14、2020同步人A数学必修第一册新教材课件：第2章 2.3 第2课时　一元二次不等式的应用

第二章　一元二次函数、方程和不等式2.3　二次函数与一元二次方程、不等式第2课时　一元二次不等式的应用* 学习目标 核心素养 1.掌握一元二次不等式的实际应用(重点).2.理解三个“二次”之间的关系.3.会解一元二次不等式中的恒成立问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 (难点). 1.通过分式不等式的解法及不等式的恒成立问题的学习，培养数学运算素养.2.借助一元二次不等式的应用培养数学建模素养.**1．分式不等式的解法主导思想：化分式不等式为整式不等式 类型 同解不等式 eq\f(ax＋b,cx＋d)＞0(＜0)(其中a，b，c，d为常数) 法一：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋b＞0＜0,cx＋d＞0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋b＜0＞0,cx＋d＜0))法二：(ax＋b)(cx＋d)＞0(＜0)* eq\f(ax＋b,cx＋d)≥0(≤0) 法一：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋b≥0≤0,ax＋d＞0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋b≤0≥0,cx＋d＜0))法二：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋bcx＋d≥0≤0,cx＋d≠0)) eq\f(ax＋b,cx＋d)＞keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(<k,≥k,≤k))(其中k为非零实数) 先移项通分转化为上述两种形式*思考1：eq\f(x－3,x＋2)>0与(x－3)(x＋2)>0等价吗？将eq\f(x－3,x＋2)>0变形为(x－3)(x＋2)>0，有什么好处？提示：等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式．*2．(1)不等式的解集为R(或恒成立)的条件 不等式 ax2＋bx＋c>0 ax2＋bx＋c<0 a＝0 b＝0，c>0 b＝0，c<0 a≠0 eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,Δ<0)) eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,Δ<0))(2)有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法 设二次函数y＝ax2＋bx＋c 若ax2＋bx＋c≤k恒成立⇔ymax≤k 若ax2＋bx＋c≥k恒成立⇔ymin≥k*3.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤(1)阅读理解，认真审题，分析题目中有哪些已知量和未知量，找准不等关系．(2)设出起关键作用的未知量，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)．(3)解不等式(或求函数最值)．(4)回扣实际问题．*思考2：解一元二次不等式应用题的关键是什么？提示：解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解．*1．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x－2,x)≤0))))，则A∩B等于(　　)A．{x|－1≤x<0}　B．{x|0<x≤1}C．{x|0≤x<2}D．{x|0≤x≤1}B　[∵A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0<x≤2}，∴A∩B＝{x|0<x≤1}．]*2．不等式eq\f(x＋1,x)≥5的解集是________．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x≤\f(1,4)))))　[原不等式⇔eq\f(x＋1,x)≥eq\f(5x,x)⇔eq\f(4x－1,x)≤0⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x4x－1≤0，,x≠0，))解得0<x≤eq\f(1,4).]*3．不等式x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．a＞4或a＜－4　[∵x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，即不等式x2＋ax＋4＜0有解，∴Δ＝a2－4×1×4＞0，解得，a＞4或a＜－4.]*4.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是________．{x|10≤x≤30}　[设矩形高为y，由三角形相似得：eq\f(x,40)＝eq\f(40－y,40)，且x>0，y>0，x<40，y<40，xy≥300，整理得y＋x＝40，将y＝40－x代入xy≥300，整理得x2－40x＋300≤0，解得10≤x≤30.]**【例1】　解下列不等式：(1)eq\f(x－3,x＋2)<0；(2)eq\f(x＋1,2x－3)≤1.分式不等式的解法*[解]　(1)eq\f(x－3,x＋2)<0⇔(x－3)(x＋2)<0⇔－2<x<3，∴原不等式的解集为{x|－2<x<3}．(2)∵eq\f(x＋1,2x－3)≤1，∴eq\f(x＋1,2x－3)－1≤0，∴eq\f(－x＋4,2x－3)≤0，*即eq\f(x－4,x－\f(3,2))≥0.