 求平均抗压强度 的95%的置信区间; (4) 求 的点估计值; (5) 求 的95%的置信区间; (6) 求 的点估计值; (7)求 的95%的置信区间. 解: (1) 0 (2) 因为 , 故参数 的置信度为0.95的置信区间是: , 经计算 ,S=35.276, n=10, 查自由度为9的分位数表得, ,故 = ={432.30, 482.70} (3) 若已知 =30, 则平均抗压强度 的95%的置信区间为: = ={438.90,476.09} (4) =S2=1240.28 (5) 因为 ,所以 的95%的置信区间为: ,其中S2=1240.28, ,所以 = ={586.79,4134.27} (6) 由(4) S= =35.276 (7)由(5) 的95%的置信区间为: = ={24.2237,64.2982} 3、 总体 , 已知, 问样本容量 取多大时才能保证 的95%的置信区间的长度不大于 . 解：由于 已知时， 的95%的置信区间为： 它的长度为：L= ，查表得 令L≤ ，则n≥ , 故n至少要取 . 4. 假设 0.50 , 1.25 , 0.80 , 2.00 是取自总体 的样本值, 已知 服从正态分布 . (1) 求 的数学期望 (并记 = ); (2) 求 的置信度为95%的置信区间; (3) 利用上述结果求 的置信度为95%的置信区间. 解:(1) 因为 服从正态分布 ,故X=eY服从对数正态分布, 从而 = = (2)因为 ,故当 时,相应的 ,由于 已知, 故 的置信度为95%的置信区间为： 易求得 查表得 =1.96, 所以 =(-0.98, 0.98) (3)因为 的置信度为95%的置信区间为 (-0.98, 0.98), 而b= , 所以b的置信度为95%的置信区间为: = 5. 设从总体 和总体 中分别抽取容量为 的独立样本, 可计算得 , 求 的96%的置信区间. 解: 因为 ,故 的96%的置信区间为: , 其中 EMBED Equation.3 查表得 ,所以 = ={3.42,8.58} 6. 假设人体身高服从正态分布, 今抽测甲、乙两地区18 ~ 25岁女青年身高得数据如下: 甲地区抽取10名, 样本均值1.64米, 样本标准差0.2米; 乙地区抽取10名, 样本均值1.62米, 样本标准差0.4米. 求 ①两正态总体方差比的99%的置信区间; ②两正态总体均值差的99%的置信区间. 解:(1)因为 EMBED Equation.3 , 的99%的置信区间为: 查表得 EMBED Equation.3 = , 故 ={0.03822, 1.635265} (2) 因为 , 其中 故 的99%的置信区间为: , 其中 = ,查表得 , = = {-0.38707,0.42707} 习题4.5解答 1. 已知总体 服从瑞利分布, 其密度函数为: 未知参数 >0, 为取自该总体的样本. 求 的矩估计量和最大似然估计量, 并问这两个估计量是不是无偏估计量? 解:EX= = = =2 令 ,则 2 = = = = , 故EX= , , 因此θ的矩估计量为 EMBED Equation.3 . EX2= = , 令 , EX2= = =2θ E E = = = = = ≠θ, 故 不是θ的无偏估计量. 令L(θ;x1,x2,...,xn)= = = , 当x1,x2,...,xn>0时, L= , lnL= , , = 为θ的最大似然估计量. E = = = =θ, 所以 是θ的无偏估计量. 2、 总体 的对数函数 服从正态分布 , 为取自总体 的样本, 求 及 的最大似然估计量. 解: 设Y=lnX~N(u,σ2), u的最大似然估计, ，故 为u的最大似然估计. 为σ2的最大似然估计,由于X服从对数正态分布,EX= ,故EX的最大似然估计为 . 3. 已知总体 服从参数为 的泊松分布, 其分布律为: 为取自总体 的样本. 求 (1) 的矩估计量; (2) 的最大似然估计量; (3) 的无偏估计量. 解:(1)因为EX=DX=θ, 而S2= , B2= 都是DX的点估计,故 , S2, B2都可作为θ的矩估计量. (2) L(θ;x1,x2,...,xn)= = = lnL= ,令 = , = 为θ的最大似然估计量. (3)E =E =E X=θ, E =ES2=D X=θ,故 = 及 =S2都是θ的无偏估计， E =EB2= = , 故 不是θ的无偏估计. _1068985642.unknown _1069487882.unknown _1069494466.unknown _1069821774.unknown _1069833609.unknown _1069834841.unknown _1070089004.unknown _1070089570.unknown _1070089805.unknown _1070090078.unknown _1070606933.unknown _1070090015.unknown _1070089652.unknown _1070089190.unknown _1070089487.unknown _1070089062.unknown _1070088372.unknown _1070088575.unknown _1070088836.unknown _1070088979.unknown _1070088422.unknown _1070088241.unknown _1070088278.unknown _1069835094.unknown _1069834417.unknown _1069834699.unknown _1069834757.unknown _1069834509.unknown _1069834006.unknown _1069834330.unknown _1069833810.unknown _1069832779.unknown _1069833070.unknown _1069833286.unknown _1069832994.unknown _1069821899.unknown _1069822029.unknown _1069822130.unknown _1069821878.unknown _1069500661.unknown _1069570705.unknown _1069579120.unknown _1069768648.unknown _1069783671.unknown _1069785685.unknown _1069788977.unknown _1069789085.unknown _1069821691.unknown _1069786435.unknown _1069788348.unknown _1069788525.unknown _1069788559.unknown _1069788643.unknown _1069788451.unknown _1069788261.unknown _1069788279.unknown _1069787999.unknown _1069786037.unknown _1069786359.unknown _1069785820.unknown _1069784408.unknown _1069785274.unknown _1069785294.unknown _1069784427.unknown _1069784090.unknown _1069784351.unknown _1069783764.unknown _1069784063.unknown _1069781434.unknown _1069782047.unknown _1069782431.unknown _1069783625.unknown _1069781940.unknown _1069781363.unknown _1069781373.unknown _1069781182.unknown _1069767213.unknown _1069767927.unknown _1069768395.unknown _1069768612.unknown _1069768063.unknown _1069768167.unknown _1069767267.unknown _1069767341.unknown _1069767232.unknown _1069766857.unknown _1069766953.unknown _1069766976.unknown _1069767191.unknown _1069766913.unknown _1069766525.unknown _1069766625.unknown _1069766479.unknown _1069576691.unknown _1069577865.unknown _1069579116.unknown 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