热力学与统计物理汪志诚习题解答第七章

第七章 玻耳兹曼统计 习题7.1根据公式 证明，对于非相对论粒子： ， =0，±1，±2，… 有 ,上述结论对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立。 证： = = 其中 ; ~ EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (对同一 , ) = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = 习题7.2试根据公式 证明，对于极端相对论粒子： ， =0，±1，±2，… 有 ,上述结论对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立。 证： ； 对极端相对论粒子 类似得 = 习题7.3当选择不同的能量零点时，粒子第 个能级的能量可以取为 ，以 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示二者之差 EMBED Equation.3 。试证明相应的配分函数存在以下关系 ，并讨论由 配分函数Z1和Z*1求得的热力学函数有何差别。 证： 配分函数 以内能U为例，对Z1: 对Z1*: 习题7.4试证明，对于遵从玻尔兹曼分布的系统，熵函数可以表示为 式中Ps是总粒子处于量子态s的概率， , 对粒子的所有量子态求和。 证法一：出现某状态 几率为Ps 设S1,S2,……Sk状态对应的能级 ； 设Sk+1 ,Sk+2,……Sw状态对应的能级 ； 类似………………………………； 则出现某微观状态的几率可作如下计算：根据玻尔兹曼统计 ； 显然NPs代表粒子处于某量子态S下的几率， 。于是 代表处于S状态下的粒子数。例如，对于 能级 个粒子在 上的K个微观状态的概率为： 类似写出： ………………………………………………等等。 于是N个粒子出现某一微观状态的概率。 EMBED Equation.3 一微观状态数 ，（基于等概率原理） EMBED Equation.3 将 带入 ； 习题7.5固体含有A、B两种原子。试证明由于原子在晶体格点的随机分布引起的混 合熵为 ㏑ 其中N是总原子数，x是A 原子的百分比，（1-x ）是B原子的百分比。注意x<1，上式给出的熵为正值。 证： 显然 S= ㏑ =-N EMBED Equation.3 = ； 由于 ＜1， 故 ；原题得证。 习题7.6晶体含有N个原子。原子在晶体中的正常位置如图中O所示。当原子离开正 常位置而占据图中×位置时，晶体中就出现缺位和填隙原子，晶体这种缺陷 叫做弗伦克缺陷。 (1) 假设正常位置和填隙位置数都是N，试证明由于在晶体中形成n个缺位和 填隙原子而具有的熵等于 ； (2) 设原子在填隙位置和正常位置的能量差为u。试由自由能F=nu-Ts为极小 值证明，温度为T时，缺位和填隙原子数为n≈ (设n N) 证： (1) = (2)略，参见 ex7.7 习题7.7如果原子脱离晶体内部的正常位置而占据表面上的正常位置，构成新的一 层，晶体将出现缺位，晶体的这种缺陷称为肖脱基缺陷。以N 表示晶体中的原子 数，n表示晶体中的缺位数。如果忽略晶体中体积的变化，试由自由能为极 小的条件证明，温度为T时n≈ (设n N )其中W为原子在表面位置与 正常位置的能量差。 证： ,设原子皆未跳出到表面时,U=0,则形成n个空位需要能量 ； ,而在N个格点上形成n个空位，其可能的状态数 ;利用 EMBED Equation.3 利用自由能判据 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ； 。 习题7.8气体以恒定的速度沿方向作整体运动。试证明，在平衡状态下分子动量的最 概然分布为 EMBED Equation.3 证： 设能级 这样构成：同一 中，P 相同，而P 与P 在变化，于是有： ( ) 参照教材玻耳兹曼分布证明；有 - , 其中 由(1)知: 将 代入 并配方得: = 其中 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 对比page238式（7.2.4）得： 整个体积内，分布在 内分子数为： 由条件（3）知 计算得 = = EMBED Equation.3 代入得出分布： 其中 , 习题7.9 (略)结合（7.8）求平均值。 习题7.10表面活性物质的分子在液面上作二维自由运动，可以看作二维理想气体。 试写出在二维理想中分子的速度分布和速率分布。并求平均速率 ，最概然速 率 和方均根速率 。 解： 对于二维情形， （准）连续能量下的简并度： 面积 玻耳兹曼分布： ； 利用 进而推出速率分布： EMBED Equation.3 习题7.11试根据麦克斯韦速度分布率导出两分子的相对速度 和相对速率 的概率分布，并求相对速率的平均值 。 解：两分子的相对速度 在 内的几率 同理可求得 分量为 和 引进 ，速度分布变为 利用球极坐标系可求得速率分布为： 相对速率平均值 习题7.12试根据麦氏速度分布率证明，速度和平均动量的涨落为 解： ； （略） 习题7.13试证明，单位时间内碰到单位面积上，速率介于 与 之间的分子数为： 证： 在斜圆柱体内,分速度为 的 方向的分子数为: 对于 时间碰撞到 面积上的分子数（ ） = 得到：若只计算介于 分子数则为：（只对 积分） 习题7.14 分子从器壁小孔射出，求在射出的分子束中，分子平均速度和方均根速度。 解： ； 变量代换 EMBED Equation.3 习题7.15已知粒子遵从经典玻耳兹曼分布，其能量表达式为： 其中 是常数，求粒子的平均能量。 解： EMBED Equation.3 习题7.16气柱的高度为 ，截面为 ，在重力场中。试求解此气柱的内能和热容量。 解： 配分函数 EMBED Equation.3 设 ； 习题7.17试求双原子理想气体的振动熵。 解： 振动配分函数 代入式（7.6.1） 代入熵计算式 。 习题7.18对于双原子分子，常温下 远大于转动的能级间距。试求双原子分子理 想气体的转动熵。 解：由式（7.5.14）转动配分函数 其中 习题7.19气体分子具有固有电偶极矩 ，在电场 下转动能量的经典表达式为： ，证明在经典近似下转动配分函数： 解：经典近似下， 视为准连续能量 配分函数 利用 习题7.20同19题，试证在高温( )极限下,单位体积电偶极矩（电极化强度）为： 。 解：电极化强度 高温极限下， ，保留至 EMBED Equation.3 。其中 习题7.21试求爱因斯坦固体的熵。 解：将 ，代入至 表达式即得，注意N取3N。(略) _1162655016.unknown _1162831471.unknown _1162916033.unknown _1162919889.unknown _1167464554.unknown _1174740872.unknown _1174780657.unknown _1174781365.unknown _1174781540.unknown _1174781727.unknown _1174781769.unknown _1174781581.unknown _1174781429.unknown _1174781239.unknown _1174781311.unknown _1174780757.unknown _1174780398.unknown _1174780503.unknown _1174780643.unknown _1174780455.unknown _1174741123.unknown _1174741328.unknown _1174741455.unknown _1174741584.unknown _1174741228.unknown _1174741107.unknown _1174739496.unknown _1174740153.unknown _1174740628.unknown _1174740719.unknown _1174740198.unknown _1174739810.unknown _1174740046.unknown _1174739678.unknown _1167464882.unknown _1174739438.unknown _1174739461.unknown _1174731027.unknown _1167464650.unknown _1167464722.unknown _1167464594.unknown _1162921550.unknown _1167464457.unknown _1167464526.unknown _1167464539.unknown _1167464466.unknown _1162922443.unknown _1167464154.unknown _1167464299.unknown _1162922514.unknown _1162922682.unknown _1162921868.unknown _1162922432.unknown _1162921752.unknown _1162920499.unknown _1162920723.unknown _1162920885.unknown _1162920636.unknown _1162919969.unknown _1162920199.unknown _1162919900.unknown _1162918188.unknown _1162919146.unknown _1162919369.unknown _1162919553.unknown _1162919236.unknown _1162918516.unknown _1162919047.unknown _1162918395.unknown _1162918499.unknown _1162916875.unknown _1162917266.unknown _1162917948.unknown _1162917143.unknown _1162916492.unknown _1162916521.unknown _1162916402.unknown _1162835125.unknown _1162914852.unknown _1162915255.unknown _1162915869.unknown _1162916016.unknown _1162915603.unknown _1162915154.unknown _1162915173.unknown _1162915071.unknown _1162835849.unknown _1162914199.unknown _1162914316.unknown _1162914180.unknown _1162835687.unknown _1162835701.unknown _1162835342.unknown _1162832914.unknown _1162833964.unknown _1162834542.unknown _1162834880.unknown _1162834358.unknown _1162833127.unknown _1162833681.unknown _1162833022.unknown _1162832502.unknown _1162832603.unknown _1162832768.unknown _1162832590.unknown _1162831822.unknown _1162831887.unknown _1162831481.unknown _1162662262.unknown _1162663238.unknown _1162827758.unknown _1162829526.unknown _1162830378.unknown _1162830990.unknown _1162831178.unknown _1162831446.unknown _1162831071.unknown _1162830749.unknown _1162829990.unknown _1162828624.unknown _1162828903.unknown _1162828222.unknown _1162827340.unknown _1162827677.unknown _1162826690.unknown _1162662895.unknown _1162663213.unknown _1162663237.unknown _1162663084.unknown _1162662650.unknown _1162662757.unknown _1162662422.unknown _1162662626.unknown _1162662519.unknown _1162662416.unknown _1162661116.unknown _1162661311.unknown _1162661382.unknown _1162661393.unknown _1162661358.unknown _1162661279.unknown _1162659449.unknown _1162660095.unknown _1162656202.unknown _1162655281.unknown _1162656028.unknown _1162655268.unknown _1161532468.unknown _1161604696.unknown _1161606168.unknown _1161606334.unknown _1161606971.unknown _1161677894.unknown _1161606451.unknown _1161606201.unknown _1161604992.unknown _1161605098.unknown _1161605603.unknown _1161605002.unknown _1161604835.unknown _1161604849.unknown _1161604823.unknown _1161534181.unknown _1161536122.unknown _1161587152.unknown _1161604471.unknown _1161541959.unknown _1161535693.unknown _1161535788.unknown _1161534737.unknown _1161533950.unknown _1161533990.unknown _1161534050.unknown _1161533956.unknown _1161532635.unknown _1161533721.unknown _1161533722.unknown _1161532571.unknown _1161529201.unknown _1161531280.unknown _1161531976.unknown _1161532207.unknown _1161532357.unknown _1161532025.unknown _1161531671.unknown _1161531785.unknown _1161531517.unknown _1161530246.unknown _1161530786.unknown _1161531034.unknown _1161530588.unknown _1161529463.unknown _1161529492.unknown _1161529208.unknown _1161415934.unknown _1161417716.unknown _1161418732.unknown _1161418921.unknown _1161528992.unknown _1161529051.unknown _1161418756.unknown _1161417804.unknown _1161416955.unknown _1161417087.unknown _1161417355.unknown _1161417691.unknown _1161417077.unknown _1161416942.unknown _1161415953.unknown _1161416797.unknown _1161415624.unknown _1161415706.unknown _1161415779.unknown _1161415678.unknown _1161415121.unknown _1161415546.unknown _1161414511.unknown _1161414689.unknown