此不等式等价于(x－4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))≥0且x－eq\f(3,2)≠0，解得x<eq\f(3,2)或x≥4，∴原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<\f(3,2)或x≥4)))).*1．对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．*1．解下列不等式：(1)eq\f(x＋1,x－3)≥0；(2)eq\f(5x＋1,x＋1)<3.[解]　(1)根据商的符号法则，不等式eq\f(x＋1,x－3)≥0可转化成不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1x－3≥0，,x≠3.))解这个不等式组，可得x≤－1或x>3.即知原不等式的解集为{x|x≤－1或x>3}．*(2)不等式eq\f(5x＋1,x＋1)<3可改写为eq\f(5x＋1,x＋1)－3<0，即eq\f(2x－1,x＋1)<0.可将这个不等式转化成2(x－1)(x＋1)<0，解得－1<x<1.所以，原不等式的解集为{x|－1<x<1}．*【例2】　国家原 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 以2400元/吨的价格收购某种农产品m吨．按 规定 关于下班后关闭电源的规定党章中关于入党时间的规定公务员考核规定下载规定办法文件下载宁波关于闷顶的规定 ，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点．试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.[思路点拨]　将文字语言转换成数学语言：“税率降低x个百分点”即调节后税率为(8－x)%；“收购量能增加2x个百分点”，此时总收购量为m(1＋2x%)吨，“原计划的78%”即为2400m×8%×78%.一元二次不等式的应用*[解]　设税率调低后“税收总收入”为y元．y＝2400m(1＋2x%)·(8－x)%＝－eq\f(12,25)m(x2＋42x－400)(0<x≤8)．依题意，得y≥2400m×8%×78%，即－eq\f(12,25)m(x2＋42x－400)≥2400m×8%×78%，整理，得x2＋42x－88≤0，解得－44≤x≤2.根据x的实际意义，知x的范围为0<x≤2.*求解一元二次不等式应用问题的步骤*2．某校园内有一块长为800m，宽为600m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．[解]　设花卉带的宽度为xm(0<x<600)，则中间草坪的长为(800－2x)m，宽为(600－2x)m.根据题意可得(800－2x)(600－2x)≥eq\f(1,2)×800×600，整理得x2－700x＋600×100≥0，即(x－600)(x－100)≥0，所以0<x≤100或x≥600，x≥600不符合题意，舍去．故所求花卉带宽度的范围为0＜x≤100.*[探究问题]1．若函数y＝ax2＋2x＋2对一切x∈R，f(x)>0恒成立，如何求实数a的取值范围？不等式恒成立问题提示：若a＝0，显然y>0不能对一切x∈R都成立．所以a≠0，此时只有二次函数y＝ax2＋2x＋2的图象与直角坐标系中的x轴无交点且抛物线开口向上时，才满足题意，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,Δ＝4－8a<0，))解得a>eq\f(1,2).*2．若函数y＝x2－ax－3对－3≤x≤－1上恒有x2－ax－3<0成立，如何求a的范围？提示：要使x2－ax－3<0在－3≤x≤－1上恒成立，则必使函数y＝x2－ax－3在－3≤x≤－1上的图象在x轴的下方，由y的图象可知，此时a应满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－32＋3a－3＜0，,－12＋a－3＜0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a＋6<0，,a－2<0，))解得a<－2.故当a＜－2时，有f(x)<0在－3≤x≤－1上恒成立．*3．若函数y＝x2＋2(a－2)x＋4对任意－3≤a≤1时，y<0恒成立，如何求x的取值范围？提示：由于本题中已知a的取值范围求x，所以我们可以把函数f(x)转化为关于自变量是a的函数，求参数x的取值问题，则令y＝2x·a＋x2－4x＋4.要使对任意－3≤a≤1，y<0恒成立，只需满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋x2－4x＋4＜0,－3×2x＋x2－4x＋4＜0，))*即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x＋4<0，,x2－10x＋4<0.))因为x2－2x＋4<0的解集是空集，所以不存在实数x，使函数y＝x2＋2(a－2)x＋4对任意－3≤a≤1，y<0恒成立．*【例3】　已知y＝x2＋ax＋3－a，若－2≤x≤2，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，求a的取值范围．[思路点拨]　对于含参数的函数在某一范围上的函数值恒大于等于零的问题，可以利用函数的图象与性质求解．*[解]　设函数y＝x2＋ax＋3－a在－2≤x≤2时的最小值为关于a的一次函数，设为g(a)，则(1)当对称轴x＝－eq\f(a,2)<－2，即a>4时，g(a)＝(－2)2＋(－2)a＋3－a＝7－3a≥0，解得a≤eq\f(7,3)，与a>4矛盾，不符合题意．(2)当－2≤－eq\f(a,2)≤2，即－4≤a≤4时，g(a)＝3－a－eq\f(a2,4)≥0，解得－6≤a≤2，此时－4≤a≤2.*(3)当－eq\f(a,2)>2，即a<－4时，g(a)＝22＋2a＋3－a＝7＋a≥0，解得a≥－7，此时－7≤a<－4.综上，a的取值范围为－7≤a≤2.*1．(变结论)本例条件不变，若y＝x2＋ax＋3－a≥2恒成立，求a的取值范围．[解]　若－2≤x≤2，x2＋ax＋3－a≥2恒成立可转化为：当－2≤x≤2时，ymin≥2⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)<－2，,ymin＝－22－2a＋3－a＝7－3a≥2，))*或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2≤－\f(a,2)≤2，,ymin＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))2＋a·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))＋3－a＝3－a－\f(a2,4)≥2，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)>2，,ymin＝22＋2a＋3－a＝7＋a≥2，))解得a的取值范围为－5≤x≤－2＋2eq\r(2).*2．(变条件)将例题中的条件“y＝x2＋ax＋3－a，－2≤x≤2，y≥0恒成立”变为“不等式x2＋2x＋a2－3>0的解集为R”，求a的取值范围．[解]　法一：∵不等式x2＋2x＋a2－3>0的解集为R，∴函数y＝x2＋2x＋a2－3的图象应在x轴上方，∴Δ＝4－4(a2－3)<0，解得a>2或a<－2.法二：令y＝x2＋2x＋a2－3，要使x2＋2x＋a2－3>0的解集为R，则a满足ymin＝a2－4>0，解得a>2或a<－2.*法三：由x2＋2x＋a2－3>0，得a2>－x2－2x＋3，即a2>－(x＋1)2＋4，要使该不等式在R上恒成立，必须使a2大于－(x＋1)2＋4的最大值，即a2>4，故a>2或a<－2.*1．不等式ax2＋bx＋c>0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c>0；当a≠0时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0.))*2．不等式ax2＋bx＋c<0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c<0；当a≠0时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0.))3．解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．*1．解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解．当不等式含有等号时，分母不为零．2．对于某些恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然，这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到以下简单结论：(1)若f(x)有最大值f(x)max，则a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max；(2)若f(x)有最小值f(x)min，则a<f(x)恒成立⇔a<f(x)min.*3．在某集合A中恒成立问题设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)若ax2＋bx＋c＞0在集合A中恒成立，则集合A是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的取值(范围).**1．思考辨析(1)不等式eq\f(1,x)>1的解集为x<1.(　　)(2)求解m>ax2＋bx＋c(a＜0)恒成立时，可转化为求解y＝ax2＋bx＋c的最小值，从而求出m的范围．(　　)[提示]　(1)eq\f(1,x)>1⇒eq\f(1,x)－1>0⇒eq\f(x－1,x)<0⇒{x|0<x<1}．故(1)错．(2)m>ax2＋bx＋c(a＜0)恒成立转化为m>ymax，故(2)错．[ 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ]　(1)×　(2)×　*2．不等式eq\f(x＋1x＋22x＋3,x＋4)>0的解集为________．{x|－4<x<－3或x>－1}　[原式可转化为(x＋1)(x＋2)2(x＋3)(x＋4)>0，根据数轴穿根法，解集为－4<x<－3或x>－1.]*3．对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4＜0恒成立，则实数a的取值范围是________．－2＜a≤2　[当a－2＝0，即a＝2时，－4＜0恒成立；当a－2≠0，即a≠2时，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2＜0，,Δ＝[－2a－2]2－4×a－2×－4＜0，))解得－2＜a＜2.综上，实数a的取值范围是－2＜a≤2.]*4．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天能获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？[解]　设每盏台灯售价x元，则x≥15，并且日销售收入为x[30－2(x－15)]，由题意知，当x≥15时，有x[30－2(x－15)]>400，解得：15≤x<20.所以为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应当制定这批台灯的销售价格为15≤x＜20.*********************************************